Математика оригами это

ИСКУССТВО ОРИГАМИ И МАТЕМАТИКА

Новоселов С.Д. 1

1МАОУ СОШ № 29 г. Липецка "Университетская"

Покачалова О.Н. 1

1МАОУ СОШ № 29 г. Липецка "Университетская"

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

Оригами - удивительное искусство бумажной пластики. Сегодня множество людей во всем мире увлекаются им. Бумажные фигурки делают дети и взрослые, художники и конструкторы. Его даже преподают в школах, о нем пишут книги и выпускают журналы с интересными статьями и описанием различных моделей. Я заметил, что, складывая фигурки оригами, сталкиваюсь с математическими понятиями. Мне стало интересно, как связаны таинственное искусство складывания фигурок из бумаги и математика.

Один из самых доступных любому человеку материалов – это бумага, и рукоделие из нее не только получило широкое распространение, но и имеет достаточно много разновидностей. Для создания некоторых бумажных поделок достаточно иметь подходящую бумагу, для других могут понадобиться ножницы, клей и некоторые дополнительные инструменты и элементы.

Актуальность: привлечение учащихся к математике с помощью наглядных методов оригами. Математика – это творческая наука.

Гипотеза: Математика - это одна из сторон оригами и наоборот, оригами является одной из направляющих математики.

Цель: установить взаимосвязь искусства оригами и науки математики.

Задачи:

- изучить историю (развития) оригами, основные этапы развития оригами, применение в современности;

- рассмотреть базовые формы и приемы оригами;

- исследовать связь математики и оригами;

- провести мастер-класс своим одноклассникам по изготовлению моделей оригами.

Объект исследования: математика (геометрия).

Предмет исследования: математические законы в оригами

Методы исследования: изучение литературных источников, поисковый, исследовательский, практический методы, обработка и анализ полученной информации.

Глава 1. Азбука оригами

1.1. Из истории оригами

Родина оригами - Япония. Искусство складывания бумаги зародилось в Стране Восходящего солнца много веков назад. Фактически, история оригами началась в Китае, когда китайскому императору доложили о замечательном открытии - была создана бумага.

В средние века бумага было материалом редким и дорогим. Фигурки оригами служили гербом и печатью в некоторых знатных семьях. Позже бумажными фигурками стали украшать народные праздники и карнавалы. Кроме того, очень популярно было искусство складывания писем. Особым образом свернутое письмо было похоже на головоломку. Развернуть его мог только тот, кто знал секрет складывания.

В 1880 году возникает термин «оригами». Слово это состоит из двух понятий: «ори», что означает «складываю» и «ками» - «бумага».

Развитие оригами началось после второй мировой войны. Известный мастер оригами Акира Йошизава изобрел единую универсальную систему знаков, с помощью которых можно записать схему складывания любой фигурки.

История оригами тесно связана со страшной трагедией, произошедшей 6 августа 1945 года, когда на город Хиросима в Японии была сброшена атомная бомба.

В этой трагедии пострадала японская девочка Садако. Кто-то сказал ей, что, если она сделает 1000 журавликов, она поправится. Садако скоро поняла, что ей уже не станет лучше, она умрёт. И тогда она стала дарить журавликов другим больным. Девочка успела сложить 644 фигурки и умерла. Все дети мира стали отправлять миллионы посылок с бумажными журавликами. Так возникло движение «1000 журавликов». Это движение вызвало интерес к японскому искусству оригами.

1.2. Азбука оригами.

Любую модель (фигурку) оригами можно нарисовать в виде схемы. Для этого используются условные знаки. Все обозначения в оригами можно разделить на линии, стрелки и знаки.

1.3. Базовые формы оригами.

Многие фигурки оригами на начальном этапе складываются одинаково, то есть имеют одну основу - базовую форму.

Сегодня в мире существует 11 базовых форм (простые, средние и сложные).

Простые базовые формы: треугольник, книга, дверь, воздушный змей;
Средние базовые формы: блин, рыба, двойной треугольник, двойной квадрат;
Сложные базовые формы: птица, катамаран, лягушка.

1.4. Виды и техника оригами

Модульное оригами

Простое оригами

Простое оригами — это оригами, в котором используются простые приемы складывания. Целью оригами является облегчение занятий начинающим оригамистам, а также людям с ограниченными двигательными навыками.

Складывание по развёртке

Развёртка — один из видов оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели. Складывание по развёртке сложнее складывания по обычной схеме, однако, данный метод даёт не просто информацию, как сложить модель, но и как она была придумана. Развёртки используются при разработке новых моделей оригами.

Мокрое складывание

Мокрое складывание — техника складывания, с использованием смоченную водой бумаги для придания фигуркам плавности линий, выразительности, а также жесткости. Особенно подходит данный метод для таких негеометрических объектов, как фигурки животных и цветов — в этом случае они выглядят намного естественней и ближе к оригиналу. Не всякая бумага подходит для мокрого складывания, а лишь та, в которую при производстве добавляют водорастворимый клей для скрепления волокон. Как правило, данным свойством обладают плотные сорта бумаги.

