Бернулли закон

Эффект Бернулли - это... Что такое Эффект Бернулли?

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Здесь

— плотность жидкости,

— скорость потока,

— высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

— давление,

— ускорение силы тяжести.

Константа в правой части обычно называется напором, или полным давлением, а также интегралом Бернулли. Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости.

Это соотношение, выведенное Даниилом Бернулли в 1738 г., было названо в его честь уравнением Бернулли. (Не путать с дифференциальным уравнением Бернулли.)

Для горизонтальной трубы h = 0 и уравнение Бернулли принимает вид: .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности ρ: .

Согласно закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового (ρgh), статического (p) и динамического () давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела всегда в точности равна нулю.

Одно из применений

Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.

Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

где

p₀ — атмосферное давление,

h — высота столба жидкости в сосуде,

v — скорость истечения жидкости.

Отсюда: . Это — формула Торричелли (англ.). Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h.

Для сжимаемого идеального газа

^[1] (постоянна вдоль линии тока или линии вихря)

где

— Адиабатическая постоянная газа

p — давление газа в точке

ρ — плотность газа в точке

v — скорость течения газа

g — ускорение свободного падения

h — высота относительно начала координат

При движении в неоднородном поле gz заменяется на потенциал гравитационного поля.

Термодинамика закона Бернулли

Из статистической физики следует, что на линиях тока при адиабитическом течении остается постоянным следующее соотношение:

где w — энтальпия единицы массы, — потенциал силы.

Вывод закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений

Приложение

Вывод уравнения Бернулли

Энергия маленького элемента жидкости: (U - потенциальная энергия)

Слева на большой объем жидкости между двумя поверхностями действует сила , а справа - (минус, потому что влево).

Итак, этот объем жидкости сдвинулся (за время dt). Пусть его левая граница сдвинулась на dl₁, а правая - на dl₂.

Пишем условие несжимаемости: . Объёмы, как видно, бесконечно малые, дифференциальные. Их самих можно рассматривать как дифференциалы объёма всего большого элемента.

Далее. Сначала наш большой элемент состоял из левого голубого элемента и средней синей части. Теперь он состоит из средней синей части и правого голубого элемента. При этом все его молекулы сдвинулись, но так как течение стационарное, то в каждой точке со временем энергия не меняется. Поэтому энергия средней синей части не поменялась. Поэтому работа сил (ну, или за бесконечно малое время не сама работа, а её дифференциал) равна изменению энергии, равному, в свою очередь, энергии правого голубого элементика (который добавился) минус энергия левого голубого элементика (который, наоборот, ушёл, влился в средний синий). .

Теперь вспоминаем формулу несжимаемости и сокращаем на объём. .

Сгруппируя слагаемые, получаем формулу Бернулли: , или просто , или, подставив потенциальную энергию, .

См. также

Литература

Примечания

↑ Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 3.11

Wikimedia Foundation. 2010.

в чем состоит, где применяется, объяснение на молекулярном уровне

Принцип Бернулли заложил основы знания о движении жидкости, которое впоследствии перешло в самостоятельную науку — гидродинамику.

Физическая сущность закона Бернулли

Швейцарский математик и физик Даниил Бернулли родился в 1716 году в Голландии. За свою научную карьеру он получил звания Почетного члена Берлинской, Петербургской и Парижской академии наук, являлся членом Лондонского королевского общества. Главным научным трудом ученого является работа «Гидродинамика, или изъяснение сил и движений жидкости», опубликованная в 1733 году. Именно в этой книге были описаны физические основы механики жидкости.

Закон, названный его именем, Бернулли сформулировал во время работы в России, изучая взаимосвязь давления жидкости с ее скоростью. В математическом выражении он определяется уравнением Бернулли. Давайте разберемся, в чем состоит сущность закона.

Для начала определим, что закон Бернулли рассматривает движение потока несжимаемой идеальной жидкости, на которую действуют только силы тяжести и силы упругости.

Идеальная жидкость — это жидкость, в которой полностью отсутствует внутреннее трение и теплопроводность, ввиду чего, она лишена касательных напряжений между соседними слоями.

Подобная идеализация применяется при рассмотрении течения в гидродинамике. В законе Бернулли рассматривается стационарное течение жидкости — это движение слоев жидкости относительно друг друга и относительно ее самой, при котором скорость потока в некой конкретной точке не меняется, сохраняя свое постоянное значение. Давление при стационарном течении идеальной жидкости одинаково во всех поперечных сечениях трубки тока.

Для наглядности рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости по трубе переменного сечения. В одном месте сечение этой трубки равно S1, а в другом — S2. При стационарном потоке через все сечения за определенный промежуток времени пройдет одинаковый объем жидкости, так как в ином случае, невозможность сжатия привела бы к ее разрыву. Таким образом, мы получаем уравнение неразрывности струи, определяющее соотношение между скоростью течения (v) и площадью сечения (S): S1v1=S2v2

Источник: getclass.ru

При этом скорость давление в сечении S1 меньше, чем в сечении S2. Как вы думаете, в каком из сечений скорость течения жидкости будет больше? Казалось бы, что по логике, скорость должна увеличиваться в том месте, где больше давление. Однако, согласно закону Бернулли, скорость увеличивается с уменьшением площади сечения. В этом-то и состоит парадоксальность принципа.

Закон Бернулли гласит, в тех участках течения жидкости или газа, где скорость больше, давление меньше, и наоборот, с увеличением давления жидкости, протекающей в трубе, скорость ее движения уменьшается. То есть, где больше скорость (v), там меньше давление (p).

Чтобы убедиться в этом, достаточно провести небольшой опыт из подручных средств. Возьмите два шара одного размера и подвесьте их так, чтобы между ними сохранялось небольшое расстояние. Подуйте между шарами или пустите воздух из фена. Шары вместо того, чтобы отдалиться, притянутся друг к другу. Это прямое следствие описанного закона, так как в том месте, куда вы дули, давление стало уменьшаться, а скорость шаров возросла, приблизив их друг к другу.

Источник: getclass.ru

Закон Бернулли как следствие закона сохранения энергии

Из уравнения неразрывности следует, что в идеальной жидкости сумма статистического и динамического давлений и скоростного напора постоянна в любом сечении вдоль трубы. Являясь следствием закона сохранения, вывод уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости выглядит так:

\(\tfrac{\rho v^2}{2} + \rho g h + p = \mathrm{const}\),

где \(~\rho\) — плотность жидкости, \(~v\) — скорость потока, \(~h\) — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, \(~p\) — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, \(~g\) — ускорение свободного падения.

При этом давление P — это статическое давление, которое получается в результате взаимодействия соседних слоев жидкости. Величина ρv2/2 — это динамическое давление, обусловленное движением жидкости, а ρgh — это давление, образованное массой вертикального столба жидкости высотой h, создаваемое силой тяжести.

Все эти величины имеют специальные обозначения, где h — высота положения или геометрический напор, P / ρ∙g — пьезометрический напор, v2 / 2g — скоростной напор.

Сумма трех слагаемых уравнения называется полным напором (H), то есть для идеальной жидкости при стационарном течении сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки.

Для трубы, расположенной горизонтально, где величина высоты остается неизменной, уравнение Бернулли упрощается и выглядит так:

\({\textstyle\frac{\rho v^2}2}+p=\mathrm{const}\)

Проявление закона Бернулли в жизни

Закон Бернулли описывает одно из основных свойств гидравлики. Эффект, описанный швейцарским ученым, широко проявляется в природе и быту. Также широко его применение в технике. На основе принципа Бернулли работают такие приборы, как пульверизатор, водоструйный насос, аэрограф.

Чтобы понять механизм устройства, рассмотрим строение пульверизатора, которое включает в себя вертикальную трубку и горизонтальное сопло. Вертикальную трубку опускают в жидкость, в то время как по соплу пропускают воздух. Атмосферное давление, которое больше давления в струе воздуха, заставляет жидкость подниматься по трубке. Следовательно, при попадании в струю воздуха, происходит распределение жидкости.

Источник: dststone.ru

В повседневной жизни закон Бернулли можно наблюдать, сидя у камина. При сильном ветре скорость воздушного потока возрастает, и, соответственно, падает давление. И так как давление воздуха в комнате выше, пламя, уходит вверх по дымоходу.

Это свойство используется и в аэродинамике для объяснения того, как возникает подъемная сила самолета или другого летательного аппарата, которое тяжелее воздуха.

В истории имеются и случаи отрицательного проявления закона. В 1912 году произошло столкновение океанского парохода «Олимпик» с гораздо меньшим по масштабам крейсером «Гаук», который плыл параллельно пароходу на расстоянии около 100 метров. Вдруг «Гаук» резко двинулся прямо на «Олимпик» и протаранил его силой удара. Так как два корабля были друг к другу слишком близко, скорость воды между ними стала больше, чем с другой стороны, вызвав дополнительную силу. Следовательно, вместо того, чтобы отдалиться, корабли притянулись друг к другу, что и стало причиной катастрофы.

Источник: wikipedia.org

В природе закон Бернулли проявляется во время урагана, когда из-за сильного ветра с домов слетают крыши. Это происходит, потому что скорость, с которой движется воздух вверху, очень большая, тогда как на чердаке она равна нулю. Как вы уже узнаете, там, где скорость потока больше, давление меньше, а там, где скорость меньше, давление больше. В результате образовавшейся разности давлений ураган и срывает кровлю.

Существует еще большое количество интересных примеров, изучение которых во многом упрощает усвоение закона Бернулли. Если вам нужно определить проявление закона в каком-то конкретном явление, обращайтесь к специалистам сервиса Феникс.Хелп, которые помогут решить задачу любой сложности.

