8 (913) 791-58-46
Заказать звонок

Как сделать объемную геометрическую фигуру из бумаги схема


Объемные фигуры из картона выкройки. Геометрические фигуры из бумаги своими руками с описанием и фото схем

Любому ребенку нравится делать яркие и объемные поделки. Творчество можно объединить с изучением математики и склеить вместе с детьми геометрические фигуры. Ребенок с интересом проведет время, а дополнительно постигнет основы точной науки. Ниже представлено, как начертить карандашом и сделать объемные геометрические фигуры из бумаги, также приведены их правильные названия.

Как сделать объемные геометрические фигуры

Дети познают мир в процессе игры и творчества. Трехмерные фигуры, выполненные своими руками, помогут познакомиться с удивительной наукой - геометрией.

Примеры трафаретов и шаблонов можно скачать из Интернета и распечатать. Затем все фигуры вырезают и склеивают. Дети старшего возраста могут самостоятельно нарисовать развертку нужной фигуры, малышам помогают родители,.

Геометрические объекты делают из бумаги (белой или цветной), картона. Из последнего материала они получаются плотными и прочными.

Из бумаги

Из картона

Развертки куба

Треугольника

Прямоугольника

Цилиндра

Ромба

Призмы

Схемы для вырезания

Ученикам 1–2 класса демонстрируют в школе простые геометрические фигуры и 3d: квадрат, кубик, прямоугольник. Их несложно вырезать и склеить. Шаблоны развивают мелкую моторику у детей и дают первые представления о геометрии.

Ученики средней школы, которые изучают черчение, делают сложные фигуры: бумажные шестигранники, фигуры из пятиугольников, цилиндры. Из бумаги для детей выполняют домики для кукол, мебель, оригами, замок для маленьких игрушек, маски на лицо (трехмерные называются полигональными).

Конуса

Пирамиды

Шестигранника

Макета с припусками

Параллелепипеда

Трапеции

Геометрические фигуры схемы


Как сделать объемные геометрические фигуры из бумаги, развертки для склеивания: куба, конуса, схемы и шаблоны для вырезания цилиндра, пирамиды, треугольника

Любому ребенку нравится делать яркие и объемные поделки. Творчество можно объединить с изучением математики и склеить вместе с детьми геометрические фигуры. Ребенок с интересом проведет время, а дополнительно постигнет основы точной науки. Ниже представлено, как начертить карандашом и сделать объемные геометрические фигуры из бумаги, также приведены их правильные названия.

Как сделать объемные геометрические фигуры

Дети познают мир в процессе игры и творчества. Трехмерные фигуры, выполненные своими руками, помогут познакомиться с удивительной наукой — геометрией.

Примеры трафаретов и шаблонов можно скачать из Интернета и распечатать. Затем все фигуры вырезают и склеивают. Дети старшего возраста могут самостоятельно нарисовать развертку нужной фигуры, малышам помогают родители,.

Геометрические объекты делают из бумаги (белой или цветной), картона. Из последнего материала они получаются плотными и прочными.

к оглавлению ^
Из бумаги

к оглавлению ^
Из картона

к оглавлению ^
Развертки куба

к оглавлению ^
Треугольника

к оглавлению ^
Прямоугольника

к оглавлению ^
Цилиндра

к оглавлению ^
Ромба

к оглавлению ^

к оглавлению ^

Схемы для вырезания

Ученикам 1–2 класса демонстрируют в школе простые геометрические фигуры и 3d: квадрат, кубик, прямоугольник. Их несложно вырезать и склеить. Шаблоны развивают мелкую моторику у детей и дают первые представления о геометрии.

Ученики средней школы, которые изучают черчение, делают сложные фигуры: бумажные шестигранники, фигуры из пятиугольников, цилиндры. Из бумаги для детей выполняют домики для кукол, мебель, оригами, замок для маленьких игрушек, маски на лицо (трехмерные называются полигональными).

к оглавлению ^
Конуса

к оглавлению ^
Пирамиды

к оглавлению ^
Шестигранника

к оглавлению ^
Макета с припусками

к оглавлению ^
Параллелепипеда

к оглавлению ^
Трапеции

к оглавлению ^
Овала

к оглавлению ^
Шара

Выкройка шара состоит из 8 частей, 12, 16 или большего количества. Присутствуют и другие способы изображения мяча. Например, из 6 деталей или 4 широких клиньев.

Материал, из чего можно сделать плотный шар — картон или плотная бумага.

к оглавлению ^
Многогранника

к оглавлению ^
Параллелограмма

Геометрические фигуры из бумаги

В основе самых сложных и необычные формы сооружений, устройств, механизмов лежат элементарные геометрические фигуры: куб, призма, пирамида, шар и другие. Для начала научитесь создавать самые простые фигуры, а после вы легко освоите более сложные формы.

Многие моделисты начинают свой путь с бумажных моделей. Это обусловлено доступностью материала (найти бумагу и картон не составляет трудности) и легкостью в его обработки (не требуются специальные инструменты).

Однако, бумага имеет и ряд характерных особенностей:

  • капризный, хрупкий материал
  • требует высокой аккуратности, внимательности, усидчивости при работе

По этим причинам бумага является материалом, как для начинающих, так и для настоящих мастеров и из нее создаются модели самой разной сложности.

В этот статье мы изучим простейшие геометрические фигуры, которые можно сделать из бумаги.

Вам понадобятся следующие материалы:

  • лист бумаги
  • карандаш
  • линейка
  • ластик
  • ножницы
  • клей ПВА либо клеящий карандаш
  • кисточка для клея, лучше из жесткой щетины
  • циркуль (для некоторых фигур)

Как сделать куб из бумаги?

Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат

Создание куба состоит из двух этапов: создание развертки и склеивание. фигуры. Для создания схемы вы можете воспользоваться принтером, просто распечатав готовую схему. Либо вы можете самостоятельно с помощью чертежных инструментов нарисовать развертку.

Рисование развертки:

  1. Выбираем размеры квадрата - одной стороны нашего куба. Лист бумаги должен быть шириной не менее 3 сторон этого квадрата и длиной немного более 4 сторон.
  2. Чертим в длину нашего листа четыре квадрата, которые станут боковыми сторонами куба. Рисуем их строго на одной линии, вплотную друг к другу.
  3. Над и под любыми из квадратов рисуем по одному такому же квадрату.
  4. Дорисовываем полоски для склеивания, с помощью которых грани будут соединяться между собой. Каждые две грани должны соединяться одной полоской.
  5. Куб готов!