Киригами

Киригами - вид оригами, в котором допускается использование ножниц и разрезание бумаги в процессе изготовления модели. Это основное отличие киригами от других техник складывания бумаги, что подчёркнуто в названии: (киру) — резать, (ками) — бумага.

Простым примером техники киригами являются бумажные снежинки, которые почти невозможно сделать одинаково дважды. В дополнение к снежинкам можно вырезать различные цветы, паутинки и другие элементы декоративного оформления. Бумажные снежинки и декорации и есть первые шаги в изучении техники Киригами.

Глава 2. Оригами – это математика!

Как связано искусство оригами и точная наука математика? Этот вопрос я решил изучить.

Предметы вокруг нас имеют форму, похожую на геометрические фигуры. Альбомный лист имеет форму прямоугольника. Арена цирка, солнце или монета имеют форму круга. Футбольный мяч или арбуз похожи на шар. Египетские пирамиды – это тоже геометрические фигуры. Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур: треугольника, квадрата, круга, пирамиды, сферы и др.

При помощи оригами можно изучить следующие понятия:

точка, линия;
горизонтальные, вертикальные, наклонные линии;
параллельные прямые;
диагональ;
квадрат, прямоугольник;
все виды треугольников
симметрия, одинаковые фигуры

В ходе изучения математики с использованием оригами можно наглядно познакомиться с основными геометрическими фигурами (треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, четырехугольник), понятиями (сторона, угол, вершина угла, диагональ, центр фигуры), их свойствами и изучить основы техники оригами.

Развернув фигурку оригами и посмотрев на складки, я увидел множество многоугольников, соединенных друг с другом. В сложенном виде оригами представляет собой многогранник, фигуру с множеством плоских поверхностей.

Различные построения и фигуры оригами складываются из квадратного листа бумаги. Таким образом, когда мы производим простейшее действие с листом бумаги, например, складываем его по вертикали или диагонали, мы уже решаем задачи на построение.

При решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов.

Таким образом, оригами и математика (а именно геометрия) неразрывно связаны. При изготовлении различных моделей оригами мы используем множество понятий из математики (такие как точка, линия, квадрат, прямоугольник, треугольник).

2.1. Поисковая работа.

В рамках поисковой работы я сначала рассмотрел некоторые базовые модели оригами и выяснил их связь с математическими понятиями.

Связь базовых моделей оригами с математическими понятиями:

Базовая модельМатематические понятия

« Книга»

Линия, квадрат, прямоугольник,

деление листа на две равные части.

«Треугольник»

Квадрат, диагональ, треугольник,

равные треугольники,

противоположные углы.

«Блин»

Квадрат, диагональ, угол,

центр, точка, треугольник.

«Дверь»

Квадрат, деление листа на две

и четыре равные части,

параллельные прямые.

Я проанализировал базовые формы оригами и заметил, что уже при первом знакомстве с этим искусством мы узнаем о таких простых формах, как прямоугольник и треугольник. Когда складываем простую форму, то знакомимся с квадратом, согнув углы которого к центру можно увидеть, что квадрат может состоять из четырёх одинаковых треугольников. Азбука оригами включает в себя такие геометрические понятия, как точка и линия.

И сейчас я могу сделать вывод, что при работе с оригами следует знать следующие математические понятия и фигуры:

- Прямая, квадрат, треугольник, угол, ромб, точка (центр фигуры, пересечение прямых), равные фигуры, параллельные прямые.

2.2.Эксперимент.

Проведем эксперимент по сложению фигур оригами. Пусть это будут фигуры «Лошадка» и «Котик». Проанализируем, чем отличаются с точки зрения математики эти модели.

Взглянув на модели, можно увидеть, что мордочка «Лошадки» вытянутая и узкая, по сравнению с мордочкой «Котика».

Схемы этих моделей очень просты:

Начинаются обе фигуры с одинаковой базовой модели «треугольник»:

Далее у каждого базового «треугольника» загибаются внутрь боковые и нижняя детали. Все загибаемые детали также имеют форму треугольников. Но треугольники эти отличаются друг от друга.

Обозначим боковой треугольник АВС «котика» синим цветом, а такой же треугольник АВС «лошадки» красным цветом.

Нижний треугольник DЕМ «котика» сделаем оранжевым, а треугольник DЕМ «лошадки» зеленым. Поочередно сравним их математически.

На схеме можно увидеть, что стороны треугольника АВС синего меньше аналогичных сторон треугольника АВС красного:

АВ_синего < АВ_{красного}или 5 см 5 мм < 7 см;

ВС_синего < ВС_{красного}или 5 см 5 мм < 7 см;

СА_синего < СА_{красного}или 8 см < 10 см;

Стороны треугольника DЕМ «котика» (оранжевого) наоборот больше таких же сторон зеленого треугольника DЕМ «лошадки»:

DЕ_{оранжевого}>DЕ_{зеленого}или 3 см 5 мм > 2 см,

ЕМ_{оранжевого}>ЕМ_{зеленого}или 5 см > 3 см,

МD_{оранжевого}>МD_{зеленого}или 3 см 5 мм > 2 см,

Таким образом, увеличивая или уменьшая длину сторон загибаемых деталей можно изменить форму всей фигуры оригами в целом.