Уравнение Бернулли — важный закон гидродинамики

Москва

Абаза

Абакан

Абдулино

Абинск

Агидель

Агрыз

Адыгейск

Азнакаево

Азов

Ак-Довурак

Аксай

Алагир

Алапаевск

Алатырь

Алдан

Алейск

Александров

Александровск

Александровск-Сахалинский

Алексеевка

Алексин

Алзамай

Алупка

Алушта

Альметьевск

Амурск

Анадырь

Анапа

Ангарск

Андреаполь

Анжеро-Судженск

Анива

Апатиты

Апрелевка

Апшеронск

Арамиль

Аргун

Ардатов

Ардон

Арзамас

Аркадак

Армавир

Армянск

Арсеньев

Арск

Артем

Артемовск

Артемовский

Архангельск

Асбест

Асино

Астрахань

Аткарск

Ахтубинск

Ахтубинск-7

Ачинск

Аша

Бабаево

Бабушкин

Бавлы

Багратионовск

Байкальск

Баймак

Бакал

Баксан

Балабаново

Балаково

Балахна

Балашиха

Балашов

Балей

Балтийск

Барабинск

Барнаул

Барыш

Батайск

Бахчисарай

Бежецк

Белая Калитва

Белая Холуница

Белгород

Белебей

Белев

Белинский

Белово

Белогорск

Белозерск

Белокуриха

Беломорск

Белорецк

Белореченск

Белоусово

Белоярский

Белый

Бердск

Березники

Березовский

Беслан

Бийск

Бикин

Билибино

Биробиджан

Бирск

Бирюсинск

Бирюч

Благовещенск

Благодарный

Бобров

Богданович

Богородицк

Богородск

Боготол

Богучар

Бодайбо

Бокситогорск

Болгар

Бологое

Болотное

Болохово

Болхов

Большой Камень

Бор

Борзя

Борисоглебск

Боровичи

Боровск

Боровск-1

Бородино

Братск

Бронницы

Брянск

Бугульма

Бугуруслан

Буденновск

Бузулук

Буинск

Буй

Буйнакск

Бутурлиновка

Валдай

Валуйки

Велиж

Великие Луки

Великие Луки-1

Великий Новгород

Великий Устюг

Вельск

Венев

Верещагино

Верея

Верхнеуральск

Верхний Тагил

Верхний Уфалей

Верхняя Пышма

Верхняя Салда

Верхняя Тура

Верхотурье

Верхоянск

Весьегонск

Ветлуга

Видное

Вилюйск

Вилючинск

Вихоревка

Вичуга

Владивосток

Владикавказ

Владимир

Волгоград

Волгодонск

Волгореченск

Волжск

Волжский

Вологда

Володарск

Волоколамск

Волосово

Волхов

Волчанск

Вольск

Вольск-18

Воркута

Воронеж

Воронеж-45

Ворсма

Воскресенск

Воткинск

Всеволожск

Вуктыл

Выборг

Выкса

Высоковск

Высоцк

Вытегра

Вышний Волочек

Вяземский

Вязники

Вязьма

Вятские Поляны

Гаврилов Посад

Гаврилов-Ям

Гагарин

Гаджиево

Гай

Галич

Гатчина

Гвардейск

Гдов

Геленджик

Георгиевск

Глазов

Голицыно

Горбатов

Горно-Алтайск

Горнозаводск

Горняк

Городец

Городище

Городовиковск

Городской округ Черноголовка

Гороховец

Горячий Ключ

Грайворон

Гремячинск

Грозный

Грязи

Грязовец

Губаха

Губкин

Губкинский

Гудермес

Гуково

Гулькевичи

Гурьевск

Гусев

Гусиноозерск

Гусь-Хрустальный

Давлеканово

Дагестанские Огни

Далматово

Дальнегорск

Дальнереченск

Данилов

Данков

Дегтярск

Дедовск

Демидов

Дербент

Десногорск

Джанкой

Дзержинск

Дзержинский

Дивногорск

Дигора

Димитровград

Дмитриев

Дмитров

Дмитровск

Дно

Добрянка

Долгопрудный

Долинск

Домодедово

Донецк

Донской

Дорогобуж

Дрезна

Дубна

Дубовка

Дудинка

Духовщина

Дюртюли

Дятьково

Евпатория

Егорьевск

Ейск

Екатеринбург

Елабуга

Елец

Елизово

Ельня

Еманжелинск

Емва

Енисейск

Ермолино

Ершов

Ессентуки

Ефремов

Железноводск

Железногорск

Железногорск-Илимский

Железнодорожный

Жердевка

Жигулевск

Жиздра

Жирновск

Жуков

Жуковка

Жуковский

Завитинск

Заводоуковск

Заволжск

Заволжье

Задонск

Заинск

Закаменск

Заозерный

Заозерск

Западная Двина

Заполярный

Зарайск

Заречный

Заринск

Звенигово

Звенигород

Зверево

Зеленогорск

Зеленоград

Зеленоградск

Зеленодольск

Зеленокумск

Зерноград

Зея

Зима

Златоуст

Злынка

Змеиногорск

Знаменск

Зубцов

Зуевка

Ивангород

Иваново

Ивантеевка

Ивдель

Игарка

Ижевск

Избербаш

Изобильный

Иланский

Инза

Инкерман

Инсар

Инта

Ипатово

Ирбит

Иркутск

Иркутск-45

Исилькуль

Искитим

Истра

Истра-1

Ишим

Ишимбай

Йошкар-Ола

Кадников

Казань

Калач

Калач-на-Дону

Калачинск

Калининград

Калининск

Калтан

Калуга

Калязин

Камбарка

Каменка

Каменногорск

Каменск-Уральский

Каменск-Шахтинский

Камень-на-Оби

Камешково

Камызяк

Камышин

Камышлов

Канаш

Кандалакша

Канск

Карабаново

Карабаш

Карабулак

Карасук

Карачаевск

Карачев

Каргат

Каргополь

Карпинск

Карталы

Касимов

Касли

Каспийск

Катав-Ивановск

Катайск

Качканар

Кашин

Кашира

Кашира-8

Кедровый

Кемерово

Кемь

Керчь

Кизел

Кизилюрт

Кизляр

Кимовск

Кимры

Кингисепп

Кинель

Кинешма

Киреевск

Киренск

Киржач

Кириллов

Кириши

Киров

Кировград

Кирово-Чепецк

Кировск

Кирс

Кирсанов

Киселевск

Кисловодск

Климовск

Клин

Клинцы

Княгинино

Ковдор

Ковров

Ковылкино

Когалым

Кодинск

Козельск

Козловка

Козьмодемьянск

Кола

Кологрив

Коломна

Колпашево

Колпино

Кольчугино

Коммунар

Комсомольск

Комсомольск-на-Амуре

Конаково

Кондопога

Кондрово

Константиновск

Копейск

Кораблино

Кореновск

Коркино

Королев

Короча

Корсаков

Коряжма

Костерево

Костомукша

Кострома

Котельники

Котельниково

Котельнич

Котлас

Котово

Котовск

Кохма

Красавино

Красноармейск

Красновишерск

Красногорск

Краснодар

Красное Село

Краснозаводск

Краснознаменск

Краснокаменск

Краснокамск

Красноперекопск

Краснослободск

Краснотурьинск

Красноуральск

Красноуфимск

Красноярск

Красный Кут

Красный Сулин

Красный Холм

Кременки

Кронштадт

Кропоткин

Крымск

Кстово

Кубинка

Кувандык

Кувшиново

Кудымкар

Кузнецк

Кузнецк-12

Кузнецк-8

Куйбышев

Кулебаки

Кумертау

Кунгур

Купино

Курган

Курганинск

Курильск

Курлово

Куровское

Курск

Куртамыш

Курчатов

Куса

Кушва

Кызыл

Кыштым

Кяхта

Лабинск

Лабытнанги

Лагань

Ладушкин

Лаишево

Лакинск

Лангепас

Лахденпохья

Лебедянь

Лениногорск

Ленинск

Ленинск-Кузнецкий

Ленск

Лермонтов

Лесной

Лесозаводск

Лесосибирск

Ливны

Ликино-Дулево

Липецк

Липки

Лиски

Лихославль

Лобня

Лодейное Поле

Ломоносов

Лосино-Петровский

Луга

Луза

Лукоянов

Луховицы

Лысково

Лысьва

Лыткарино

Льгов

Любань

Люберцы

Любим

Людиново

Лянтор

Магадан

Магас

Магнитогорск

Майкоп

Майский

Макаров

Макарьев

Макушино

Малая Вишера

Малгобек

Малмыж

Малоархангельск

Малоярославец

Мамадыш

Мамоново

Мантурово

Мариинск

Мариинский Посад

Маркс

Махачкала

Мглин

Мегион

Медвежьегорск

Медногорск

Медынь

Межгорье

Междуреченск

Мезень

Меленки

Мелеуз

Менделеевск

Мензелинск

Мещовск

Миасс

Микунь

Миллерово

Минеральные Воды

Минусинск

Миньяр

Мирный

Михайлов

Михайловка

Михайловск

Мичуринск

Могоча

Можайск

Можга

Моздок

Мончегорск

Морозовск

Моршанск

Мосальск

Московский

Муравленко

Мураши

Мурманск

Муром

Мценск

Мыски

Мытищи

Мышкин

Набережные Челны

Навашино

Наволоки

Надым

Назарово

Назрань

Называевск

Нальчик

Нариманов

Наро-Фоминск

Нарткала

Нарьян-Мар

Находка

Невель

Невельск

Невинномысск

Невьянск

Нелидово

Неман

Нерехта

Нерчинск

Нерюнгри

Нестеров

Нефтегорск

Нефтекамск

Нефтекумск

Нефтеюганск

Нея

Нижневартовск

Нижнекамск

Нижнеудинск

Нижние Серги

Нижние Серги-3

Нижний Ломов

Нижний Новгород

Нижний Тагил

Нижняя Салда

Нижняя Тура

Николаевск

Николаевск-на-Амуре

Никольск

Никольское

Новая Ладога

Новая Ляля

Новоалександровск

Новоалтайск

Новоаннинский

Нововоронеж

Новодвинск

Новозыбков

Новокубанск

Новокузнецк

Новокуйбышевск

Новомичуринск

Новомосковск

Новопавловск

Новоржев

Новороссийск

Новосибирск

Новосиль

Новосокольники

Новотроицк

Новоузенск

Новоульяновск

Новоуральск

Новохоперск

Новочебоксарск

Новочеркасск

Новошахтинск

Новый Оскол

Новый Уренгой

Ногинск

Нолинск

Норильск

Ноябрьск

Нурлат

Нытва

Нюрба

Нягань

Нязепетровск

Няндома

Облучье

Обнинск

Обоянь

Обь

Одинцово

Ожерелье

Озерск

Озеры

Октябрьск

Октябрьский

Окуловка

Олекминск

Оленегорск

Оленегорск-1

Оленегорск-2

Оленегорск-4

Олонец

Омск

Омутнинск

Онега

Опочка

Орёл

Оренбург

Орехово-Зуево

Орлов

Орск

Оса

Осинники

Осташков

Остров

Островной

Острогожск

Отрадное

Отрадный

Оха

Оханск

Очер

Павлово

Павловск

Павловский Посад

Палласовка

Партизанск

Певек

Пенза

Первомайск

Первоуральск

Перевоз

Пересвет

Переславль-Залесский

Пермь

Пестово

Петергоф

Петров Вал

Петровск

Петровск-Забайкальский

Петрозаводск

Петропавловск-Камчатский

Петухово

Петушки

Печора

Печоры

Пикалево

Пионерский

Питкяранта

Плавск

Пласт

Плес

Поворино

Подольск

Подпорожье

Покачи

Покров

Покровск

Полевской

Полесск

Полысаево

Полярные Зори

Полярный

Поронайск

Порхов

Похвистнево

Почеп

Починок

Пошехонье

Правдинск

Приволжск

Приморск

Приморско-Ахтарск

Приозерск

Прокопьевск

Пролетарск

Протвино

Прохладный

Псков

Пугачев

Пудож

Пустошка

Пучеж

Пушкин

Пушкино

Пущино

Пыталово

Пыть-Ях

Пятигорск

Радужный

Райчихинск

Раменское

Рассказово

Ревда

Реж

Реутов

Ржев

Родники

Рославль

Россошь

Ростов

Ростов-на-Дону

Рошаль

Ртищево

Рубцовск

Рудня

Руза

Рузаевка

Рыбинск

Рыбное

Рыльск

Ряжск

Рязань

Саки

Салават

Салаир

Салехард

Сальск

Самара

Санкт-Петербург

Саранск

Сарапул

Саратов

Саров

Сасово

Сатка

Сафоново

Саяногорск

Саянск

Светлогорск

Светлоград

Светлый

Светогорск

Свирск

Свободный

Себеж

Севастополь

Северо-Курильск

Северобайкальск

Северодвинск

Североморск

Североуральск

Северск

Севск

Сегежа

Сельцо

Семенов

Семикаракорск

Семилуки

Сенгилей

Серафимович

Сергач

Сергиев Посад

Сергиев Посад-7

Сердобск

Серов

Серпухов

Сертолово

Сестрорецк

Сибай

Сим

Симферополь

Сковородино

Скопин

Славгород

Славск

Славянск-на-Кубани

Сланцы

Слободской

Слюдянка

Смоленск

Снегири

Снежинск

Снежногорск

Собинка

Советск

Советская Гавань

Советский

Сокол

Солигалич

Соликамск

Солнечногорск

Солнечногорск-2

Солнечногорск-25

Солнечногорск-30

Солнечногорск-7

Соль-Илецк

Сольвычегодск

Сольцы

Сольцы 2

Сорочинск

Сорск

Сортавала

Сосенский

Сосновка

Сосновоборск

Сосновый Бор

Сосногорск

Сочи

Спас-Деменск

Спас-Клепики

Спасск

Спасск-Дальний

Спасск-Рязанский

Среднеколымск

Среднеуральск

Сретенск

Ставрополь

Старая Купавна