После рисования развертка вырезается ножницами и склеивайте ПВА. Клей очень тонким слоем равномерно размазываем кистью по поверхности склеивания. Соединяем поверхности и закрепляем в нужном положении на некоторое время, с помощью скрепки или небольшого груза. Срок схватывания клея где-то 30-40 минут. Ускорить высыхание можно методом нагрева, например, на батарее. После склеиваем следующие грани, закрепляем в нужном положении. И так далее. Так постепенно вы проклеите все грани куба. Используйте небольшие порции клея!

Как сделать конус из бумаги?

Конус – тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Рисование развертки:

  1. Рисуем циркулем окружность
  2. Вырезаем сектор (часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, проведенными к концам этой дуги) из этой окружности. Чем больший сектор вы вырежете, тем острее будет конец конуса.
  3. Склеиваем боковую поверхность конуса.
  4. Измеряем диаметр основания конуса. С помощью циркуля рисуем окружность на листе бумаге требуемого диаметра. Дорисовываем треугольнички для склеивания основания с боковой поверхностью. Вырезаем.
  5. Приклеиваем основание к боковой поверхности.
  6. Конус готов!

Как сделать цилиндр из бумаги?

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Рисование развертки:

  1. Рисуем прямоугольник на бумаги, в котором ширина - это высота цилиндра, а длина определит диаметр будущей фигуры. Отношение длины прямоугольника к диаметру определяется выражением: L=πD, где L- длина прямоугольника, а D - диаметр будущего цилиндра. Подставив в формулу требуемый диаметр, найдем длину прямоугольника, который будем рисовать на бумаге. Дорисовываем небольшие дополнительные треугольнички, которые необходимы для склеивания деталей.
  2. Рисуем на бумаге два круга, диаметром цилиндра. Это будет верхнее и нижнее основания цилиндра.
  3. Вырезаем все детали будущего бумажного цилиндра.
  4. Склеиваем боковую поверхность цилиндра из прямоугольника. Даем детали высохнуть. Приклеиваем нижнее основание. Ждем высыхания. Приклеиваем верхнее основание.
  5. Цилиндр готов!

Как сделать параллелепипед из бумаги?

Параллелепипед – многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

Рисование развертки:

  1. Выбираем размеры параллелепипеда и величины углов.
  2. Чертим параллелограмм - основание. С каждой стороне дорисовываем боковые стороны - параллелограммы. От любой из боковой стороны дорисовываем второе основание. Добавляем полоски для склеивания. Параллелепипед может быть прямоугольным, если стороны прямоугольники. Если параллелепипед не прямоугольный, то создать развертку немного сложнее. Для каждого параллелограмма нужно выдержать требуемые углы.
  3. Вырезаем развертку и склеиваем.
  4. Параллелепипед готов!

Как сделать пирамиду из бумаги?

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

Рисование развертки:

  1. Выбираем размеры пирамиды и количество ее граней.
  2. Рисуем основание - многогранник. В зависимости от количества граней это может быть треугольник, квадрат, пятиугольник или другой многогранник.
  3. От одной из сторон основания рисуем треугольник, который будет боковой стороной. Следующий треугольник рисуем так, чтобы одна сторона у него с предыдущим была общая и так далее. Так рисуем столько треугольников, сколько сторон в пирамиде. Дорисовываем полоски для склеивания в нужных местах.
  4. Вырезаем и склеиваем фигуру.
  5. Пирамида готова!

Читайте также:

Геометрия декора: идеи и схемы для создания интерьерных украшений из бумаги

Геометрические фигуры из бумаги покоряют четкостью, даже строгостью своих линий, при этом выглядят очень оригинально, а сделать их весьма просто. Имея лист бумаги, клей-карандаш и несколько свободных минут, можно создать своими руками удивительный декор для дома.

Можно превратить их в елочные игрушки или подвесы к люстре:

Коробочки для подарков:

Или «печенье» с пожеланиями, предсказаниями, поздравлениями:

Можно стильно украсить ими стены:

Или создать необычный арт-объект:

«Цветочную» композицию:

К вечеринке можно сделать макси-украшения для интерьера:

И мини — в качестве шуточных подарков гостям:

Распечатки вырезаются по сплошным линиям и складываются по пунктирным, затем промазываются клеем по выступающим клапанам и собираются в красивые объекты, использовать которые, как мы уже увидели, можно совершенно по-разному.

А еще я хочу поделиться с вами бумажной моделью настоящего глобуса. Такую вещь будет интересно делать с детьми, она больше напоминает бумажный конструктор и для ее сборки не требуется клей.

Пошаговая сборка:

Распечатки с выдержанным масштабом. Вам понадобится по одному экземпляру листов 1-6 и восемь экземпляров листа 7. Распечатки лучше делать на бумаге с максимальной плотностью, доступной вашему принтеру, или же наклеить тонкую бумагу на картон или кардсток:

Вдохновляйтесь и украшайте свой дом необычными объектами. Приятного творчеста!
Спасибо за внимание.

делаем поделку в технике оригами

Геометрические фигуры из бумаги должен научиться делать каждый! Ведь никогда не знаешь, какие знания тебе могут пригодиться в жизни. В последнее время техника оригами набирает широкую популярность среди детей и взрослых. Но перед тем как делать разнообразные поделки (животных, птиц, растений, маленьких домиков), нужно начать с простых геометрических фигур. Такие изделия подойдут для школьников для хорошего визуального представления разных фигур.

Мастерим куб

Итак, для сегодняшнего мастер-класса нам пригодится бумага, схемы, клей, ножницы, линейки и немножечко терпения.

Куб — самая простая фигура для оригами, простой многогранник, в котором каждая грань является квадратом. Схему для создания развертки можно распечатать на принтере, либо начертить самим. Для этого выбрать размеры граней. Ширина листа бумаги должна быть не менее 3 сторон одного квадрата, а длина не более 5 сторон. Начертить в длину листа четыре квадрата, которые станут боковыми сторонами куба. Рисовать строго на одной линии, вплотную. Над и под одним квадратом нарисовать по одному квадрату. Дорисовать полоски для склеивания, благодаря которым грани будут соединяться между собой. Наш куб уже практически готов!