2.3.Некоторые примеры связи математики и оригами.

Согласно классическому оригами, объектом складывания является неразмеченный квадратный лист бумаги без разрезов.

Складывание состоит из определенных действий по следующим правилам:

Линия определяется либо краем листа, либо линией сгиба бумаги.
Точки определяются пересечениями линий.
Все складки определяются единственным образом путем совмещенияразличных элементов листа — линий или точек.
Сгиб формируется единственной складкой, причем в результатескладывания фигура остается плоской.

В конце XX века возник новый термин «оригаметрия», обозначающий область геометрии, в которой задачи решаются только методом складывания.

Современное применение оригами:

В наше время ученые придумали использовать приёмы оригами в космосе, при развертывании больших установок солнечных батарей на космических спутниках. Первоначально эта технология применялась для складывания бумажных документов, карт местности. Такая карта в сложенном виде представляет плоскую фигуру, но ее можно развернуть и свернуть одним движением,

Жёсткое оригами – это метод, позволяющий разворачивать и сворачивать большие поверхности одним движением руки.

Конечно, сворачивать бумагу в несколько слоёв умеет любой человек, но метод жесткого складывания позволяет быстро развернуть даже большие размеры при любых условиях, например, при ветре или в космосе.

Этот метод используют не только учёные, но и дизайнеры при создании необычного декора, например, стен, штор или светильников.

Методы оригами использовались в разработке специальных подушек безопасности.

При конструировании космического телескопа оригами помогло ученым разработать метод установки огромной линзы в небольшого размера ракете и развернуть эту линзу уже в космосе и, при том, так, чтобы не осталось каких-либо складок или меток на линзе.

Заключение.

Как наглядное средство лист бумаги применяется в обучении математике с давних пор. Но на уроках математики важно не то, какую фигурку мы сложили из бумаги, а наоборот. Разверните любую бумажную поделку. Линии сгиба образовали треугольники, квадраты, четырехугольники… К тому же, разворачивая поделку, можно наблюдать преобразование объемной фигуры в плоский лист бумаги. А значит, упражнения с листом бумаги позволяют знакомиться с различными геометрическими фигурами и изучать их простейшие свойства.

Исходя из всего вышеизложенного мною, я могу сделать выводы:

искусство оригами тесно связано с математикой и помогает ее изучать;
данная тема дает большие возможности для проявления исследовательских и творческих умений при решении задач.

Гипотеза, которую я ставил в начале работы «Математика - это одна из сторон оригами и наоборот, оригами является одной из направляющих математики», подтвердилась.

Мне было очень интересно работать над данной темой. В дальнейшем я продолжу свою работу, так как это мне поможет находить новые способы решения некоторых задач, а также изучать геометрию.

Список литературы

Сундара Роу. Геометрические упражнения с куском бумаги. — Матезис. два издания 1910 и 1923
«Азбука оригами» Соколова С., - М.: Эксмо; СПб.: Домино, 2004 г., 432 с.
Такахаси Коки «Оригами – это математика!»
Оригами для самых маленьких «Домашние зверята», серия «Десятое королевство» (набор моделей со схемами)
Оригами. Смирнов Д.С. – М.: Издательство АСТ, 2016 – 128 с. (Шкатулка рукоделия)
Оригами. Животные /сост. В.Ю. Гаврилова. – Издательство «Ранок», 2013 – 48 с. (Альбом для творчества)
Интернет-ресурсы:

https://pikabu.ru/story/tekhnika_origami_matematika_origami_pravila_fudzityi_origami_i_kosmos_miuraorihttps://ru.wikipedia.org/wiki

http:// www.origami – do.ru

http://web-japan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature09.html

http://bozhoklv.ucoz.ru/blog/kak_vozniklo_i_razvilos_origami/2015-09-17-40

http://bozhoklv.ucoz.ru/

Просмотров работы: 8471

Оригами -это математика исследовательская работа

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение Верх-Ненинская средняя общеобразовательная школа

Проект на тему:

«Оригами - это математика!»

Работу выполнила: Ученица 8 класса

Ярковая Таисия.

Руководитель: учитель математики

Ярковая М.А.

2015г.

Содержание.

Введение……………………………………………………………………3

1.История оригами…………………………………………………………4

2.Оригами-это математика………………………………………………...6

3.Оригаметрия………………………………………………………………8

4.Применение оригами…………………………………………………….14

Заключение………………………………………………………………....16

Использованная литература………………………………………….........17

Приложения………………………………………………………………...18

Введение.