Старая Русса

Старица

Стародуб

Старый Крым

Старый Оскол

Стерлитамак

Стрежевой

Строитель

Струнино

Ступино

Суворов

Судак

Суджа

Судогда

Суздаль

Суоярви

Сураж

Сургут

Суровикино

Сурск

Сусуман

Сухиничи

Сухой Лог

Сызрань

Сыктывкар

Сысерть

Сычевка

Сясьстрой

Тавда

Таганрог

Тайга

Тайшет

Талдом

Талица

Тамбов

Тара

Тарко-Сале

Таруса

Татарск

Таштагол

Тверь

Теберда

Тейково

Темников

Темрюк

Терек

Тетюши

Тимашевск

Тихвин

Тихорецк

Тобольск

Тогучин

Тольятти

Томари

Томмот

Томск

Топки

Торжок

Торопец

Тосно

Тотьма

Трехгорный

Трехгорный-1

Троицк

Трубчевск

Туапсе

Туймазы

Тула

Тулун

Туран

Туринск

Тутаев

Тында

Тырныауз

Тюкалинск

Тюмень

Уварово

Углегорск

Углич

Удачный

Удомля

Ужур

Узловая

Улан-Удэ

Ульяновск

Унеча

Урай

Урень

Уржум

Урус-Мартан

Урюпинск

Усинск

Усмань

Усолье

Усолье-Сибирское

Уссурийск

Усть-Джегута

Усть-Илимск

Усть-Катав

Усть-Кут

Усть-Лабинск

Устюжна

Уфа

Ухта

Учалы

Уяр

Фатеж

Феодосия

Фокино

Фролово

Фрязино

Фурманов

Хабаровск

Хадыженск

Ханты-Мансийск

Харабали

Харовск

Хасавюрт

Хвалынск

Хилок

Химки

Холм

Холмск

Хотьково

Цивильск

Цимлянск

Чадан

Чайковский

Чапаевск

Чаплыгин

Чебаркуль

Чебоксары

Чегем

Чекалин

Челябинск

Чердынь

Черемхово

Черепаново

Череповец

Черкесск

Чермоз

Черноголовка

Черногорск

Чернушка

Черняховск

Чехов

Чехов-2

Чехов-3

Чехов-8

Чистополь

Чита

Чкаловск

Чудово

Чулым

Чулым-3

Чусовой

Чухлома

Шагонар

Шадринск

Шали

Шарыпово

Шарья

Шатура

Шахтерск

Шахты

Шахунья

Шацк

Шебекино

Шелехов

Шенкурск

Шилка

Шимановск

Шиханы

Шлиссельбург

Шумерля

Шумиха

Шуя

Щекино

Щелкино

Щелково

Щербинка

Щигры

Щучье

Электрогорск

Электросталь

Электроугли

Элиста

Энгельс

Энгельс-19

Энгельс-2

Эртиль

Юбилейный

Югорск

Южа

Южно-Сахалинск

Южно-Сухокумск

Южноуральск

Юрга

Юрьев-Польский

Юрьевец

Юрюзань

Юхнов

Юхнов-1

Юхнов-2

Ядрин

Якутск

Ялта

Ялуторовск

Янаул

Яранск

Яровое

Ярославль

Ярцево

Ясногорск

Ясный

Яхрома

Физические основы механики

При течении жидкости ее отдельные слои в общем случае текут с разными скоростями, скользят друг относительно друга, вследствие чего между ними возникают силы трения. Эти силы называют силами внутреннего трения. Они возникают не только в жидкостях, но и в газах.

Жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениями и , по которой слева направо течет жидкость (рис. 9.12). Пусть в месте сечения заданы: скорость течения , давление и высота , на которой расположено это сечение. Аналогично, в месте сечения заданы скорость течения , давление и высота .

Рис. 9.12. К выводу уравнения Бернулли

За время объём жидкости переместится вдоль трубки тока, причем сечение переместится в положение , пройдя путь , сечение переместится в положение , пройдя путь . В силу уравнения непрерывности струи заштрихованные объёмы будут иметь одинаковую величину: .

Энергия каждой частицы жидкости слагается из её кинетической энергии и потенциальной энергии в поле сил тяжести. Полная энергия потока, протекающего за время через сечение , равна

Аналогичное выражение для энергии потока имеем для сечения :

При стационарном течении между сечениями и энергия не накапливается. В идеальной жидкости силы трения отсутствуют, так что механическая энергия никуда не исчезает. Следовательно, изменение полной энергии жидкости равно работе, совершенной внешними силами

Силы давления на боковую поверхность трубки тока перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц, вследствие чего работы не совершают. Отлична от нуля лишь работа сил давления, приложенных к сечениям и . Эта работа равна

Приравнивая изменение энергии потока работе сил давления , находим:

Сократив на и перенеся члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получаем:

Сечения и были взяты совершенно произвольно. Поэтому можно утверждать, что

В стационарно текущей идеальной несжимаемой жидкости в любом сечении трубки тока величина

имеет одно и то же значение, другими словами, вдоль трубки тожа эта величина постоянна

Полученное нами соотношение называется уравнением Бернулли. Это уравнение выражает собой закон сохранения механической энергии при стационарном течении несжимаемой идеальной жидкости.

В частном случае горизонтального течения жидкости уравнение Бернулли принимает вид

Из уравнения непрерывности

следует, что в месте сужения потока его скорость возрастает, а из уравнения Бернулли — что в этом месте падает давление.

Рис. 9.13. Скорости жидкости и давление в зависимости от сечения трубки

Когда идущие параллельными курсами корабли находятся слишком близко друг к другу, давление между ними падает и давление внешнего потока их сближает, и может привести к столкновению судов.

Пример. В сосуде проделано небольшое отверстие. Высота жидкости над отверстием равна . Найдем скорость вытекающей струи.

Применим уравнение Бернулли. В качестве сечения возьмем поверхность жидкости, а за сечение примем проделанное отверстие. Давления в обоих сечениях можно считать постоянными (и равными атмосферному). Скоростью жидкости в сечении можно пренебречь (если площадь сосуда много больше площади отверстия: >> ) Тогда имеем:

где — высота сечения над сечением (то есть уровень жидкости над отверстием), a — скорость истечения жидкости из отверстия. Получаем в итоге:

Указанное соотношение называется формулой Торричелли. Заметим, что скорость истечения струи равна скорости свободного падения тела с той же высоты. Это не удивительно, так как в основе обоих результатов лежит закон сохранения энергии при движении в однородном поле сил тяжести.

Рис. 9.14. Истечение жидкости из отверстия

Выводя уравнение Бернулли, мы пренебрегли сжимаемостью жидкости. Что касается газов, их сжимаемость намного больше, чем у жидкостей. Получим оценку применимости уравнения Бернулли к течению газов. Величина , называемая динамическим давлением, должна быть мала по сравнению со статическим давлением . Тогда колебания давления вследствие течения газа будут невелики и его сжимаемостью можно пренебречь. Следовательно, критерием применимости уравнения Бернулли к газам служит неравенство

или

Приведем численную оценку. При нормальных условиях давление воздуха приблизительно равно 10⁵ Па, а плотность воздуха 1,29 кг/м³. Отсюда

Это число близко к скорости звука и отличается от неё только коэффициентом 2 под знаком корня: в выражении для скорости звука под знаком корня стоит показатель адиабаты , равный для воздуха при комнатных температурах 1,4. Как будет видно позже, это не случайно, поэтому критерий применимости к газу приближения «несжимаемой жидкости», в котором он считается несжимаемым, можно сформулировать так. Можно пренебречь сжимаемостью газа при скоростях его течения много меньших скорости звука в этом газе:

При таких скоростях мы можем применять уравнение Бернулли к газам с тем же успехом, что и к жидкостям.

Левитатор Бернулли | izi.TRAVEL

Поднесите руку к отверстию и определите направление движения воздуха. Теперь закройте отверстие пластиковым диском, и вы увидите, что он не упадет, хотя воздух дует прямо на него. Почему?
Полное давление любого газа складывается из двух частей. Во-первых, есть внешнее давление газа на какое-либо тело, это как раз то, что мы обычно понимаем под термином давление. Во-вторых, в отличие от твердых тел, в газах существует довольно значительное внутреннее давление, которое возникает в результате соприкосновения различных слоев газа. Согласно закону Бернулли (который на самом деле является частным случаем закона сохранения энергии) полное давление газа в замкнутой системе всегда постоянно. Когда увеличивается скорость движения газа, то увеличивается его внутреннее давление, соответственно, чтобы выполнялся закон Бернулли, внешнее давление должно уменьшиться. Поэтому этот закон формулируют иногда и так: «Чем больше скорость движения газа, тем меньше его давление», - подразумевая,естественно только внешнюю его составляющую.
А теперь давайте вернемся к нашему экспонату и посмотрим, что происходит с воздухом по разные стороны от диска. Очевидно, что под диском воздух неподвижен, но над диском он двигается. Поскольку диаметр диска значительно больше, чем диаметр отверстия, из которого выходит воздух, то над большей частью диска воздух двигается параллельно его поверхности. Поэтому давление сверху диска оказывается меньше, чем давление снизу, и диск не падает.
В повседневной жизни мы также можем столкнуться с действием закона Бернулли. Именно благодаря ему зимой поезд, проходящий мимо на большой скорости, увлекает за собой снег, и легковые машины прижимаются к обгоняющим их грузовикам. Но самое большое значение закон Бернулли имеет для авиации. Изогнутая форма крыла самолета обеспечивает разность скоростей сверху и снизу от крыла, в результате чего, согласно закону Бернулли, давление воздуха над крылом становится меньше давления воздуха под крылом, и самолет поднимается вверх.

Закон Бернулли - очередная глупость физико-теоретиков | Не верь стереотипам

Петр Иванович Дубровский, добросовестный инженер – исследователь, честный и непредвзятый частный научный детектив. [email protected]

Я уже как-то высказывался по поводу закона Бернулли и одного из подобных физико-теоретиков на примере записи одной из лекций.

Итак, смотрим видео:

Сделаем стоп-кадр:

Очевидно, что гидростатическое давление воды при устоявшемся потоке. монотонно и равномерно падает по мере приближения к сливному отверстию.

Напомню, что именно рассказывает преподаватель (как и десятки других преподавателей "основ гидравлики") тысячам студентов - будущих инженеров: "Вы видите, что чем ближе к входу, тем выше уровень воды" в манометрических трубках. Соответственно, тем больше величина гидростатического давления воды в этом сечении.