Далее тонким слоем клея равномерно размазать по местам соединения. Склеить эти поверхности и закрепить на некоторое время с помощью скрепки. Клей будет схватываться около 30-40 минут. Таким образом склеить все грани.

Поделка посложнее

Конус делается немного сложнее. Для начала нарисовать циркулем окружность. Вырезать сектор (часть кружка, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами) из этой окружности. Острота конца конуса зависит от вырезанной части большого сектора.

Склеить боковую поверхность конуса. Далее измерить диаметр основания конуса. Циркулем нарисовать окружность на листе бумаги. Затем дорисовать треугольнички для склеивания основы с боковой поверхности. Вырезать. После приклеить основание к боковой поверхности. Поделка готова!

Сложный параллелепипед

Параллелепипед — сложная фигура многогранник, у которого 6 граней и каждая из них параллелограмм.

Чтобы сделать параллелепипед техникой оригами, нужно начертить основание — параллелограмм любого размера. С каждой его стороны нарисовать боковые стороны — тоже параллелограммы. Далее от любой из боковых сторон дорисовать второе основание. Добавить места для склеивания. Параллелепипед может быть прямоугольным, если все стороны имеют прямые углы. Затем вырезать развертку и склеить. Готово!

Пирамида-оригами

Пришло время сделать пирамиду из бумаги. Это многогранник, основание которого — многоугольник, а другие грани — треугольники с общей вершиной.

Для начала нужно выбрать размеры пирамиды и количество граней. Далее нарисовать многогранник — он будет основанием. Смотря на количество граней, это может быть также треугольник, квадрат, пятиугольник.

От одной из сторон нашего многогранника нарисовать треугольник, который будет боковой стороной. Затем нарисовать еще треугольник, чтобы одна его сторона была общей с первым треугольником. Нарисовать их столько, сколько сторон в пирамиде. Далее дорисовать полоски для склеивания в необходимых местах. Вырезать и склеить фигуру. Пирамида готова!

Бумажный цилиндр

Цилиндр — это геометрическая фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые ее пересекают.

Нарисовать прямоугольник на бумаге, в которой ширина — высота цилиндра, а длина — диаметр. Любители геометрии знают, что отношение длины прямоугольника к диаметру определяется формулой: L=nD, где L — длина прямоугольника, а D — диаметр цилиндра. С помощью этого вычисления узнать длину прямоугольника, которого будем рисовать на бумаге. Дорисовать маленькие треугольнички для склеивания деталей.

Затем нарисовать на бумаге два круга, диаметром как цилиндр. Это будет верхнее и нижнее основания цилиндра. Далее вырезать все детали. Склеить боковую поверхность цилиндра из прямоугольника. Дать детали высохнуть и приклеить к нему нижнее основание. Снова подождать, пока высохнет, и приклеить верхнюю основу. Готово!

Видео по теме статьи

Самые лучшие посты

Геометрические фигуры из бумаги - Вырезаем и занимаемся!

Здесь мы подготовили для вас объемные геометрические фигуры из бумаги, которые нужно вырезать и склеить. Также на этой странице вы найдете плоские фигуры для вырезания, из которых нужно сложить замок. Этот учебный материал поможет ребенку наглядно изучить объемные геометрические фигуры: куб, пирамиду, ромб, шестигранник, цилинд и конус. Задание развивает наглядно-образное мышление.

Объемные геометрические фигуры из бумаги - Вырезаем и клеим:

Здесь вы можете скачать объемные геометрические фигуры из бумаги в виде разверток, которые необходимо распечатать на принтере, вырезать и склеить по указанным местам. В результате у вас получатся объемные фигуры: куб, пирамида (трехгранная и четырехгранная), ромб, шестиугольник, конус и цилиндр. На каждой развертке написано название фигуры, чтобы ребенок во время работы всегда мог видеть, какую фигуру он делает. Это очень удобно для обучения, так как дети обычно не любят, когда взрослые по несколько раз повторяют одно и то же. А в этом случае у родителей нет необходимости проговаривать вслух названия фигур.

  • Итак, в первом листе мы выложили следующие геометрические фигуры: куб (фигура, поверхность которого состоит из 6 квадратов), трехгранная пирамида (основание пирамиды и 3 грани), четырехгранная пирамида (основание и 4 грани), ромб (фигура, визуально состоящая из двух пирамид, имеющих общее основание).
  • Во втором листе вы найдете развертки таких геометрических фигур из бумаги: шестигранник (фигура, состоящая из шести граней), цилиндр (состоящий из свернутого прямоугольника и двух окружностей-оснований) и конус.

Скачать геометрические фигуры из бумаги - развертки для вырезания вы можете во вложениях внизу страницы

Лист 1

Лист 2

 

Скачайте и распечатайте 2 листа с фигурами, вырежьте их аккуратно ножницами и склейте в нужных местах. Учтите, что у бумажных фигур есть дополнительные места для сгиба и склеивания (у нас они выделены оранжевым цветом). Все оранжевые места вам необходимо согнуть и намазав их клеем вклеить с внутренней стороны фигуры.

После того, как дети, при помощи взрослых, склеят все геометрические фигуры из бумаги, можно продолжить занятие, задавая детям вопросы. Например: "Покажи мне пирамиду. Сколько у нее сторон? Где ее основание? Чем эта пирамида (показываете трехранную) отличается от этой (четырехранной)? Покажи мне цилиндр. Какие предметы он тебе напоминает? Покажи конус. На что он похож? Покажи куб. Сколько у него сторон? Из какой геометрической фигуры состоят его стороны?" - и так далее. 

В зависимости от возраста ребенка, можно использовать в занятии различные обучающие материалы. Например, что такое пирамида:

 

Какие бывают пирамиды. (Пусть ребенок покажет из них те, которые он склеил)

Что такое куб:

Что такое конус и цилиндр. На что они похожи:

Можете также скачать эти обучающие картинки во вложениях.

Плоские геометрические фигуры из бумаги - Строим замок 

В этом упражнении вы можете скачать плоские геометрические фигуры из бумаги и построить из них замок, то есть выложить их на столе таким образом, чтобы получился заданный силуэт замка. Для начала скачайте во вложениях бланки с заданием и распечатайте на принтере. Затем вырежьте геометрические фигуры (квадрат, трапеция, полукруг и треугольник), которые даны к этому заданию. Все карточки с заданиями даны с увеличением уровня сложности (от 1 до 6 задания).  