Многие удивляются, услышав слово «оригами». «А что это такое?» — спрашивают они. Между тем каждый человек наверняка хоть раз в жизни создавал самое простенькое изделие из квадратного листа бумаги — это кораблик или самолетик. А в те времена, когда в магазинах не было такого выбора соломенных шляп и панам, люди летом нередко сооружали себе «пилотку» из газеты. И бумажные кораблики, и пилотка сделаны по принципу «оригами».

Цель:

Изучить происхождение оригами и связь этого искусства с математикой.

Задачи:

1. Изучить историю развития оригами.

2. Проанализировать связь оригами и математики на примере основных элементов азбуки оригами, доказательств теорем, решения математических задач.

3. Спрогнозировать развитие оригами в будущем

Оригами - удивительное искусство бумажной пластики. Оригами это японское искусство складывания бумаги, образовано от японского oru (складывать) и kami (бумага). Сегодня множество людей во всем мире увлекаются искусством «оригами». Бумажные фигурки делают дети и взрослые, художники и конструкторы. Его даже преподают в школах, о нем пишут книги и выпускают журналы с интересными статьями и описанием различных моделей. Я заметила, что, складывая фигурки оригами, сталкиваемся с математическими понятиями.

Гипотеза: Помогает ли оригами изучать математику?

Актуальность:

В последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике. Чтобы привлечь внимание учащихся к математике я решила в своём проекте показать, что математика – это творческая наука.

Объект исследования:

Предмет исследования:

Методы исследования:

Поиск информации из различных источников.
Анализ связи программного материала с элементами техники оригами.
Практические работы.

Меня заинтересовало как оригами может бать связано с математикой и я решила немного об этом узнать. Сейчас я вам расскажу все что узнала об этой связи.

1. История оригами

Знакомство с оригами следует начинать с древней истории. Именно там, в Древнем Китае, в 105 году нашей эры появились первые предпосылки для возникновения оригами- искусства складывания любых фигурок из квадратного листа бумаги без использования ножниц и клея.

Как свидетельствует история, в том знаменательном году чиновник Цай Лунь сделал официальный доклад императору о том, что создана технология производства бумаги. Многие десятилетия под страхом смертной казни китайцы хранили тайну создания белого листа. Но со временем, когда монахи Китая начали свои путешествия в Японию, вместе с ними стали путешествовать, и некоторые тайны этой страны. В 7 веке странствующий буддийский монах Дан-Хо, о котором современники говорили, что он богат знаниями и умеет делать тушь и бумагу, пробирается в Японию и обучает монахов изготавливать бумагу по китайской технологии. Очень скоро в Японии сумели наладить свое массовое производство бумаги, во многом обогнав Китай.

Первые листочки бумаги, сложенные в необычные фигурки появляются сначала в монастырях. Иначе и быть не могло. Ведь в японском языке понятия "Бог" и "Бумага" звучат одинаково, хотя и обозначаются разными иероглифами. Фигурки из бумаги имели символическое значение. Они становились участниками религиозных церемоний. Украшали стены храмов. Помещались на жертвенный костер. До наших дней дошли одни из первых фигурок из бумаги - коробочки "санбо", в которые японцы вкладывали кусочки рыбы и овощей, поднося их в качестве жертвоприношений. Но это еще не было искусство. Просто лист бумаги, очень ценный и дорогой, несущий в себе имя Бога, становился неотъемлемой частью жизни японца.

В средние века, когда производство бумаги позволило снизить на нее цену, искусство складывания проникло в быт дворянства. И тогда появилось искусство самураев. В те времена считалось признаком хорошего воспитания умение богатого дворянина развлечь свою даму на балу складыванием бумажных фигурок. Тогда же возникло и искусство сворачивания тайных писем. Используя свое умение, самураи так складывали свои записки, что только посвященный мог развернуть его. Кроме того, оригамные фигурки часто использовали в свадебной церемонии, украшении домов или праздничных шествиях.

Со временем оригами (а этот термин возникает только в 1880 году) становится обязательным занятием во многих японских семьях. Мамы передавали свои знания дочкам, показывая немногие известные им фигурки.

Возрождение оригами так же тесно связано со страшной трагедией, произошедшей 6 августа 1945 года, когда «люди» решили испытать атомную бомбу на человеке, подписав смертный приговор городу Хиросима. Последствия чудовищного эксперимента были ужасны: из 420 тысяч жителей города погибло 80 тысяч. В течение 20 лет от последствий облучения умерло еще 200 тысяч человек. Среди погибших было много детей.

В память о жертвах атомной бомбардировки в Хиросиме заложили парк Мира. В мае 1958 года там был открыт монумент, посвященный погибшим детям. Памятник изображает бомбу, на вершине и по бокам которой размещены фигуры детей с поднятыми к небу руками.

Именно тогда среди детей, обреченных на гибель, возникло поверье о свободной птице, символе жизни - журавлике. Дети искренне верили, что, смастерив из бумаги 1000 журавликов, они исцелятся, останутся живы. Двенадцатилетняя девочка, чья смерть послужила поводом для сооружения памятника, успела сделать только 644 журавлика. Удивительная детская солидарность волной прокатилась по всем странам мира. Япония стала получать миллионы посылок со всех континентов с бесценным грузом - бумажными журавликами, собранными в гирлянды по 1000 штук. Эти гирлянды и сегодня украшают памятник и являются протестом войне и укором взрослым.