ЭТО ОЧЕВИДНО

Казалось бы, всё ясно и совершенно понятно.

Но существует малюсенькая-малюсенькая такая проблемка. Парадокс, можно сказать. Дело в том, что это простенькое наглядное пособие предназначено для лучшего усвоения так называемого "закона Бернулли", согласно которому, как рассказывают всё те же самые преподаватели, и движутся жидкости (и газы) в трубах.

Чтобы не рыскать по множеству курсов лекций, воспользуюсь Википедией, благо и рисунок там есть:

Расчётная схема, на основании которой сделан вывод "закона Бернулли" для несжимаемых газов и жидкостей, текущих по трубам.

Читаем Вики дальше:

Чтобы разные "особо эрудированные" граждане не суетились по поводу "тоже мне, нашёл достоверный источник", могу добавить, что общепризнанные авторитеты от теоретической физики - Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц в своём VI томе "Теоретической физики. Гидродинамика" проповедуют те же самые глупости, которые опровергаются видеороликом вверху:

Скан из "Гидродинамики" Ландау и Лифшица.

А теперь давайте еще раз посмотрим на стоп-кадр из видео:

Плотность жидкости (воды) (po) - практически неизменна (а с чего бы ей меняться?).

Скорость потока V, как мы понимаем - тоже неизменна (поток устоявшийся).

Поэтому первый член уравнения закона Бернулли

(po) * V^2 / 2 для всех четырёх сечений с манометрическими трубками - одинаков.

Дальше.

(po) - неизменна.

g - оно и в Африке g - одно и то же, чуть меняющееся от широты и высоты над уровнем моря.

h - для всех четырёх сечений - одинакова (труба. по которой течёт жидкость - горизонтальна)

Поэтому и второй член уравнения "закона Бернулли" - тоже одинаков для всех четырёх сечений.

А вот давление P, как мы совершенно однозначно видим, различается . оно довольно существенно уменьшается от входа к сливному отверстию.

Таким образом мы приходим к парадоксальному для физико-теоретиков выводу:

(po) * V^2 / 2 + (po)*g*h + P - это вовсе не константа, а эта величина монотонно и, как можно наблюдать во время опыта, равномерно убывающая при приближении к сливу.

То есть, вопреки тому, что нам внушают физико-теоретики, приводя теоретический вывод "закона Бернулли", на самом деле течение жидкости по трубе вовсе не соответствует теоретическому "закону Бернулли".

То есть физико-теоретики либо настолько слепы, либо настолько бестолковы, что не видят этого несоответствия уже 300 лет?

А физика, как нам должно быть прекрасно известно, это, прежде всего, экспериментальная наука. И в том случае, когда экспериент полностью опровергает "теорию", это означает, что теория - неверна, и должна быть пересмотрена.

Очевидно, что Даниил и Иоганн Бернулли где-то ошиблись в своих предположениях, где-то накосячили. И это "где-то" надо найти и исправить. Но больше всего меня поражает то, что за почти 300 лет никто (повторяю - НИКТО) из профессиональных физиков не обратил внимание на это явное несоответствие.

Так, может быть, физико-теоретикам, да и нашей дремлющей РАН, "тряхнуть стариной" да и разобраться с этим парадоксом?

Хотя, судя по всему, если трясти наших физико-академиков да профессоров вузов, ничего, кроме мелкого песка не вытрясешь.

Возможно, имеет смысл кому-нибудь из молодых преподавателей физики заняться исправлением "закона Бернулли", добавить в него такие величины, как длину трубы, её диаметр, давление у сливного отверстия?

Я не думаю, что это такое уж сложное дело - его вполне можно решить на практических и лабораторных занятиях по гидравлике со студентами.

Бернулли закон - Справочник химика 21

Если для струйки идеальной жидкости уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения механической энергии, то для потока реальной жидкости оно является уравнением баланса энергии с учетом потерь. Энергия, теряемая жидкостью на рассматриваемом участке течения, разумеется, не исчезает бесследно, [c.52]

Основным уравнением гидродинамики является уравнение Д. Бернулли, представляющее собой частный случай закона сохранения и превращения энергии. Для струйки идеальной жидкости, т. е. такой жидкости, у которой нет вязкости, а значит и внутреннего трения, прп установившемся движении это уравнение имеет вид [c.14]

Уравнение энергии для струйки идеальной жидкости (уравнение Д. Бернулли). Закон сохранения энергии применительно к движению жидкостей и газов записывается в виде уравнения энергии. Получим это уравнение вначале для струйки невязкой жидкости, а затем распространим его на поток вязкой жидкости. [c.42] Практическое приложение законов гидромеханики изучается в гидравлике, которая делится на гидростатику (учение о равновесии жидкостей) и гидродинамику (учение о движении жидкостей). Законы движения жидкостей были открыты основоположниками гидравлики — Д. Бернулли (1700—1782) и Л. Эйлером (1707—1783). [c.121]

Согласно уравнению Бернулли, закон движения жидкости можно интерпретировать 1) при установившемся движении идеальной жидкости для любой точки потока сумма статического и динамического напоров остается величиной постоянной 2) при установившемся движении идеальной жидкости в той точке потока, где скорость больше, давление меньше 3) при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной (г + Р1 ) и кинетической энергии т 12 ) остается величиной постоянной. [c.92]

К сожалению, местные очаги коррозии точно воспроизвести в опытах гораздо труднее, чем общую скорость коррозии. Подразумевают, что две пластинки одного и того же металла, подготовленные тщательным образом, одинаково и частично погруженные в электролит на одинаковый срок, будут давать один и тот же суммарный коррозионный эффект. Однако распределение коррозии будет, вероятно, сильно меняться от одного образца к другому так же, как и соотношение между поверхностями, которые не подверглись разрушению. Потеря толщины в той части, где коррозия наиболее интенсивна, не будет одинакова на двух образцах. Может показаться странным, что скорость общей коррозии приблизительно одна и та же, в то время как интенсивность коррозии в отдельных точках меняется от образца к образцу. Возможность хорошего воспроизведения скорости коррозии основывается, вероятно, на том факте, что сила коррозионных токов сильно зависит от скорости доставки кислорода к местам, благоприятным для протекания катодной реакции. Так как эти участки многочисленны и расположены близко друг к другу, по крайней мере на железе и цинке, то по принципу Бернулли (закон среднего) скорость разрушения металла будет приблизительно одинакова для параллельных образцов. Для а люминия, где катодные участки менее многочисленны и отделены друг от друга, средняя скорость коррозии воспроизводится хуже. С другой стороны, развитие местной коррозии зависит от положения точек, в которых начинается коррозия, а они располагаются раздельно даже на железе и цинке, что видно непосредственно невооруженным глазом. Таким образом, появление местной коррозии на данном образце не может быть предсказано [c.102]

Согласно уравнению Бернулли закон движения жидкости можно интерпретировать [c.97]

Реологические свойства жидких масел. Смазочные масла относятся к жидкостям. Соответственно их поведение, характеристики, эксплуатационные свойства определяются законами течения жидкостей. В классической гидродинамике общую характеристику течения жидкости описывает уравнение Бернулли [c.266]

Уравнение Бернулли является выражением одного из важнейших законов гидравлики, так как решение ее основных задач связано с определением расхода энергии и вычислением работы или мощности. Пользуясь уравнением Бернулли, определяют скорость и расход жидкости, т. е. пропускную способность аппаратов и трубопроводов. При помощи этого уравнения рассчитывают также время истечения жидкости и ее полный напор. [c.139]

Уравнение Бернулли выводится на основе закона сохранения энергии и применяется для определения геометрии и размеров объема рабочей камеры печи, размеров газоходов, боровов, вытяжной трубы и выбора тягодутьевого оборудования. Применительно к движению несжимаемых газов уравнение Бернулли имеет вид [c.69]

В областях I и II давление определяется в соответствии с законом Бернулли [c.76]

Понятие о законе больших чисел. Теорема Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова. [c.153]

Таким образом, уравнение Бернулли является частным случаем закона сохранения энергии и выражает энергетический баланс потока. [c.56]

Вторая стадия отложения кокса происходит из паровой фазы за счет диспергированной в ней жидкости. Важным обстоятельством в этом процессе является градиент скоростей з сечении потока у поверхности трубы линейная скорость потока намного меньше, чем в центре. В соответствии с законом Бернулли давление в центре потока (трубы) будет несколько меньше, чем у поверхности трубы. Распределение скоростей при турбулентном режиме течения описывается известным уравнением [41] [c.262]

Закон сохранения энергии для установившегося потока несжимаемой жидкости в поле сил земного притяжения выражается уравнением Бернулли (рис. 0 13) [c.18]

При протекании жидкости через дросселирующее устройство скорость 13 нем возрастает и давление падает с До р[. При этом создается пересыщение и происходит выделение пузырьков газа (кавитация). По закону Бернулли изменение скорости и соответственно давле[1ия для воды связаны уравнением [c.88]

Зная закон распределения скоростей по сечению трубы см. уравнение (1.71)] и связь средней скорости с потерей напора [см. уравнение (1.74)1, легко определить значение коэффициента а, учитывающего неравномерность распределения скоростей в уравнении Бернулли, для случая стабилизированного ламинарного течения жидкости в круглой трубе. Для этого в выражении (1.50) заменим скорость по формуле (1.71) и среднюю скорость но формуле (1.74), а также учтем, что [c.79]

Д. Бернулли открыл фундаментальный закон гидродинамики, устанавливающий связь между давлением и скоростью в потоке несжимаемой жидкости, и опубликовал его в своем труде Гидродинамика (1738 г.). Эта работа Бернулли и теперь, спустя два с лишним столетия, не потеряла теоретической и практической ценности и широко используется при изучении течения жидкости в рабочих органах водяных двигателей. [c.9]

Уравнение Бернулли выражает частный случай закона сохранения энергии. Любой напор в трубопроводе можно рассматривать как энергию жидкости, отнесенную либо к 1 кгс, либо к 1 жидкости [c.46]

Таким образом, уравнение Бернулли является математической формулировкой закона сохранения энергии для невязкой жидкости при установившемся состоянии ее движения. [c.46]

Расходомерные измерения дроссельными приборами основаны на применении сужения трубопровода, вызывающего появление перепада давления в протекающей жидкости или газе. Перепад давления в точках до пережимающей поток детали и за ней подчиняется закону перехода потенциальной энергии потока в кинетическую, выражаемого уравнениями Бернулли и неразрывности, и является функцией количества протекаемой среды. [c.10]

По закону Бернулли разность давлений перед и за частицей [c.97]

Между статическим и динамическим давлением существует зависимость, определяемая уравнением Бернулли как частным выражением закона сохранения энергии [c.173]

При истечении пара высокого давления из сопла 2 в камеру смешения (где давление близко к давлению вторичного пара) его скорость резко возрастает, достигая на выходе из сопла в камеру смешения 800—1000 м/с. Столь высокая скорость (выше скорости звука) обеспечивается формой сопла и тщательностью обработки (полировки) его внутренней поверхности. Согласно закону Бернулли, увеличение скорости (и скоростного напора) сопровождается снижением давления в камере смешения до значений, несколько меньших р , что и обусловливает засасывание вторичного пара. Резкое понижение давления и рост скорости при истечении из сопла показаны на рис. 9.17,5 вертикальным участком 1-2. [c.720]