Все карточки с замками можно распечатывать на обычной офисной белой бумаге. А геометрические фигуры нужно распечатать на цветном картоне. Если нет цветного картона, можно использовать для распечатки цветную бумагу, а затем наклеить бумагу на лист картона и вырезать фигуры.

После этого подробно объесните ребенку инструкцию к выполнению упражнения.

"Строители, прежде чем строить какое-либо здание, смотрят сначала на его чертеж или схему, в которых показано каким оно должно быть. Такие чертежи бывают разными. Вот например, один из них", - взрослый показывает одну или две игровых схемы замка с нашего задания. - "Тебе нужно мысленно представить из каких частей состоит каждый замок, руководствуясь теми фигурами, которые можно использовать для строительства." - взрослый показывает все геометрические фигуры, которые заранее вырезаны из цветного картона. 

Очень важно начинать занятие, не используя подсказки, то есть нужно закрывать от ребенка геометрические фигуры, которые нарисованы рядом с силуэтом каждого замка. Пусть ребенок сам подумает, какие фигуры и какого размера ему понадобятся для строительства данного замка. И только если он испытвает трудности, можно приоткрыть для него подсказку. 

Также не нужно допускать, чтобы ребенок накладывал вырезанные геометрические фигуры из бумаги на силуэт замка, так как при этом он не будет развивать наглядно-образное мышление. Старайтесь, чтобы всю основную работу ребенок проводил в уме, а не методом подбора.

Скачать карточки с плоскими геометрическими фигурами для строительства замка вы можете во вложениях внизу страницы.

Карточка 1

Карточка 2 

Карточка 3

Карточка 4 

Карточка 5 

Карточка 6 

Геометрические фигуры для вырезания: 

 

Также вам будут полезны и другие материалы по изучению геометрических фигур: 

Рисунки из геометрических фигур - Задания в картинках и раскраски

Веселые и красочные задания для детей "Рисунки из геометрических фигур" являются очень удобным обучающим материалом для детей дошкольного и младшего школьного возраста по изучению и запоминанию основных геометрических формю

Геометрические фигуры и их названия - Задания в картинках

Здесь вы с ребенком можете изучить геометрические фигуры и их названия с помощью веселых заданий в картинках.

 

Геометрические фигуры - Раскраска для дошкольников

Задания ознакомят ребенка с основными фигурами геометрии - кругом, овалом, квадратом, прямоугольником и треугольником. Только здесь не занудное зазубривание названий фигур, а своеобразная игра-раскраска.

 

Плоские геометрические фигуры - Обведи и дорисуй

Как правило, геометрию начинают изучать, рисуя плоские геометрические фигуры. Восприятие правильной геометрической формы невозможно без выведения ее своими руками на листе бумаги.

Найди формы геометрических фигур в картинках

Это занятие изрядно позабавит ваших юных математиков. Ведь теперь им придется находить знакомые формы геометрических фигур среди множества картинок. 

 

Наложение фигур друг на друга - Задание для детей

Наложение фигур друг на друга - это занятие по геометрии для дошкольников и младших школьников. Смысл упражнения состоит в решении примеров на сложение. Только это необычные примеры. Вместо цифр здесь нужно складывать геометрические фигуры. 

Свойства геометрических фигур для дошкольников

Это задание составлено в виде игры, в которой ребенку предстоит менять свойства геометрических фигур: форму, цвет или размер.

 

Счет геометрических фигур - Картинки с заданиями

Здесь вы можете скачать задания в картинках, в которых представлен счет геометрических фигур для занятий по математике.

 

Чертежи геометрических тел - Задание для детей

В этом задании ребенок познакомится с таким понятием, как чертежи геометрических тел. По сути, это занятие представляет собой мини-урок по начертательной геометрии

Счет до 10 для детей дошкольного возраста

Дети любят раскрашивать и обводить, поэтому данные задания сделают ваши занятия по обучению счету максимально эффективными.

 

И еще можете поиграть в математические игры онлайн от лисенка Бибуши:

Игра "Что лишнее? - Геометрические формы"

В этой развивающей онлайн игре ребенку предстоит определить, что является лишним среди 4 картинок. При этом необходимо руководствоваться признаками геометрических форм.

 

трехмерных фигур | SkillsYouNeed

На этой странице исследуются свойства трехмерных или «твердых» форм.

Двумерная фигура имеет длину и ширину. У трехмерной твердой формы также есть глубина. Трехмерные формы по своей природе имеют внутреннюю и внешнюю стороны, разделенные поверхностью. Все физические предметы, к которым можно прикоснуться, трехмерны.

На этой странице рассматриваются как твердые тела с прямыми сторонами, называемые многогранниками, которые основаны на многоугольниках, так и твердые тела с кривыми, такие как глобусы, цилиндры и конусы.


Многогранники

Многогранники (или многогранники) - это твердые тела с прямыми сторонами. Многогранники основаны на многоугольниках, двухмерных плоских формах с прямыми линиями.

См. Нашу страницу Свойства полигонов для получения дополнительной информации о работе с полигонами.

Многогранники определяются как имеющие:

  • Прямые кромки .
  • Плоские стороны называются гранями .
  • Углы, называемые вершинами .

Многогранники также часто определяются количеством ребер, граней и вершин, которые они имеют, а также тем, имеют ли их грани одинаковую форму и размер.Как и многоугольники, многогранники могут быть правильными (основанными на правильных многоугольниках) или неправильными (основанными на неправильных многоугольниках). Многогранники также могут быть вогнутыми или выпуклыми.

Один из самых простых и известных многогранников - это куб. Куб - это правильный многогранник, имеющий шесть квадратных граней, 12 ребер и восемь вершин.



Правильные многогранники (Платоновы тела)

Пять правильных тел. - это особый класс многогранников, все грани которых идентичны, причем каждая грань представляет собой правильный многоугольник.Платоновы тела:

  • Тетраэдр с четырьмя равносторонними треугольными гранями.
  • Куб с шестью квадратными гранями.
  • Октаэдр с восемью равносторонними треугольными гранями.
  • Додекаэдр с двенадцатью гранями пятиугольника.
  • Икосаэдр с двадцатью равносторонними треугольными гранями.
См. Диаграмму выше для иллюстрации каждого из этих правильных многогранников.