2. Оригами – это математика!

Многие считают, что оригами это забава, с помощью которой люди создают различные фигуры, но очень многое в оригами связано с математикой. Оригами связано с геометрией, оригами, как наука, способна изумить нас формами, о возможности существования которых, мы, может быть, и не догадывались.

Складывая базовые формы оригами, я совершенно незаметно для себя повторила некоторые геометрические понятия: квадрат, прямоугольник, треугольник, ромб. То есть некоторые базовые формы это геометрические фигуры, значит это ещё одна из точек прикосновения оригами с математикой.

Например:

Ромб:

Книжка (имеет форму прямоугольника):

Треугольник:

Блин:

Двойной квадрат:

Первые попытки использовать оригами в педагогической практике в Европе справедливо связывают с именем немецкого гуманиста Фридриха Вильгельма Августа Фребеля (1792-1852). Именно он в начале XIX века начал создавать детские сады, а затем и школу. Фребель считал Природу лучшим учителем. Он сам сначала был лесником, очень любил и ценил природу и поэтому не хотел, чтобы в школе дети занимались зубрёжкой. Фребель считал, что жизнь, движение и знание – есть три главные составляющие развития Человека. Его теория взглядов на образование и развитие личности включает в себя 4 главных компонента:

1. Свободная активность.

2. Творчество.

3. Участие в жизни общества.

4. Мышечная активность.

Например, основы геометрии он предлагал изучать не с помощью циркуля, линейки и некоторых понятий, а на примере фигур складывающейся бумаги. Он активно внедрял оригами в педагогический процесс. К сожалению тогда Фребель не владел такой, как в настоящее время, техникой складывания фигур. Но система его детских садов выжила, уже в 1892 году в Англии был основан специальный Фребелевский колледж, были они и в Америке, Японии, во многих странах Азии.

Идеи Фребеля и сегодня очень интересны. Не удивительно поэтому, что в наши дни оригами продолжает играть определённую роль в развитии и воспитании. Оригами способствует активности как левого, так и правого полушарий мозга, так как требует одновременного контроля за движениями обеих рук.

3.Оригаметрия.

В конце XX века возник новый термин «оригаметрия», обозначающий область геометрии, в которой задачи решаются только методом складывания, эта область очень молодая, и пока не существует ни соответствующих программ, ни учебников, которые давали бы подобный материал систематически. Вместе с тем многие понятия курса геометрии в школе гораздо проще и нагляднее объясняются с помощью оригаметрии.

Для построения теории используется система аксиом. Действительно, аксиомы оригаметрии существуют! Их предложил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита. Таких аксиом, с его точки зрения, всего шесть.

Аксиома 1. Существует единственный сгиб, проходящий через две данных точки.

Аксиома 2. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.

Аксиома 3. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные прямые.

Аксиома 4. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой.

Аксиома 5. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую.

Аксиома 6. Существует единственный сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных пересекающихся прямых.

В 2002 году японский оригамистКошироХатори обнаружил сгиб, который не описан в аксиомах Х. Хузита.

Аксиома 7. Для двух данных прямых и точки существует линия сгиба. Перпендикулярная первой прямой и помещающая данную точку на вторую прямую.

Доказательство теорем с помощью оригами.

Теорема 1.Суммауглов любого треугольника равна 180 градусов.

Доказательство. Возьмем лист бумаги, имеющий форму произвольного треугольника.

1) Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярно противоположной стороне (высоту треугольника).

2) Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника.

3)Получаем, что углы 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом, следовательно, сумма углов равна 180 градусов.

Теорема 2. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Доказательство. 1) Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие

углы- углы 1 и 2.

2) Совместим вершины накрест лежащих углов- точки А и В.

3)Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, угол 1 равен углу 2. Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Задача: Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника АВС и перпендикулярная AD, пересекает сторону АС в точке М. Доказать, что MD //AB Решение: Возьмем лист бумаги, имеющий форму производного треугольника. Проведем биссектрису AD, согнув лист так, чтобы сторона АС совместилась со стороной АВ. Наметим середину АD, совместив точки А и D. Проведем ОМ, перпендикулярнуюAD. Согнем лист по линии MD.Для доказательства параллельности MD и АВ сравним углы 1 и 3, для этого согнем лист по AD и совместим точки А и D. Углы 1 и3 совпали, а они накрест лежащие ,следовательно, MD // AB.

Оригаметрические задачи.

Складывание оригами помогает решать задачи на темы: деление отрезка, деление угла. Таким образом, с помощью оригами решаются геометрические задачи на плоскости, значит это ещё одна из точек прикосновения оригами с математикой.