Основы кинетической теории, которая объяснила газовые законы, были заложены в XVIII в. в работах М. В. Ломоносова и Я. Бернулли и получили развитие в XIX в. в трудах Р. Клаузиуса, Д. Максвелла и Л. Больцмана. Кинетическая теория идеальных газов строится на нескольких простых допущениях [c.36]

Объяснение газовых законов базируется на атомно-молекулярном учении и кинетической теории. Основателями кинетической теории следует считать Д. Бернулли и М. В. Ломоносова. Д. Бернулли дал математическое выражение, связывающее давление газа с движением молекул. М. В. Ломоносов применил молекулярно-кинетические представления для объяснения различных явлений, в частности развил молекулярно-кинетическую теорию теплоты. Окончательную разработку кинетическая теория получила в исследованиях Дж. П. Джоуля , вычислившего в 1851 г. среднюю скорость движения частиц газа, Р. Клаузиуса (1822—1888), Дж. К. Максвелла (1831—1879). [c.160]

Гидродинамическая картина псевдоожиженного слоя чрезвычайно сложна. Не существует равномерного, прямолинейного и параллельного движения твердых частиц они могут сближаться, свободное сечение между ними уменьшается и в таком случае при возрастающей скорости газового потока по закону Бернулли снижается статическое давление. В результате частицы еще больше сближаются и образуют крупные скопления. Между ними появляются сравнительно мало заполненные твердыми частицами пространства с незначительным гидравлическим сопротивлением, куда и устремится в виде компактных газовых пузырей большая часть потока. [c.185]

Можно также представить себе, что при быстром сближении двух частиц скорость их пульсационного движения должна возрасти за счет мгновенного сужения канала между ними. Это вызовет по закону Бернулли падение давления между частицами, благоприятное для образования конгломерата из двух, а затем н большего числа частиц. Распаду образовавшегося агрегата препятствует стремление частиц двигаться в гидродинамической тени за другими частицами и способствует уменьшение скорости между составляющими его частицами. В результате агрегаты находятся в состоянии неустойчивого равновесия — в слое возникают флуктуации плотности, пульсации. [c.31]

В технологии машиностроения наиболее часто встречаются вероятностно-статистические модели, описьшаемые следующими законами распределения закон Бернулли (биноминальное распределение), закон нормального распределения (закон Гаусса), закон Пуассона, закон равной вероятности, закон Симпсона и многие другие и их комбинации. [c.111]

Основными законами механики для расчета турбомашпн являются уравнение Бернулли, закон импульсов или моментов количества движения и уравнение неразрывности. [c.89]

При обтекании системы тел идеальной жидкостью (р, = О и Re- oo) линии тока между ними сгущаются (рис. II. 2) и скорость в этом промежутке возрастает. По закону Бернулли Р + = onst, давление в этом промежутке уменьшается и на тела начинают действовать как бы силы притяжения, [c.29]

С. чругон стороны, действительная работа колеса может быть представлена уравнениями Бернулли и первого закона термо-. инамнки (2.14) и (2.15), в которых работы сжатия и потерь прн рассмотрении процесса в ступени как ряда иос. едовательных политропных процессов равны сумме соответствующих работ в элементах ступени [c.68]

Открытие основных законов гидравлики связано с именами Архимеда, Паскаля, Ньютона, Эйлера, Бернулли, Шези, Дарси, Буссинеска, Вейсбаха, Прандтля, Н. Е. Жуковского и других ученых. Решение ряда задач нефтяной гидравлики было получено на основании результатов работ В. Г. Шухова, Л. С. Лейбензона, И. Г. Есьмана, И. А. Чарного, Б. Б. Лапука, В. И. Чериикина, В. Н. Щелкачева и др. [c.25]

Более того, такое свойство биосистем, как самовоспроизводимость, непосредственно вытекает из статистического закона больших чисел и свойств аддитивности статистических распределений термодинамических функций. Хотя гипотеза об информационных полях не нова, нам удалось показать, развивая термодинамику многокомпонентных систем, что эти поля действуют между любыми объектами природы и имеют высшую разумную статистическую основу. Статистическое информационное поле связывает самые различные объекты системы в единое целое, независимо от их пространственно-временного существования. Например, распределение числа частиц по кинетической энергии (закон Максвелла) выполняется даже в идеальных газах, т.е. в системах, где нет никаких взаимодейств1и 1, кроме механических столкновений. Существуют системы, кочорые подчиняются четко выраженным законам Бернулли, Гаусса, Пуассрнг и 1.Д. Статистические сиязи склеивают самые различные объекты в единое це- [c.19]

Законы идеальных газов чрезвычайно просты. Первоначально они были установлены опытным путем. Теоретическое истолкование и обоснование этих законов было дано позже на основе молекулярно-кинетической теории. Основные положения молекулярно-кинетической теории газов были сформулированы в середине XVIII в. русскими учеными М. В. Ломоносовым и Д. Бернулли. Отдельные вопросы теории уточнялись и развивались в течение последующих ста лет в работах Дальтона, Клапейрона, Максвелла, Больцмана, Клаузиуса и других ученых. В настоящее время молекулярно-кинетические представления широко используются всеми естественными науками. [c.19]

Полученное в предыдущих параграфах уравнение Бернулли является оснонпым законом установившегося движения жпдкости. Это уравнение [c.58]

Согласно уравнению Бернулли в установившемся потоке идеальной жидкости сумма потенциальной и кинетической энepг ii в любом сечении трубопровода остается постоянной. В случае уменьшения сечения трубопровода (например, диафрагмой) часть потенциальной энергии протекаюш,ей жидкости перейдет в кинетическую и, наоборот, если имеется расширение трубопровода часть кинетической энергии превратится в потенциальную, причем суммарное количество энергии остается постоянным. Уравнение Бернулли является математическим выражением закона сохранения энергии в установившемся потоке идеальной жидкости. Из уравнения непрерывности следует, что в установившемся потоке количество протекаемой жидкости в единицу времени в произвольном сечении трубопровода остается постоянным. [c.11]

С другой стороны, легко видеть, что сумма г + plpg выражает запас удельной потенциальной энергии единицы массы жидкости, обусловленный высотою расположения и гидростатическим давлением, а величина — запас удельной кинетической энергии. Таким образом, по уравнению Бернулли, суммарная удельная шергия элементарной струйки идеальной жидкости при установившемся движении остается неизменной. Уравнение Бернулли описывает, следовательно, частный случай обш его закона сохранения энергии. [c.36]

Закон Бернулли, уравнение Бернулли, статическое, динамическое давление, трубка, шприц, касание двух листов бумаги, Даниэль Бернулли

Закон Бернулли - это основной закон гидродинамики, сформулированный в 1738 году швейцарским математиком Даниэлем Бернулли. Это касается закона стационарного течения идеализированной жидкости (невязкой, невязкой). Стационарный поток - это поток, в котором скорость движения остается постоянной в любой точке жидкости.
Суть закона Бернулли заключается в следующем: во время течения жидкости сумма статического и динамического давлений постоянна вдоль каждой линии потока.

Закон Бернулли имеет математическую форму уравнения:

p + ρgh + ½ρv ² = const

где: p - давление жидкости, ρ - плотность жидкости, v - скорость потока жидкости, g - ускорение свободного падения, h - высокая трубка жидкости над землей.

Первые два можно резюмировать как: статическое давление P _s = p + ρgh, а третья часть - динамическое давление P _d = ½ρv ².
P _s - давление, приложенное перпендикулярно направлению потока, а P _d - параллельно.
Поскольку их сумма постоянна, можно предположить, что в областях с более высокой скоростью потока статическое давление будет ниже.

Обратимся теперь к некоторым практическим примерам. У нас есть бревно, полное воды, с отверстием внизу, через которое течет вода. С какой скоростью будет работать v _ex outflow?
Предположим, что на поверхности (точка 1) вода вообще не движется.Таким образом, только статическое давление равно: р + ргх ₁. Здесь на выходе (в точке 2) жидкость имеет статическое давление, равное: p + ρgh ₂, и динамическое давление: ½ρv _wyp ².

Согласно закону Бернулли, мы можем составить уравнение:

p + ρgh ₁ = p + ρgh ₂ + ½ρv _wyp ²

следовательно: ρgh ₁ - ρgh ₂ = ½ρv _ex ²
gh ₁ - gh ₂ = ½v _ex ²

Мы видим, что скорость истечения увеличивается с увеличением высоты узла жидкости в ванне.Эта формула идентична той, которую мы использовали бы для капли жидкости с высоты (h ₁ - h ₂).

Явление уменьшения статического давления за счет увеличения динамического давления (и наоборот) можно легко наблюдать, используя трубу, поперечное сечение которой не одинаково по всей ее длине (она имеет углы), а также для измерения статического давления. давления, трубка расположена перпендикулярно направлению потока жидкости.

Во время прилива в трубе жидкость имеет большую скорость там, где она проходит.Это связано с тем, что одинаковое количество жидкости должно проходить через каждую площадь поперечного сечения трубки в единицу времени. При меньшем поперечном сечении это нужно делать на большей длине. Это возможно только в том случае, если жидкость движется быстрее.
Этот эффект хорошо виден в шприцах. Мы перемещаем поток медленно, и жидкость вытекает из шприца с гораздо большей скоростью.
Возвращаясь к нашей трубке: мы заметим, что уровень жидкости в трубке, перпендикулярной трубке (являющейся манометром статического давления), явно ниже, чем в сечении нормального поперечного сечения.
Итак, где динамическое давление увеличивается (с увеличением скорости), статическая составляющая там уменьшается.

Еще один пример из жизни. Если мы приклеим по 2 листа бумаги к обеим щекам и подувем между ними, как ни парадоксально, они будут прилипать друг к другу. Объяснение этому явлению простое. Выдуваемый поток воздуха имеет динамическое давление, поэтому статическое давление (действующее сбоку - на листы) будет ниже, чем то, которое действует на листы снаружи (от статического воздуха).Итак, внешнее давление преодолело, и поэтому страницы будут прилипать друг к другу.

MACIEJ PANCZYKOWSKI

.90 000

Начнем с простого домашнего лабораторного теста по физике.

Домашняя лаборатория Физический
	Я держу два листа бумаги, которые сложены в руке. как показано на рисунке слева и диаграмме справа. Продуйте воздух между страницами, как показано на схеме со стрелками. вертикальный.Горизонтальные стрелки показывают две возможности перемещения страниц при между ними движется воздух.
Ответить перед запуском шоу - Is карточки сближаются (1) или расходятся (2) ?

Если интуиция вас не подвела и вы правильно ответили, то вот она вы найдете обоснование своего ответа; если вы ответили неправильно, тем более стоит выяснить, почему он отличается от ожидаемого.

Уравнение неразрывности определяет соотношение между скоростью жидкости и поперечное сечение ручья. Изменение скорости означает движение с ускорением, со он должен идти с силой, и он должен идти с жидкостями удобнее заменить на давление. Давление может быть разным происхождение, например атмосферное или гидростатическое (в зависимости от местоположения) или извне, например, Найдем связь между величинами определение движения потока жидкости. Предположим, что мы рассматриваем движение неподвижная идеальная жидкость, т.е.нелипкий и нелипкий. Соображения наши могут также применяться к газу, если при данных условиях его собственные аналогичны свойствам жидкостей, перечисленным выше.