Что такое призма?

Призма - это любой многогранник, у которого есть два совпадающих конца и плоские стороны .Если вы разрежете призму в любом месте по ее длине, параллельно концу, ее поперечное сечение будет одинаковым - вы получите две призмы. Стороны призмы составляют параллелограммов - четырехгранных форм с двумя парами сторон равной длины.

Антипризмы похожи на обычные призмы, их концы совпадают. Однако стороны антипризм состоят из треугольников, а не параллелограммов. Антипризмы могут стать очень сложными.

Что такое пирамида?

Пирамида - это многогранник с основанием многоугольника , который соединяется с вершиной (верхняя точка) прямыми сторонами.

Хотя мы склонны думать о пирамидах с квадратным основанием, подобных тем, что строили древние египтяне, на самом деле они могут иметь любое основание многоугольника, правильное или неправильное. Кроме того, пирамида может иметь вершину в прямом центре своего основания, Правая пирамида , или может иметь вершину вне центра, когда это наклонная пирамида .

Более сложные многогранники

Есть еще много типов многогранников: симметричные и несимметричные, вогнутые и выпуклые.

Архимедовы тела, например , состоят как минимум из двух разных правильных многоугольников.

Усеченный куб (как показано) представляет собой архимедово твердое тело с 14 гранями. 6 граней - правильные восьмиугольники, а остальные 8 - правильные (равносторонние) треугольники. У фигуры 36 ребер и 24 вершины (угла).


Трехмерные фигуры с кривыми

Твердые фигуры с закругленными или закругленными краями не являются многогранниками. Многогранники могут иметь только прямые стороны.

Многие из окружающих вас объектов будут иметь по крайней мере несколько кривых. В геометрии наиболее распространенными изогнутыми телами являются цилиндры, конусы, сферы и торы (множественное число для тора).

Общие трехмерные формы с кривыми:
Цилиндр Конус
Цилиндр имеет одинаковое поперечное сечение от одного конца до другого. Цилиндры имеют два одинаковых конца в форме круга или овала.Несмотря на то, что цилиндры похожи, цилиндры не являются призмами, поскольку призма имеет (по определению) параллелограмм с плоскими сторонами. Конус имеет круглое или овальное основание и вершину (или вершину). Сторона конуса плавно сужается к вершине. Конус похож на пирамиду, но отличается тем, что конус имеет одну изогнутую сторону и круглое основание.
Сфера Тор
Сфера в форме шара или земного шара представляет собой полностью круглый объект.Каждая точка на поверхности сферы находится на одинаковом расстоянии от центра сферы. Обычный кольцевой тор в форме кольца, шины или бублика образуется путем вращения меньшего круга вокруг большего круга. Существуют также более сложные формы торов.

Площадь

На нашей странице «Расчет площади» объясняется, как вычислить площадь двумерных фигур, и вам необходимо понимать эти основы, чтобы рассчитать площадь поверхности трехмерных фигур.

Для трехмерных форм мы говорим о площади поверхности , чтобы избежать путаницы.

Вы можете использовать свои знания о площади двумерных фигур для вычисления площади поверхности трехмерной формы, поскольку каждая грань или сторона фактически является двухмерной формой.

Таким образом, вы прорабатываете площадь каждой грани, а затем складываете их вместе.

Как и в случае плоских форм, площадь поверхности твердого тела выражается в квадратных единицах: см 2 , дюймы 2 , м 2 и т. Д.Вы можете найти более подробную информацию о единицах измерения на нашей странице Системы измерения .

Примеры расчета площади поверхности

Куб

Площадь поверхности куба - это площадь одной грани (длина х ширина), умноженная на 6, потому что все шесть граней одинаковы.

Поскольку грань куба представляет собой квадрат, вам нужно выполнить только одно измерение - длина и ширина квадрата, по определению, одинаковы.

Следовательно, одна грань этого куба 10 × 10 см = 100 см 2 .Умножив на 6 количество граней куба, мы находим, что площадь поверхности этого куба равна 600 см 2 .

Другие правильные многогранники

Точно так же площадь поверхности других правильных многогранников (платоновых тел) может быть вычислена, если найти площадь одной стороны и затем умножить ответ на общее количество сторон - см. Схему основных многогранников выше.

Если площадь одного пятиугольника, составляющего додекаэдр, равна 22 см 2 , умножьте это на общее количество сторон (12), чтобы получить ответ 264 см 2 .


Пирамида

Для расчета площади поверхности стандартной пирамиды с четырьмя равными треугольными сторонами и квадратным основанием:

Сначала определите площадь основания (квадрата) длина × ширина.

Затем проработайте площадь одной стороны (треугольник). Измерьте ширину по основанию, а затем высоту треугольника (также известную как наклонная длина) от центральной точки на основании до вершины.

Затем вы можете либо разделить полученный ответ на 2, чтобы получить площадь поверхности одного треугольника, а затем умножить на 4, чтобы получить площадь поверхности всех четырех сторон, либо просто умножьте площадь поверхности одного треугольника на 2.

Наконец, сложите площадь основания и стороны вместе, чтобы найти общую площадь поверхности пирамиды.

Чтобы вычислить площадь поверхности для других типов пирамид, сложите площадь основания (известную как площадь основания) и площадь сторон (боковая площадь), вам может потребоваться измерить стороны по отдельности.

Диаграммы сети

Геометрическая сеть - это двухмерный «узор» для трехмерного объекта. Сетки могут быть полезны при определении площади поверхности трехмерного объекта.На диаграмме ниже вы можете увидеть, как строятся основные пирамиды. Если пирамида «развернута», у вас остается сеть.

Для получения дополнительной информации о сетевых диаграммах см. Нашу страницу 3D-фигуры и сети .


Призма

Для расчета площади поверхности призмы :

Призмы имеют два конца одинаковые и плоские стороны параллелограмма.

Вычислите площадь одного конца и умножьте на 2.

Для обычной призмы (у которой все стороны одинаковые) вычислите площадь одной из сторон и умножьте на общее количество сторон.

Для призм неправильной формы (с разными сторонами) рассчитайте площадь каждой стороны.

Сложите два ваших ответа (концы × стороны), чтобы найти общую площадь поверхности призмы.