Например:

Задача №1: Деление прямого угла:

Откладывание угла в 30 или 60 градусов не представляет проблем. Для этого сначала разделим квадрат вертикальной складкой на два равных прямоугольника. Затем проведем складку, которая переносит угол квадрата на отмеченную линию.

Угол в 15 градусов теперь можно получить, деля полученные углы в 60 и 30 градусов пополам.

Задача №2: Деление листа бумаги на равные части:

Деление листа бумаги на две части не представляет сложности, поскольку реализуется просто складыванием базовой формы книжка

Следующая задача – деление стороны квадрата на четыре равные части. Для этого достаточно их поделить пополам, а затем, каждую из половинок снова пополам. Именно так происходит, когда мы складываем базовую форму дверь.

Перейдем к более сложной задаче деления квадратного листа на три части:

Эта задача уже не столь проста. Сложим угол квадрата к середине противоположной стороны. В таком случае точка пересечения другой стороны, противоположной этому углу и стороны, прилегающей к нему, делит сторону в отношении один к двум. Таким образом, с помощью только складок мы нашли треть стороны квадрата (теорема Хага).

Задача №3: Способы изготовления из квадрата правильных многоугольников:

Правильный пятиугольник:

Правильный восьмиугольник

4. Применение оригами.

Миура-ори — схема жёсткого складывания.

Для меня стало открытием, что оригами находит применение и в других науках, а также широко используется в современных технологиях. Например, в 1970 году японским астрофизиком Корио Миура на основе техники жесткого оригами была разработана схема складывания «миура-ори», которая используется сегодня для развёртывания установок солнечных батарей на космических спутниках.

Также используется для складывания бумажных документов, в частности карт местности.

В отличие от обычных методов складывания карт, складки миура-ори расположены не под прямыми углами, а слегка наклонено по отношению друг к другу

В результате, такую карту можно развернуть и свернуть одним движением, а отсутствие многослойных складок уменьшает нагрузку на бумагу (Рис.22).

Оригами в нашей жизни.

Сегодня искусство оригами переживает очередной пик популярности во всем мире, к тому же открыты новые направления оригами и области его применения. Так, математики используют основы и принципы этого искусства для решения геометрических задач, а архитекторы и строители увидели в оригамном конструировании возможности для создания многогранных структур из плоского листа. Для психологов оригами - это одно из направлений арттерапии, так как оригами в состоянии воздействовать на эмоциональную сферу человека.

А сколько идей из оригами нас окружает в жизни!

Оригами – дом

Оригами – мебель

Заключение.

Оригами и математика, словно две сестры, которые не терпят неточности и поспешности. Само оригами дает полет фантазии, а математика эту фантазию облачает в платье науки.

Японское искусство оригами очень широко вошло в нашу российскую жизнь и стало неотъемлемой частью для интеллектуального и познавательного развития. По результатам анкетирования в нашей школе как учителя, так и ученики считают, что оригами способствует в первую очередь развитию математических качеств (наблюдательность, внимание и произвольность, логическое и пространственное мышление, точность и аккуратность) человека. Это умение необходимо как на основных уроках - математика (геометрия, стереометрия), ИЗО, труд, так и на дополнительных элективных занятиях, кружках.(приложение 1)

Учащиеся 7 класса нашей школы ко Дню матери делали для мам лилии из бумаги. Я им с радость помогала. Делая цветы мальчики столкнулись с геометрическими понятиями и этим были очень удивлены. Им понравилось заниматься оригами. Ведь оригами-это не только интересное искусство, но еще и искусство помогающее изучать математику. Значит наша гипотеза верна, поэтому можно с уверенностью сказать, что математика - это одна из сторон оригами, и наоборот, оригами является одной из направляющих математики.

Использованная литература:

Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Все об оригами/Справочник. С-Пб: изд.Кристалл, М: «Оникс», 2005
Белим С.Н. Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998
Весновская О.В. Оригами: орнаменты, кусудамы, многогранники. -Чеб.: изд. «Руссика», 2003
Дорогов Ю.И., Дорогова Е.Ю. «Оригами шаг за шагом», 2008
Интернет-ресурсы: http://www.origami.kulichki.ru/modules.php?name=Pages&go=page&pid=2

http://www.origami.ru

http://fine.ap.teacup.com/foldings/

http://leit.ru/

http://ru.wikipedia.org/wiki/Оригами

Приложения.

Приложение 1.

Анкетирование.

В анкетировании приняли участие: 1 класс – 24 человек, 6 класс – 20 человек, 11 класс – 21 человек, педагоги - 23 человек.

Знакомы ли вы с оригами? (да, нет)

Какие фигуры оригами вы умеете делать? (перечислить)

Какие качества может развивать у ребёнка оригами?

С какими школьными предметами по вашему мнению связано оригами? (перечислить)

Оригами и математика | Статья в журнале «Юный ученый»

Оригами — удивительное искусство бумажной пластики. Оригами- это японское искусство складывания бумаги, образовано от японского oru (складывать) и kami (бумага). Сегодня множество людей во всем мире увлекаются искусством «оригами». Бумажные фигурки делают дети и взрослые, художники и конструкторы. О нем пишут книги и выпускают журналы с интересными статьями и описанием различных моделей.