Используя уравнение неразрывности, заметим, что оба объема и они равны друг другу, это . Применим закон сохранения энергии к нашему случаю, помня, что есть жидкость нелипкий и без потерь энергии из-за внутреннего трения. Мы предполагаем, что размеры потоки и вытеснения жидкости за рассматриваемый период времени да мало, что мы можем пренебречь различиями в скорости жидкости, давлении и высоте в пределах заданного сечения.

Напишем выражение для увеличения энергии жидкости, связанной с потоком.

(09/10)

Увеличение энергии равно работе, совершаемой внешним давлением на жидкости. Силы давления на боковые стенки жидкости не действуют, потому что они перпендикулярно направлению потока. Поэтому работа выполняется только давления, действующие перпендикулярно секциям и быть знаком работа силы давления, возникающая в результате давления, положительна, потому что сетка находится в направлении движения.По определению у нас есть работа

(9,11)

Увеличение энергии жидкости равняется работе, совершаемой внешними силами. Таким образом, мы можем сравнить выражения, полученные по формулам (9.10) и (9.11). Принимая во внимание, что е, т.е. равна массе жидкости, которая со временем перемещаться по рассматриваемым сечениям и группировке слева и в правой части получаем значения, соответствующие тем же сечениям

(9.12)

Здесь мы рассмотрели сечения, выбранные в любой точке потока. Означает тот факт, что уравнение (9.12) применимо к любым поперечным сечениям, что означает e

(9,13)

Полученное соотношение также остается сухим при разделении уравнения (9.13) автор. Выполнение этого и повторное использование зависимости мы получили

(9.14)

Уравнение (9.14) или его эквивалентные уравнения (9.12) и (9.13) они называются уравнениями Бернулли.

Первая связь в левой части уравнения (9.14) связана с движением. жидкость и называется динамическое давление , вторая соответствует энергии потенциальная единица массы жидкости i - , гидростатическое давление , третья - с внешним давлением . Уравнение Бернулли определяет соотношение между этими величинами.

Теперь перейдем к тесту в домашней лаборатории. Движение воздуха в пространство между страницами делается по горизонтали, поэтому переверните в формуле (9.14) можно не указывать. Итак, у нас есть

(9,15)

Воздух движется с максимальной скоростью в области сближенных страниц, которое следует из уравнения неразрывности. Из уравнения (9.15) следует, что это именно то, что должно быть наибольшее падение статического давления, если сумма частей после в левой части уравнения (9.15) имеет постоянное значение слева. На внешней стороне однако есть атмосферное давление. Разница в разрезах под воздействием чьи страницы становятся ближе друг к другу. Когда страницы начинают двигаться затем точка их наибольшего приближения перемещается вперед, вызывая эффект, видимый в нашем ролике.

Уравнение Бернулли играет огромную роль в динамике потока, в особенно в аэродинамике, начиная с конструкции распылителей жидкости, и, наконец, что не менее важно ... строительство крыльев самолетов.Подробнее об этом тему можно найти в указанной библиографии.

Уравнение Бернулли (задачи) - ИНДИКАТОР -

В уравнениях Бернулли мы будем использовать предыдущие знания о дифференциальных уравнениях и вычислении интегралов. Каждое уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению , поэтому вам нужно знать методы их решения. Кроме того, мы используем различные методы вычисления интегралов: здесь интегрирование по частям, здесь рациональные интегралы и многое другое.

Задача 1. Решите уравнение Бернулли:

Решение

Разделим уравнение пополам на.

Производим замену:

Подставьте

в уравнение:

Это дает нам линейное уравнение. Решаем их, например, методом варьирования константы. Итак, сначала мы решаем однородное линейное уравнение:

Это общее решение однородного уравнения.Теперь преобразуем константу:

Подставьте

в исходное уравнение. Нас:

Подставляем:

У нас:

Следовательно:

В итоге имеем:

Возвращаясь к замене получаем:

Обратите внимание, что те, которые мы исключили в начале, также являются решением этого уравнения.

Решение

Разделим уравнение пополам на.

Производим замену:

Подставьте

в уравнение:

Это дает нам линейное уравнение. Решаем их, например, изменением константы. Метод предсказания здесь невозможен. Итак, сначала мы решаем однородное линейное уравнение:

Это общее решение однородного уравнения.Теперь преобразуем константу:

Подставьте

в исходное уравнение. Нас:

В итоге имеем:

Возвращаясь к замене получаем:

Обратите внимание, что те, которые мы исключили в начале, также являются решением этого уравнения.

Решение

Разделим уравнение пополам на.

Это уравнение Бернулли. Производим замену:

Подставьте

в уравнение:

Это дает нам линейное уравнение. Решаем их, например, интегрирующим множителем.

Умножаем уравнение на интегрирующий коэффициент:

Проверяем, сохраняется ли левая часть в виде:

Следовательно:

Интегрируя стороны, получаем:

Возвращаясь к замене получаем:

Это наше окончательное решение.

Решение

Разделим уравнение пополам на.

Производим замену:

Подставьте

в уравнение:

Это дает нам линейное уравнение. Решаем их, например, интегрирующим множителем.

В качестве интегрирующего множителя возьмем

Умножаем уравнение на интегрирующий коэффициент:

Проверяем, сохраняется ли левая часть в виде:

Следовательно:

Интегрируя стороны, получаем:

Берем интеграл по частям.Пусть:

Из формулы интегрирования по частям получаем:

Получаем:

Возвращаясь к замене получаем:

Обратите внимание, что те, которые мы исключили в начале, также являются решением этого уравнения.

Решение

Разделим уравнение пополам на.

Разделим уравнение пополам на:

Производим замену:

Подставьте

в уравнение:

Это дает нам линейное уравнение. Решаем их, например, интегрирующим множителем.

В качестве интегрирующего множителя возьмем

Умножаем уравнение на интегрирующий коэффициент:

Проверяем, сохраняется ли левая часть в виде:

Следовательно:

Интегрируя стороны, получаем:

Возвращаясь к замене получаем:

, которые мы исключили вначале.

Задача 2. Решить уравнение Бернулли с начальным условием:

Решение

Умножаем уравнение пополам на.

Производим замену:

Подставьте

в уравнение:

Это дает нам линейное уравнение.Решаем их, например, интегрирующим множителем.

В качестве интегрирующего множителя возьмем

Умножаем уравнение на интегрирующий коэффициент:

Проверяем, сохраняется ли левая часть в виде:

Следовательно:

Интегрируя стороны, получаем:

Возвращаясь к замене получаем:

Учитываем начальное условие:

Наконец

Решение

Преобразуем уравнение:

Производим замену:

Подставьте

в уравнение:

Это дает нам линейное уравнение.Решаем их, например, интегрирующим множителем.

Умножаем уравнение на интегрирующий коэффициент:

Проверяем, сохраняется ли левая часть в виде:

Следовательно:

Интегрируя стороны, получаем:

Возвращаясь к замене получаем:

Учитываем начальное условие:

Наконец

Уравнение Бернулли

Определение . Уравнение Бернулли мы называем дифференциальное уравнение, которое может быть привести к виду:

(1) y ′ + p & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y = q & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; yr & ZeroWidthSpace;

где r & Element; R & bsol; {1,0}. & ZeroWidthSpace;

Обратите внимание, что если мы позволим г = 0 & ZeroWidthSpace; в уравнении (1) получаем линейное уравнение y ′ + p & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y = q & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace;.

если г = 1, & ZeroWidthSpace; тогда (1) принимает вид y ′ + p & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y = q & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y & ZeroWidthSpace;, то есть эквивалентно y ′ + (p & ApplyFunction; (t) −q & ApplyFunction; (t)) & InvisibleTimes; y = 0, & ZeroWidthSpace; таким образом, оно становится уравнением с разделенными переменными.

Более того, если г> 0 & ZeroWidthSpace; это особенность y & ApplyFunction; (t) ≡0 & ZeroWidthSpace; является одним из решений уравнения (1).

Замена u = y1 - r, & ZeroWidthSpace; где u & ZeroWidthSpace; это новая неизвестная функция, она преобразует уравнение (1) в линейное уравнение. Действительно, мы делаем тогда

u ′ = (1 - r) & InvisibleTimes; y - r & InvisibleTimes; y ′ & ZeroWidthSpace;

С другой стороны, разделив обе части уравнения (1) на год, & ZeroWidthSpace; мы получили:

(2) y ′ & InvisibleTimes; y - r + p & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y1 - r = q & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace;

Подставляя u = y1 - r & ZeroWidthSpace; и y - r & InvisibleTimes; y ′ = u′1 - r & ZeroWidthSpace; в уравнении (2) получаем:

u′1 - r + p & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; u = q & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace;

откуда мы окончательно получаем линейное уравнение:

u ′ + (1 - r) & InvisibleTimes; p & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; u = (1 - r) & InvisibleTimes; q & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace;

Пример .Мы решим проблему исходный y ′ + 2t & InvisibleTimes; y = y3t2, & ZeroWidthSpace; y & ApplyFunction; (1) = 1. & ZeroWidthSpace;

РЕШЕНИЕ

Во-первых, обратите внимание, что функция y & ApplyFunction; (t) ≡0 & ZeroWidthSpace; является решением данного уравнения, но это не то, что вы ищете решение, потому что начальное условие гласит, что y & ApplyFunction; (1) = 1 & ZeroWidthSpace;.

Таким образом, мы можем разделить обе части нашего уравнения от y3: & ZeroWidthSpace;

y′y3 + 2t⋅1y2 = 1t2 & ZeroWidthSpace;

Подменяем и = 1у2.& ZeroWidthSpace; потом u ′ = - 2y3 & InvisibleTimes; y ′, & ZeroWidthSpace; откуда y′y3 = −12 & InvisibleTimes; u ′. & ZeroWidthSpace; Итак, они получили:

−12 & InvisibleTimes; u ′ + 2t & InvisibleTimes; u = 1t2 & ZeroWidthSpace;

откуда после умножения обеих частей на −2, & ZeroWidthSpace; получаем уравнение:

u ′ - 4t & InvisibleTimes; u = −2t2. & ZeroWidthSpace;

Умножив обе части последнего уравнения на множитель интеграция e - ∫4t & InvisibleTimes; dt = eln & ApplyFunction; 1t4 = 1t4, & ZeroWidthSpace; мы получили:

1t4 & InvisibleTimes; u - 4t5 & InvisibleTimes; u = −2t6 & ZeroWidthSpace;

(1t4 & InvisibleTimes; u) ′ = - 2t6 & ZeroWidthSpace;

1t4 & InvisibleTimes; u = 25 & InvisibleTimes; t5 + C & ZeroWidthSpace;

u = 25 & InvisibleTimes; t + C & InvisibleTimes; t4 & ZeroWidthSpace;

1y2 = 25 & InvisibleTimes; t + C & InvisibleTimes; t4 & ZeroWidthSpace;

Подставим начальное условие в последнее равенство y & ApplyFunction; (1) = 1: & ZeroWidthSpace;

1 = 25 + C & ZeroWidthSpace;

C = 35 & ZeroWidthSpace;

1y2 = 25 & InvisibleTimes; t + 35 & InvisibleTimes; t4.& ZeroWidthSpace;

y2 = 5 & InvisibleTimes; t2 + 3 & InvisibleTimes; t5 & ZeroWidthSpace;

Из последнего равенства следует, что y = 5 & InvisibleTimes; t2 + 3 & InvisibleTimes; t5 & ZeroWidthSpace; или y = −5 & InvisibleTimes; t2 + 3 & InvisibleTimes; t5. & ZeroWidthSpace; Так как y & ApplyFunction; (1) = 1> 0, & ZeroWidthSpace; так y & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace; принимает положительные значения в некоторой среде t0 = 1 & ZeroWidthSpace;.