Цилиндр

Пример:
Радиус = 5 см
Высота = 10 см

Чтобы вычислить площадь поверхности цилиндра , полезно подумать о составных частях формы. Представьте банку сладкой кукурузы - у нее есть верх и низ, оба из которых представляют собой круги.Если отрезать сторону по длине и приплюснуть, получится прямоугольник. Следовательно, вам нужно найти площадь двух кругов и прямоугольника.

Сначала проработайте область одного из кругов.

Площадь круга равна π (пи) × радиус 2 .

При радиусе 5 см площадь одной из окружностей равна 3,14 × 5 2 = 78,5 см 2 .

Умножьте ответ на 2, так как есть два круга 157см 2

Площадь стороны цилиндра равна периметру круга, умноженному на высоту цилиндра.

Периметр равен π x 2 × радиус. В нашем примере 3,14 × 2 × 5 = 31,4

Измерьте высоту цилиндра - в этом примере высота составляет 10 см. Площадь поверхности стороны 31,4 × 10 = 314см 2 .

Общую площадь поверхности можно найти, сложив вместе площади кругов и стороны:

157 + 314 = 471 см 2


Пример:
Радиус = 5 см
Длина наклона = 10 см

Конус

При расчете площади поверхности конуса вам необходимо использовать длину «склона», а также радиус основания.

Однако вычислить относительно просто:

Площадь круга у основания конуса равна π (пи) × радиус 2 .

В этом примере сумма равна 3,14 × 5 2 = 3,14 × 25 = 78,5 см 2

Площадь боковой части, наклонного участка, можно найти по следующей формуле:

π (пи) × радиус × длина уклона.

В нашем примере сумма равна 3,14 × 5 × 10 = 157 см 2 .

Наконец, добавьте площадь основания к боковой области, чтобы получить общую площадь поверхности конуса.

78,5 + 157 = 235,5 см 2


Теннисный мяч:
Диаметр = 2,6 дюйма

Сфера

Площадь поверхности сферы - это относительно простое расширение формулы для площади круга.

4 × π × радиус 2 .

Для сферы часто проще измерить диаметр - расстояние по сфере. Затем вы можете найти радиус, равный половине диаметра.

Диаметр стандартного теннисного мяча 2.6 дюймов. Следовательно, радиус составляет 1,3 дюйма. Для формулы нам понадобится радиус в квадрате. 1,3 × 1,3 = 1,69.

Следовательно, площадь теннисного мяча составляет:

4 × 3,14 × 1,69 = 21,2264 дюйма 2 .


Пример:
R (большой радиус) = 20 см
r (малый радиус) = 4 см

Тор

Чтобы вычислить площадь поверхности тора , необходимо найти два значения радиуса.

Большой или большой радиус (R) измеряется от середины отверстия до середины кольца.

Малый или малый радиус (r) измеряется от середины кольца до внешнего края.

На схеме показаны два вида примера тора и способы измерения его радиусов (или радиусов).

Расчет площади поверхности состоит из двух частей (по одной для каждого радиуса). Расчет одинаков для каждой детали.

Формула: площадь поверхности = (2πR) (2πr)

Для определения площади поверхности примера тора.

(2 × π × R) = (2 × 3.14 × 20) = 125,6

(2 × π × r) = (2 × 3,14 × 4) = 25,12

Умножьте два ответа вместе, чтобы найти общую площадь поверхности примера тора.

125,6 × 25,12 = 3155,072 см 2 .


Заполнение твердого тела: объем

Для трехмерных фигур вам также может потребоваться знать, какой объем они имеют.

Другими словами, если вы наполните их водой или воздухом, сколько наполнения вам потребуется?

Это описано на нашей странице Расчет объема .

.

9 самых распространенных форм и способы их определения

Вы, наверное, много узнали о формах, даже не задумываясь о том, что они собой представляют. Но понимание того, что такое фигура, невероятно удобно при сравнении ее с другими геометрическими фигурами, такими как плоскости, точки и линии.

В этой статье мы рассмотрим, что такое фигура, а также множество общих фигур, как они выглядят и основные формулы, связанные с ними.

Что такое форма?

Если вас спросят, что такое форма, вы, вероятно, сможете назвать довольно много из них. Но «форма» тоже имеет особое значение - это не просто названия кругов, квадратов и треугольников.

Форма - это форма объекта, а не то, сколько места он занимает или где находится физически, а реальную форму, которую он принимает. Круг определяется не тем, сколько места он занимает или где вы его видите, а скорее реальной круглой формой, которую он принимает.

Форма может иметь любой размер и появляться где угодно; они ничем не ограничены, потому что фактически не занимают

.

PPT - Презентация PowerPoint по трехмерной геометрии, скачать бесплатно

  • Трехмерная геометрия Пространственные отношения

  • Многие рабочие места в реальном мире связаны с использованием трехмерных фигур на двухмерных поверхностях. Хорошим примером этого является то, что архитекторы используют чертежи, чтобы показать, как будет выглядеть внешний вид зданий.

  • Трехмерные фигуры имеют грани, ребра и вершины. Грань - это плоская поверхность, а ребро - это место, где встречаются две грани, а вершина - это место, где встречаются три или более ребра.Объем измеряется в кубических единицах, см. Пример ниже. Изометрическую точечную бумагу можно использовать для рисования трехмерных фигур. Сколько лиц у большинства трехмерных фигур?

  • На бумаге с изометрическими точками нарисуйте рисунок ниже. Сделайте коробку шириной 3 единицы, высотой 2 единицы и длиной 5 единиц. Теперь попытайтесь нарисовать коробку. После того, как вы набросали коробку, попробуйте другие фигуры, например куб или пирамиду.

  • Для рисования трехмерных фигур используется техника, называемая перспективой .Здесь вы заставляете двухмерную фигуру выглядеть как трехмерная. Давайте попробуем посмотреть, сможем ли мы нарисовать какие-то собственные трехмерные фигуры. Вам понадобится бумага с изометрическими точками, чтобы набросать ваш рисунок.

  • Далее мы собираемся сделать трехмерную фигуру, используя блокирующих блоков, а затем нарисуем нашу фигуру и определим, сколько блоков используется для создания фигуры.

  • Трехмерные объекты также могут быть изображены как двухмерные чертежи , сделанные с разных ракурсов.Эти изображения называются ортогональными рисунками. Трехмерный рисунок слева представлен двухмерными рисунками сверху, спереди и справа.