Обязательным материалом для данного вида искусства является, естественно, бумага. И хотя первый станок по производству бумаги был изобретен в Китае, история оригами берет свое начало в Японии. Именно японцы в начале 8 века начали складывать различные фигурки. [1]

Первоначально разнообразные фигуры из бумаги складывали только для торжественных случаев, потому что раньше бумаги было мало, и она была очень дорогая. В древние времена секреты изготовление поделок из бумаги передавались по наследству в устной форме. По традиции, это происходило по женской линии: от матери дочерям. Так как при отсутствии письменных материалов описание сложных фигур было сделать довольно затруднительно, по наследству передавались только описания самых простейших фигур. В древности из бумаги складывали, главным образом, животных, людей в национальных костюмах и разнообразные ритуальные предметы. Впервые оригами стали использовать в японской культуре именно для проведения ритуальных церемоний. [2]

Фигурки оригами служили гербом и печатью в некоторых знатных семьях. Кроме того, очень популярно было искусство складывания писем. Особым образом свернутое письмо было похоже на головоломку. Развернуть его мог только тот, кто знал секрет складывания. [3]

Мы заметили, что, складывая фигурки оригами, сталкиваемся с математическими понятиями. Нам стало интересно, как связаны таинственное искусство складывания фигурок из бумаги оригами и давно интересующая нас математика.

Развернув фигурку оригами и посмотрев на складки, мы увидели множество многоугольников, соединенных друг с другом. В сложенном виде оригами представляет собой многогранник, фигуру с множеством плоских поверхностей. Складывание самой простой фигуры оригами включает в себя решение простейших геометрических задач на построение, таких, как построение перпендикуляра к данной прямой, построение биссектрисы угла и т. д. Различные построения и фигуры оригами складываются, как правило, из квадратного листа бумаги. Таким образом, когда мы производим простейшее действие с листом бумаги, например, складываем его по вертикали или диагонали, мы уже решаем задачи на построение: строим перпендикуляр к прямой или биссектрису угла.

Предметы вокруг нас имеют форму, похожую на геометрические фигуры. Альбомный лист имеет форму прямоугольника. Если поставить круглый стакан на лист бумаги и обвести его карандашом, получится линия, изображающая окружность. Кольцо, обруч напоминают своей формой окружность, а арена цирка, дно стакана или тарелка имеют форму круга. Апельсин, футбольный мяч, арбуз похожи на шар. Шестигранный карандаш, египетские пирамиды — это тоже геометрические фигуры. Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур: треугольника, квадрата, круга, пирамиды, сферы и др.

При решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль точек — вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов. [4]

С точки зрения математики оригами — это точное определение местоположения одной или более точек листа, задающих складки, необходимые для формирования окончательного объекта. Проанализировав базовые формы оригами, мы заметили, что уже при первом знакомстве с этим искусством мы узнаем о таких простых геометрических фигурах, как прямоугольник и треугольник. Сам же процесс складывания подразумевает выполнение последовательности точно определенных действий по следующим правилам, которые перекликаются с законами математики: точность выполнения инструкции, точки определяются пересечениями линий, линия определяется либо краем листа, либо линией сгиба бумаги, все линии прямые и делятся на два вида: параллельные и перпендикулярные. [5]

В наше время оригами с математической точностью шагает по планете семимильными шагами. Ученные придумали использовать приёмы оригами в космосе, а именно Миура-ори — схема жесткого складывания, которая использовалась для развертывания больших установок солнечных батарей на космических спутниках. Первоначально эта технология употреблялась для складывания бумажных документов, карт местности, упаковки. Такая карта компактна, в сложенном виде представляет плоскую фигуру, но ее можно развернуть и свернуть одним движением, а отсутствие многослойных складок уменьшает нагрузку на бумагу.

Математика-это одна из сторон оригами и наоборот, оригами является одной из направляющих математики.

Оригами — это семейный, коллективный досуг, сближающий, улучшающий психологический фон семьи и коллектива. Каждая фигура оригами — это своя история, своя легенда и множество вариантов применения в жизни.

Литература:

https://www.syl.ru/article/170897/new_istoriya-origami-istoriya-vozniknoveniya-origami
http://izbumagi.net/threads/interesnye-fakty-ob-origami.39/
https://school-science.ru/4/7/704
http://library…rabota_origami_i_matematika…
https://multiurok.ru/files/orighami-matiematika-ili-iskusstvo.html
Модульное оригами: складываем объемные игрушки / Елена Образцова. — М.: Эксмо, 2014. — 64 с.: ил. — (Азбука рукоделия).
Афонькин С. Ю., Афонькина Е. Ю. Все об оригами/Справочник. С-Пб: изд.Кристалл, М: «Оникс», 2005
Ю. И. Дорогов, Е. Ю. Дорогова «Оригами шаг за шагом», 2008
«Азбука оригами» Соколова С., — М.: Эксмо; СПб.: Домино, 2004 г., 432 с.