Итак, решение нашей стартовой проблемы: y = 5 & InvisibleTimes; t2 + 3 & InvisibleTimes; t5. & ZeroWidthSpace;

Упражнение. Решите уравнение:

y ′ - t & InvisibleTimes; y = вы & ZeroWidthSpace;

с начальным условием y & ApplyFunction; (0) = - 1. & ZeroWidthSpace; Определите область решения.

ОТВЕЧАТЬ

Решение: y = −− 1 + 2 & InvisibleTimes; et2 & ZeroWidthSpace;

Домен: R & ZeroWidthSpace;

РЕШЕНИЕ

Умножаем обе части уравнения на y: & ZeroWidthSpace;

y & InvisibleTimes; y ′ - t & InvisibleTimes; y2 = t & ZeroWidthSpace;

Подменяем u = y2 & ZeroWidthSpace; и мы получаем u ′ = 2 & InvisibleTimes; y ′ & InvisibleTimes; y.& ZeroWidthSpace; После подстановки последнего уравнения получаем:

12 & InvisibleTimes; u ′ - t & InvisibleTimes; u = t & ZeroWidthSpace;

откуда

u ′ - 2 & InvisibleTimes; t & InvisibleTimes; u = 2 & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace;

Умножаем обе части последнего уравнения на множитель интеграция e∫ - 2 & InvisibleTimes; t & InvisibleTimes; dt = e - t2 & ZeroWidthSpace;:

e - t2 & InvisibleTimes; u ′ - 2 & InvisibleTimes; t & InvisibleTimes; e - t2 & InvisibleTimes; u = 2 & InvisibleTimes; t & InvisibleTimes; e - t2 & ZeroWidthSpace;

У нас есть еще:

(e - t2 & InvisibleTimes; u) ′ = 2 & InvisibleTimes; t & InvisibleTimes; e - t2 & ZeroWidthSpace;

е - t2 & InvisibleTimes; u = −e - t2 + C & ZeroWidthSpace;

u = -1 + C & InvisibleTimes; et2 & ZeroWidthSpace;

Так как u = y2, & ZeroWidthSpace; поэтому из последнего уравнения имеем

y2 = −1 + C & InvisibleTimes; et2 & ZeroWidthSpace;

Подставляем начальное условие в последнее равенство y & ApplyFunction; (0) = - 1: & ZeroWidthSpace;

1 = -1 + C & ZeroWidthSpace;

Отсюда получаем C = 2 & ZeroWidthSpace; и y2 = −1 + 2 & InvisibleTimes; et2.& ZeroWidthSpace;

Из равенства y2 = −1 + 2 & InvisibleTimes; et2 & ZeroWidthSpace; у нас есть y = −1 + 2 & InvisibleTimes; et2 & ZeroWidthSpace; или y = −− 1 + 2 & InvisibleTimes; et2. & ZeroWidthSpace;

Так как y & ApplyFunction; (0) = - 1 <0, & ZeroWidthSpace; так что искомое решение y = −− 1 + 2 & InvisibleTimes; et2 & ZeroWidthSpace;. Область решения R, & ZeroWidthSpace; так как −1 + 2 & InvisibleTimes; et2> 0 & ZeroWidthSpace; для каждого t & element; R.& ZeroWidthSpace;

Упражнение. Решите уравнение:

y ′ = y & ApplyFunction; (y2 & InvisibleTimes; et - 1) & ZeroWidthSpace;

с начальным условием y & ApplyFunction; (0) = - 1. & ZeroWidthSpace; Определите область решения.

ОТВЕЧАТЬ

Решение: y = −12 & InvisibleTimes; et - e2 & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace;

Область решения: (−∞, ln & ApplyFunction; 2) & ZeroWidthSpace;

РЕШЕНИЕ

Преобразуем данное уравнение к виду y ′ + y = y3 & InvisibleTimes; et.& ZeroWidthSpace; Мы видим, что это уравнение Бернулли.

Разделим последнее уравнение пополам на y3, & ZeroWidthSpace; отмечая, что функция y & ApplyFunction; (t) = 0 & ZeroWidthSpace; является решением последнего уравнения, но это не решение, которое мы ищем, потому что начальное условие тот y & ApplyFunction; (0) = - 1. & ZeroWidthSpace; Мы получили:

y′y3 + 1y2 = et & ZeroWidthSpace;

Подменяем u = 1y2 & ZeroWidthSpace; и мы получаем u ′ = - 2y3 & InvisibleTimes; y ′.& ZeroWidthSpace; После замены y′y3 = −12 & InvisibleTimes; u ′ & ZeroWidthSpace; к последнему уравнению получаем:

−12 & InvisibleTimes; u ′ + u = et & ZeroWidthSpace;

откуда

u ′ - 2 & InvisibleTimes; u = −2 & InvisibleTimes; et & ZeroWidthSpace;

Умножаем обе части последнего уравнения на множитель интеграция e∫ - 2 & InvisibleTimes; dt = e - 2 & InvisibleTimes; t: & ZeroWidthSpace;

e - 2 & InvisibleTimes; t & InvisibleTimes; u ′ - 2 & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t & InvisibleTimes; u = −2 & InvisibleTimes; e - t & ZeroWidthSpace;

У нас есть еще:

(e - 2 & InvisibleTimes; t & InvisibleTimes; u) ′ = - 2 & InvisibleTimes; e - t & ZeroWidthSpace;

e - 2 & InvisibleTimes; t & InvisibleTimes; u = 2 & InvisibleTimes; e - t + C & ZeroWidthSpace;

u = 2 & InvisibleTimes; et + C & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace;

Так как u = 1y2, & ZeroWidthSpace; поэтому из последнего уравнения имеем:

y2 = 12 & InvisibleTimes; et + C & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace;

Подставляем начальное условие в последнее равенство y & ApplyFunction; (0) = - 1: & ZeroWidthSpace;

1 = 12 + C & ZeroWidthSpace;

Следовательно C = -1 & ZeroWidthSpace; и y2 = 12 & InvisibleTimes; et - e2 & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace;

Из равенства y2 = 12 & InvisibleTimes; et - e2 & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace; у нас есть y = 12 & InvisibleTimes; et - e2 & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace; или y = −12 & InvisibleTimes; et - e2 & InvisibleTimes; t.& ZeroWidthSpace;

Так как y & ApplyFunction; (0) = - 1 <0, & ZeroWidthSpace; так что искомое решение y = −12 & InvisibleTimes; et - e2 & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace;.

Область решения - это совокупность этих t & Element; R, & ZeroWidthSpace; который 2 & InvisibleTimes; et - e2 & InvisibleTimes; t> 0. & ZeroWidthSpace;

Последнее неравенство эквивалентно неравенство 2 - et> 0, & ZeroWidthSpace; решением которого является интервал (−∞, ln & ApplyFunction; 2).& ZeroWidthSpace; Это та область нашего решения, которую мы ищем.

Упражнение. Решите уравнение:

y ′ = y & ApplyFunction; (y2 & InvisibleTimes; e3 & InvisibleTimes; t - 2) & ZeroWidthSpace;

с начальным условием y & ApplyFunction; (0) = - 2. & ZeroWidthSpace; Определите область решения.

ОТВЕЧАТЬ

Решение: y = −2e3 & InvisibleTimes; t & InvisibleTimes; (8-7 & InvisibleTimes; et) & ZeroWidthSpace;

Область решения: (−∞, ln & ApplyFunction; 87) & ZeroWidthSpace;

Упражнение. Решите уравнение:

t & InvisibleTimes; y ′ = y & ApplyFunction; (2 & InvisibleTimes; y & InvisibleTimes; t & InvisibleTimes; ln & ApplyFunction; t - 1) & ZeroWidthSpace;

с начальным условием y & ApplyFunction; (1) = 1. & ZeroWidthSpace; Определите область решения.

ОТВЕЧАТЬ

Решение: y = 1t & InvisibleTimes; (1 - ln2 & ApplyFunction; t) & ZeroWidthSpace;

Область решения: (0, ∞) & bsol; {e, 1e} & ZeroWidthSpace;

Упражнение. Решите уравнение:

t & InvisibleTimes; y ′ = - y & ApplyFunction; (y & InvisibleTimes; t & InvisibleTimes; ln & ApplyFunction; 2 & InvisibleTimes; t + 1) & ZeroWidthSpace;

с начальным условием y & ApplyFunction; (12) = - 4. & ZeroWidthSpace; Определите область решения.

ОТВЕЧАТЬ

Решение: y = 2t & InvisibleTimes; (ln2 & ApplyFunction; 2 & InvisibleTimes; t - 1) & ZeroWidthSpace;

Область решения: (0, ∞) & bsol; {e2,12 & InvisibleTimes; e} & ZeroWidthSpace;

Закон Бернулли. Просто и эффективно

Многие люди в окружающем нас мире подчиняются законам физики. Это неудивительно, поскольку термин «физика» происходит от греческого слова «характер». И один из этих законов постоянно работает вокруг нас, это закон Бернулли.

Сам закон служит следствием принципа сохранения энергии. Эта интерпретация позволяет дать ему новое понимание многих ранее известных явлений. Чтобы понять суть закона, достаточно просто подвести текущий ручей.Здесь он бежит, бежит между камнями, ветками и корнями. Кое-где уже становится шире, где-то. Вы заметите, что там, где поток шире, вода течет медленнее, а чем дольше вода течет быстрее. Это принцип Бернулли, который устанавливает связь между давлением в потоке жидкости и его скоростью.

Однако в учебниках физики это оформлено несколько иначе, и это связано с гидродинамикой, а не с текущим потоком. В достаточно тонкой форме в этом варианте воплощения можно резюмировать форму почти Бернулли - давление текучей среды, протекающей в трубе, выше, когда ее скорость ниже, и наоборот, когда ее скорость выше, давление ниже.

Для подтверждения достаточно провести простые эксперименты. Необходимо взять лист бумаги и подуть по нему. Бумага поднимается вверх, по которой течет воздух.

Все очень просто. Как закон Бернулли, где чем выше скорость, тем ниже давление. Следовательно, вдоль поверхности листа с потоком воздуха давление меньше, а под листом, где нет потока воздуха, давление больше.Вот список, и он возрастает в том направлении, где давление ниже, где течет воздушный поток.

Указанный эффект широко используется в быту и в искусстве. В качестве примера можно рассмотреть пистолет или аэрограф. Обе эти трубы имеют большее поперечное сечение, чем другие. То, что прикреплено к емкости с краской большего диаметра, соответственно тому, что имеет меньшее поперечное сечение, проходит с большой скоростью воздуха. Из-за разницы давлений краски она попадает в воздушный поток, который передается на окрашиваемую поверхность.

По такому же принципу может работать и насос. Фактически, в том, что было описано выше, есть насос.

Не менее интересен закон Бернулли применительно к осушению водно-болотных угодий. Как всегда все очень просто. Болота соединяют канавы у реки. Течение в реке там болото. Снова возникает перепад давления, и речная вода начинает стекать с болотистой местности. Это происходит в чистой демонстрации законов физики.