  • Объем призм и цилиндров Измеряется в кубических единицах3

  • Объемы призм и цилиндров Призма - это трехмерная фигура, названная в честь формы ее основания. Треугольная призма имеет треугольники в качестве основания. Прямоугольная призма имеет прямоугольники в качестве основания.Если все шесть граней призмы квадраты, это куб.

  • Треугольная призма В этой треугольной призме два основания являются треугольниками. Формула объема треугольной призмы: V = Bh, где B - площадь основания и его высота.

  • Вот еще один вид треугольной призмы. Вид на слева показывает, как призма выглядит в трехмерном виде. Вид справа - основание призмы.

  • Найдите объем призмы V = Bh B = площадь основания = площадь треугольника V = ½ bh · h V = (.5) (16) (12) = 96 дюймов2 V = Bh высота = 12 дюймов V = 96 · 12 V = 1152 дюймов3 Объем призмы составляет 1152 дюймов3. Объем измеряется в кубических единицах.

  • Прямоугольная призма В этой прямоугольной призме два основания являются прямоугольниками. Формула объема: V = Bh V = (lw) h длина · ширина · высота

  • Найдите объем призмы V = Bh или V = lwh V = 12 · 8 · 3 V = 288 дюймов3 Объем призмы составляет 288 дюймов3. Объем измеряется в кубических единицах.

  • CUBE Вот трехмерный вид куба. Вид слева на - это куб. Вид справа показывает основание куба. Формула для определения объема куба: V = BhV = lwh

  • Найдите объем куба V = Bh или V = lwh V = 5 · 5 · 5 или 53 V = 125 единиц3 Объем куба куб 125 единиц3. Объем измеряется в кубических единицах.

  • Матрица представляет собой куб, отлитый из твердой пластмассы. Кромка типичной матрицы имеет размер 0.62 дюйма. Игральные кости обычно производятся в пресс-форме, в которой одновременно помещается 100 головок. С точностью до кубического дюйма, сколько пластика нужно, чтобы заполнить эту большую форму? При работе с задачами со словами обязательно внимательно прочтите, чтобы определить, какой вопрос вы хотите найти. Этот вопрос ясно указывает на то, что вы должны вычислить объем, указав «с точностью до кубических дюймов». Объем одной матрицы = lwh = (.62) (. 62) (. 62) = 0,238 кубических дюймов Для 100 кубиков = 23,8 = 24 кубических дюйма дюймы

  • Цилиндр: цилиндр представляет собой трехмерную фигуру с двумя круглыми основаниями .Объем цилиндра равен площади основания B, умноженной на высоту. V = BhorV = (πr²) h

  • Найдите объем цилиндра V = Bh или V = πr2h V = (π · 42) · 10 В = 502,4 см3 Объем цилиндра 502,4 см3. Объем измеряется в кубических единицах.

  • Влияние изменения размеров Изменение размеров фигуры может по-разному влиять на объем в зависимости от того, какой размер вы изменяете. Давайте посмотрим, что происходит, когда вы меняете размеры призмы и цилиндра.

  • Коробка для сока имеет размеры 3 "на 2" на 4 ". Объясните, приведет ли удвоение длины, ширины или высоты коробки к удвоению количества сока, содержащегося в коробке. Исходный V = lwh V = 3 · 2 · 4 V = 24 куб. Дюйм. Двойная длина V = lwh V = 6 · 2 · 4 V = 48 куб. Дюймов Двойная ширина V = lwh V = 3 · 4 · 4 V = 48 куб. Дюймов Двойная высота V = lwh V = 3 · 2 · 8 V = 48 куб. Дюймов

  • Банка для сока имеет радиус 1,5 дюйма и высоту 5 дюймов. Объясните, окажет ли удвоение высоты банки такое же влияние на объем, как и удвоение радиуса. Исходный V = πr²h V = π · 1.5² · 5 В = 11,25π куб. Дюйм. Двойной V = πr²h радиус V = π · 3² · 5 V = 45π cu.in. Двойной V = πr²h высота V = π · 1,5² · 10 V = 22,5π куб.дюйм.

  • Объемы пирамид и конусов 1/3 призм и цилиндров

  • Пирамида названа в честь формы ее основания. Основание представляет собой многоугольник , а все остальные грани - треугольники. Конус имеет круглое основание. Высота пирамиды или конуса - это перпендикулярная линия, измеряемая от самой высокой точки до основания.

  • Конус имеет круглое основание. Высота пирамиды или конуса - это перпендикулярная линия, измеряемая от наивысшей точки до основания. В конусе слева высота соответствует радиусу круглого основания r. S - наклонная высота, которая используется для измерения площадь поверхности конуса или пирамиды. Формула объема для конуса: V = 1 / 3Bh или V = 1 / 3πr²h

  • Пирамида названа в честь ее основания. Основание - многоугольник, а все остальные грани - треугольники, которые пересекаются в общей вершине.Высота представляет собой перпендикулярную линию от основания до самой высокой точки. Формула объема для пирамиды: V = 1 / 3BhV = 1/3 (lw) h

  • Объемы конусов и пирамид соотносятся с объемом цилиндров и призмы. V = πr²hV = Bh V = 1 / 3πr²h V = 1 / 3BhA конус составляет 1/3 размера цилиндра с тем же основанием и высотой. Кроме того, пирамида составляет 1/3 размера призмы с такой же высотой и основанием.

  • Определение объемов Практическое применение

  • Найдите объем цилиндра с точностью до десятых.V = BhV = πr2 · hV = 3,14 · 32 · 8,6V = 243,036 см3 V = 243 см3

  • Найти объем призмы с точностью до десятых V = BhV = 6 · 8 · 2V = 96 см3

  • Найдите объем треугольной призмы V = BhV = ½bh · hV = ½ (12 · 16) · 12 В = ½ (192) · 12 В = ½ (2304) V = 1152 дюйм3

  • Площадь поверхности Призмы и цилиндры Снова вернемся к областям2

  • Площадь объектов используется для рекламы, информирования, создания искусства и многих других вещей.Слева - анаморфное изображение, искаженное изображение, которое становится узнаваемым при отражении от цилиндрического зеркала.

  • Одна из самых узнаваемых форм рекламы, использующая площадь поверхности объекта , - это коробка с хлопьями. Если вы найдете объем, вы найдете количество хлопьев, которое поместится в коробке. В коробке вы определяете, сколько картона нужно для изготовления коробки.

  • Когда вы выравниваете трехмерный объект, диаграмма называется сеткой.Какой из следующих ответов является правильной сеткой для куба. Выберите a, b, c или d.

  • Определение площади поверхности фигур, например, прямоугольника ниже, может быть относительно простым. Все, что нужно, - это визуализировать лица, а затем использовать соответствующие формулы площади для прямоугольников и кругов.

  • Площадь поверхности - это сумма площадей всех поверхностей фигуры . Фигура слева - прямоугольная призма. Обратите внимание на количество поверхностей.Боковые поверхности призмы представляют собой прямоугольники, соединяющие основания. Верх и низ Левый и правый Передний и задний

  • Площадь поверхности - это сумма площадей всех поверхностей фигуры . Боковые поверхности - цилиндра - криволинейная поверхность.

  • Площадь поверхности: это количество квадратных единиц, необходимое для покрытия всех поверхностей трехмерной фигуры.

  • Площадь поверхности - это сумма площадей всех поверхностей фигуры .Боковые поверхности треугольной призмы представляют собой треугольники и прямоугольники, два треугольных основания и три прямоугольника.

  • Определение площадей поверхности Развертывание фигуры

  • Найдите площадь поверхности фигуры SA = (вверху и внизу) + (спереди и сзади) + (слева и справа) = 2 (8 · 6) + 2 (8 · 2) + 2 (6 · 2) = 96 + 32 + 24SA = 152 см2

  • Найдите площадь поверхности фигуры SA = 2 (πr2) + lw = 2 (площадь круга) + (окружность · высота) = 2 (3.14 · 3,12) + (π6,2) · 12 = 60,3508 + 233,616 = 293,9668 дюйм2

  • Найдите площадь поверхности фигуры SA = 2 (площадь треугольника) + (lw) + (lw) + (lw) ) = 2 (½ · 12 · 16) + (20 · 12) + (16 · 12) + (12 · 12) = 192 + 240 + 192 + 144 = 768 дюйм2

  • Новогодний шар упал в Нью-Йорк каждый год. Мяч состоит из 2668 кристаллов Waterford с 32 256 светодиодами, которые воспроизводят около 16 миллионов различных цветов. Поэтому в следующий раз, когда вы увидите необычную форму, просто помните, что геометрия окружает нас повсюду.Павильон США на Всемирной выставке 1967 года в Монреале, Канада.

  • .

    Геометрия

    Геометрия - это всего около фигур и их свойства.

    Если вам нравится играть с объектами или рисовать, то геометрия для вас!

    Геометрию можно разделить на:


    Плоская геометрия - это плоские формы, такие как линии, круги и треугольники ... формы, которые можно нарисовать на листе бумаги


    Solid Geometry - это трехмерные объекты, такие как кубы, призмы, цилиндры и сферы.

    Подсказка: попробуйте нарисовать некоторые формы и углы по мере изучения ... это помогает.

    Точка, линия, плоскость и твердое тело

    Точка не имеет размеров, только позиция
    Линия одномерная
    Самолет двумерный (2D)
    Твердое тело трехмерное (3D)

    Почему?

    Почему мы делаем геометрию? Чтобы открывать закономерности, находить площади, объемы, длины и углы, а также лучше понимать мир вокруг нас.

    Плоская геометрия

    Плоская геометрия - это все о формах на плоской поверхности (например, на бесконечном листе бумаги).




    Полигоны

    Многоугольник - это двухмерная фигура, состоящая из прямых линий. Треугольники и прямоугольники - это многоугольники.

    Вот еще несколько:

    Круг

    Теоремы о круге (расширенная тема)

    Символы

    В геометрии используется много специальных символов.Вот вам краткая справка:

    Геометрические символы

    Соответствующие и аналогичные

    Уголки

    Типы углов

    Преобразования и симметрия

    Преобразований:

    Симметрия:


    Координаты

    Дополнительные разделы по геометрии плоскости

    Пифагор

    Конические секции

    Теоремы о круге

    Центры треугольника

    Тригонометрия

    Тригонометрия - отдельная тема, поэтому вы можете посетить:

    Твердая геометрия

    Solid Geometry - это геометрия трехмерного пространства, в котором мы живем...

    ... начнем с самых простых форм:


    Общие 3D-формы

    Многогранники и неполигранники

    Есть два основных типа твердых тел: «Многогранники» и «Неполиэдры»:

    Многогранники (должны иметь плоские грани) :

    Non-Polyhedra (когда любая поверхность не плоский) :

    .

    % PDF-1.3 % 1012 0 obj> endobj xref 1012 43 0000000016 00000 н. 0000002890 00000 н. 0000003116 00000 п. 0000003175 00000 п. 0000003404 00000 н. 0000003668 00000 н. 0000004835 00000 н. 0000006016 00000 н. 0000007195 00000 н. 0000007397 00000 н. 0000007569 00000 н. 0000007776 00000 н. 0000008740 00000 н. 0000009720 00000 н. 0000010898 00000 п. 0000012061 00000 п. 0000021424 00000 п. 0000021597 00000 п. 0000021994 00000 п. 0000022302 00000 п. 0000022347 00000 п. 0000022393 00000 п. 0000023324 00000 п. 0000023759 00000 п. 0000023838 00000 п. 0000027308 00000 п. 0000027348 00000 п. 0000027402 00000 п. 0000028270 00000 п. 0000029062 00000 н. 0000029893 00000 п. 0000030641 00000 п. 0000031389 00000 п. 0000046150 00000 п. 0000060794 00000 п. 0000070091 00000 п. 0000070271 00000 п. 0000070558 00000 п. 0000070626 00000 п. 0000093216 00000 п. 0000093396 00000 п. 0000093454 00000 п. 0000001156 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 1054 0 obj> поток xVOSgZ QrG @ VX-2` ΒX "M)) BSgbe, By⃩ [J2V'Kv 轝 9; smBn") BeH% G OJVj: wx * k- / {+ щ."% [1_Uj7, Cr b [C-} N $ ŊDcF $ \ $ DeM3? M5paa} -K $ {7Tk & zs5m.s8 {~? `9wssl џ] W47iӳ

    .

    Смотрите также