Эффект этого эффекта может быть утомительным и разрушительным.Например, если два корабля находятся близко друг к другу, скорость воды будет выше, чем у других. В результате появляется дополнительная сила, которая сближает корабли, и катастрофа неизбежна.

Все можно сказать и изложить в виде формул, но для написания уравнения Бернулли не обязательно понимать физическую природу явления.

Для лучшего понимания приведем еще один пример приложения, описанного законом. Все они ракеты.В частном случае в камере сжигается топливо и образуется реактивная струя. Для его разгона используется специальная коническая деталь - сопло. Происходит ускоренный поток газа, а значит - увеличение тяги потока.

Существует множество различных вариантов использования закона Бернулли в технике, но рассмотреть их в рамках данной статьи просто невозможно.

Да, он сформулировал закон Бернулли, приняв во внимание объяснения физической природы процессов, происходящих в природе техники, и примеры возможных применений этого закона.

.90,000 Потенциал подземных вод и закон Дарси 9000 1

Потенциал подземных вод

Потенциальный одномерный поток в столбе почвы можно представить на следующей диаграмме.

Закон Бернулли

Мерой энергии потока жидкости в рассматриваемой точке является полная гидравлическая высота H.
Согласно закону Бернулли это можно выразить как:

 H = z + \ frac {u} {p_ {w} * g} + \ frac {v_ {r} ^ {2}} {2 * g}

где:

z - высота точки над принятым ориентиром,
u - давление воды в порах почвы,
ρ _{w - плотность воды},
g - ускорение свободного падения,
v _r - скорость воды в порах.

Из-за низких значений скорости потока воды в почве, первый член суммы в уравнении 1 имеет пренебрежимо малые значения, которые малы по сравнению с двумя другими членами. Итак, получаем.

 H = \ frac {u} {p_ {w} * g} + H_z

Закон Дарси

В середине девятнадцатого века французский инженер Х. Дарси экспериментально установил закон фитрации, т. Е. Течения воды в пористой среде. Для одномерного потока их можно записать следующим образом.

 v = \ frac {Q} {A} = k * i = k * \ frac {\ Delta H} {L}

где:

v - скорость фильтрации,
Q - расход в образце грунта,
A - площадь поперечного сечения образца в направлении, перпендикулярном потоку,
k - коэффициент фильтрации,
i = ΔH / L - гидравлический градиент,
ΔH - разница гидравлической высоты между концом и началом пути фильтрации,
L - длина пути фильтрации (рис.2). Поскольку гидравлическое падение является безразмерной величиной, коэффициент фильтрации выражается в [м / с] или производных единицах.

Скорость фильтрации v не является фактической скоростью воды в земле. Это скорость, которую имела бы текущая вода, если бы она заполнила все поперечное сечение образца почвы. Фактически, большая часть поперечного сечения занята зернами скелета, и только поры доступны для потока воды.
Среднюю фактическую скорость воды в порах можно приблизительно оценить.

где:
n - пористость грунта.

Энергетический потенциал подземных вод также может быть выражен в единицах давления.
Тогда мы получаем другую форму уравнения Дарси:

где:

κ - удельный коэффициент проницаемости,
µ _w - коэффициент динамической вязкости воды,
Δ _u и Δ _z - означают увеличение давления воды и высоты вдоль пути фильтрации соответственно.
Связь между k и κ следующая:

Удельная проницаемость, κ, является параметром, характеризующим почву, в зависимости от размера и формы пор. Выражается в м ². С другой стороны, коэффициент фильтрации k также зависит от плотности и вязкости воды и, следовательно, косвенно от температуры. Стандартно предполагается, что значения k ₁₀ соответствуют температуре 10 ^◦ C. Коэффициент фильтрации для другой температуры T, выраженный в ^◦ C, может быть преобразован в k ₁₀, используя формула:

Формулы (3) и (5) применимы к одномерному потоку, в котором направление и смысл вектора скорости фильтрации известны заранее.Однако в более общем случае трехмерной позолоты компоненты вектора скорости фильтрации могут быть обозначены как:

Знак минус перед производными означает, что вектор скорости направлен на уменьшающуюся гидравлическую высоту (отрицательное значение градиента). Многие почвы обладают анизотропными свойствами, а это означает, что значения коэффициента фильтрации зависят от направления потока. В общем, значения k _x и k _y, соответствующие горизонтальным направлениям, больше, чем значения k _из для вертикального направления.

Коэффициент фильтрации может быть определен на основании полевых испытаний, лабораторных испытаний или рассчитан на основе кривой гранулометрического состава. Примерные значения коэффициента плавности для различных грунтов и горных пород представлены в таблице ниже.

В следующем материале будет затронута тема фильтрации в слоистых почвах, на которую я хотел бы вас сейчас пригласить!

Теорема Бернулли Уравнение Бернулли, приложения и решенные упражнения / Физика | Панорама

Теорема Бернулли , которая описывает поведение жидкости в движении, была описана математиком и физиком Даниэлем Бернулли в его работе Hydrodynamics . Согласно этому принципу идеальная жидкость (без трения или липкости), которая циркулирует по замкнутому каналу, будет иметь постоянную энергию на своем пути.

Теорема может быть выведена из закона сохранения энергии или даже из второго закона движения Ньютона.Более того, принцип Бернулли также гласит, что увеличение скорости жидкости означает уменьшение давления, которому она подвергается, уменьшение ее потенциальной энергии или и то, и другое.

Теорема имеет множество различных приложений, как в мире науки, так и в повседневной жизни людей.

Его разветвления проявляются в силе самолетов, в дымовых трубах домов и на промышленных предприятиях, в системе водоснабжения, среди прочего.

Индекс

1 Уравнение Бернулли
- 1.1 Упрощенная форма
2 Приложения
3 Решенное упражнение
4 ссылки

Уравнение Бернулли

Леонард Эйлер разработал уравнение Бернулли в том виде, в каком оно известно сегодня.

В любом случае , уравнение Бернулли, которое является не чем иным, как математическим выражением его теоремы, выглядит следующим образом:

v ² ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = constant

В этом выражении v - скорость жидкости в рассматриваемом сечении, ƿ - плотность жидкости, P - давление жидкости, g - величина ускорения свободного падения, z - высота, измеренная в направлении силы тяжести.

Уравнение Бернулли показывает, что энергия жидкости состоит из трех элементов:

- кинетическая составляющая, являющаяся результатом скорости, с которой движется жидкость.

- Потенциальная или гравитационная составляющая, возникающая из-за высоты, на которой находится жидкость.

- Энергия давления, которой обладает жидкость в результате давления, которому она подвергается.

С другой стороны, уравнение Бернулли также может быть выражено следующим образом:

v ₁ ² ∙ ƿ / 2 + P ₁ + ƿ ∙ g ∙ z ₁ = v ₂ ² ∙ ƿ / 2 + P ₂ + ƿ ∙ g ∙ of ₂

Это последнее выражение очень практично для анализа изменений, которые испытывает жидкость, когда изменяется один из элементов, составляющих уравнение.

Упрощенная форма

В некоторых случаях изменение члена ρgz уравнения Бернулли минимально по сравнению с тем, что испытывают другие члены, поэтому его можно опустить. Например, это происходит с токами, которые испытывает самолет в полете.

В таких случаях уравнение Бернулли выражается следующим образом:

P + q = P ₀

В этом выражении q - динамическое давление и равно v ² ∙ ƿ / 2 и P ₀ это так называемое полное давление i, складывающееся из статического давления P и динамического давления q.

Приложения

Теорема Бернулли имеет множество различных приложений в различных областях, таких как наука, инженерия, спорт и т. Д.

Интересное применение - проектирование дымоходов. Дымоходы построены высоко, чтобы получить больший перепад давления между основанием и выходом дымохода, что облегчает отвод дымовых газов.

Конечно, уравнение Бернулли применимо и к изучению движения потоков жидкости в трубах.Из уравнения следует, что уменьшение поперечной поверхности трубы с целью увеличения скорости жидкости, проходящей через нее, также вызывает снижение давления.

Уравнение Бернулли также используется в авиации и автомобилях Формулы 1. В авиации эффект Бернулли является источником поддержки самолетов.

Крылья самолета предназначены для обеспечения большего обтекания верхней части крыла.

Таким образом, в верхней части крыла скорость воздуха высока и, следовательно, давление ниже.Эта разница давлений создает вертикальную восходящую силу (подъемную силу), которая удерживает самолет в воздухе. Аналогичный эффект достигается в элеронах автомобилей Формулы 1.

Решающее упражнение

По трубе 4,2 см ² струя воды течет со скоростью 5,18 м / с. Вода спускается с высоты 9,66. м до нижнего уровня с нулевой высотой, при этом поперечная площадь трубы увеличивается до 7,6 см. ².

a) Рассчитайте скорость потока воды на нижнем уровне.²

Очистка, у вас есть это:

v ₂ = 2,86 м / с

б) Применяя теорему Бернулли между двумя уровнями и учитывая, что плотность воды составляет 1000 кг / м3 ³, вы иметь это:

v ₁ ² ∙ ƿ / 2 + P ₁ + ƿ ∙ g ∙ z ₁ = v ₂ ² ∙ ƿ / 2 + P ₂ + ƿ ∙ г ∙ из ₂

(1/2). 1000 кг / м ³.(5,18 м / с) ² + 152000 + 1000 кг / м ³. 10 м / с ². 9,66 м =

= (1/2). 1000 кг / м ³. (2,86 м / с) ² + P ₂ + 1000 кг / м ³. 10 м / с ². 0 м

Очистка P ₂ вы получите:

P ₂ = 257926,4 Па

Каталожные номера

Принцип Бернулли. (нет данных). В Википедии. Проверено 12 мая 2018 г. С сайта es.wikipedia.org.
Принцип Бернулли. (нет данных). В Википедии. Получено 12 мая 2018 г. с сайта en.wikipedia.org.
Бэтчелор, Г.К. (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета.
Лэмб, Х. (1993). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
Мотт, Роберт (1996). Механика прикладных жидкостей (4-е изд.). Мексика: Pearson Education.

Каталог

Бернулли закон

Эффект Бернулли - это... Что такое Эффект Бернулли?

Одно из применений

Для сжимаемого идеального газа

Термодинамика закона Бернулли

Приложение

См. также

Литература

Примечания

в чем состоит, где применяется, объяснение на молекулярном уровне

Физическая сущность закона Бернулли

Закон Бернулли как следствие закона сохранения энергии

Проявление закона Бернулли в жизни

Уравнение Бернулли — важный закон гидродинамики

Физические основы механики

Левитатор Бернулли | izi.TRAVEL

Закон Бернулли - очередная глупость физико-теоретиков | Не верь стереотипам

Бернулли закон - Справочник химика 21

Закон Бернулли, уравнение Бернулли, статическое, динамическое давление, трубка, шприц, касание двух листов бумаги, Даниэль Бернулли

Уравнение Бернулли (задачи) - ИНДИКАТОР -

Уравнение Бернулли

Закон Бернулли. Просто и эффективно

Потенциал подземных вод

Закон Бернулли

Закон Дарси

Теорема Бернулли Уравнение Бернулли, приложения и решенные упражнения / Физика | Панорама

Уравнение Бернулли

Упрощенная форма

Приложения

Решающее упражнение

Каталожные номера

Смотрите также