Исследовательская работа "Оригами - это математика?"

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Оригами – это японское искусство создания моделей различных предметов, животных, птиц, цветов путем сгибания листа бумаги; название образовано от японского oru (складывать) и kami (бумага).

Единственный рабочий материал − бумага. Единственный инструмент − руки. Увлекаются этим искусством множество людей. Бумажные фигурки учатся делать взрослые и дети, художники и конструкторы. В магазинах продаются книги и выпускаются журналы с интересными статьями и описанием различных моделей.

В процессе складывания фигурок оригами я открыла для себя удивительное явление: как из плоского листа бумаги появляется объёмная фигура. Если развернуть фигурку оригами и посмотреть на складки, то можно увидеть множество многоугольников. И здесь я столкнулась с математическими понятиями. Мне захотелось узнать, как из плоского листа получаются объемные фигуры, когда появились первые работы по оригами, какая связь существует между математикой и оригами. Я подумала, что с помощью оригами, можно показать, что математика несложная и нескучная наука.

Приобретенные во время складывания навыки можно использовать на уроках математики и занятиях по конструированию. При изготовлении фигурок оригами развиваются воображение, мелкая моторика рук, пространственное мышление, воспитывается вкус, аккуратность, трудолюбие, что и делает изучение использования оригами актуальным для исследования.

Гипотеза: искусство оригами тесно связано с математикой и может стать хорошей основой для ее изучения.

Цель работы: изучить происхождение оригами и связь этого искусства с математикой.

Для достижения цели и проверки гипотезы мною были поставлены следующие задачи:

1. Изучить историю оригами.

2. Ознакомиться с техникой оригами.

3. Научиться создавать изделия в технике оригами.

4. Проанализировать связь оригами и математики на примере основных элементов азбуки оригами.

Методы исследования: поисковый, исследовательский, анализ, обработка полученной информации, опрос, обобщение результатов и аналогия при решении задач.

Итог: провести мастер-класс на кружке по математике.

Объект исследования – оригами в математике.

Практическая значимость работы состоит в возможности применения данного метода при решении геометрических задач учащимися разного возраста.

ГЛАВА 1.Что такое оригами.

1.1. История оригами

Часть историков утверждает, что искусство оригами впервые появилось в Китае, непосредственно связывая его с появлением бумаги. Другие ученые считают, что оригами появилось в Японии. Оригами получило широкое распространение в Японии благодаря ее стремлению увидеть красоту, скрытую в каждой вещи.

Первые листочки бумаги, сложенные в необычные фигурки, появляются сначала в монастырях. Жители Японии придают бумаге особое значение и наделяют ее большой ценностью. У синтоистов принято верить, что в каждом предмете и явлении живет «ками» - маленькое божество. В японском языке понятия «Бог» и «Бумага» звучат одинаково, хотя и обозначаются разными иероглифами. Фигурки из бумаги имели символическое значение. Они становились участниками религиозных церемоний, украшали стены храмов, помещались на жертвенный костер. Даже в наши дни жители Японии складывают «ката-сиро» - восемь кукол из белой бумаги, которых расставляют для предотвращения несчастий по всем восьми направлениям пространства, бумажные амулеты «гофу» и «нагаси-бина» – мужчину и женщину в кимоно как символ семейной гармонии.

С XIV века Японцы использовали оригами как послание. Например, записки, сложенные в форме бабочки, журавля или цветка были символом дружбы. Только человек, владеющий искусством оригами, может аккуратно развернуть и прочитать послание.

Уроки оригами становятся обязательными при обучении самураев. А умение складывать причудливые фигурки являлось признаком хорошего образования и изысканных манер. Знатные семьи тех времён использовали оригами как герб и печать.

С XVI века бумага перестает быть предметом роскоши, и оригами начинает распространяться и среди простого народа. Именно тогда, триста – четыреста лет назад, изобретается ряд фигур, которым суждено было стать классическими. Среди них и японский журавлик «цуру» – традиционный японский символ счастья и долголетия, а теперь и международный символ свободы и мира.

Первым японским изданием по оригами считается книга «Сенбадзуру ориката», которая вышла в свет в 1797 году. Перевод ее названия «как сложить тысячу журавлей» указывает на старинную легенду, утверждающую, что тысяча сложенных классических бумажных птиц помогает осуществить желания. Книга целиком посвящена складыванию одной единственной модели – журавлика в самых разнообразных ее вариациях. С течением времени это занятие превращается в популярный досуг.

Новый этап в развитии оригами относится ко второй половине XX века и связан с именем знаменитого японского мастера Акиро Йошизава. Он работал на машиностроительной фабрике, где помимо основной работы, ему поручили учить новичков читать чертежи. При этом Акиро Йошизава начал активно использовать оригами, объясняя с помощью складывания азы геометрических понятий. Эти занятия имели успех и вызывали неподдельный интерес, ему предлагают выступить на съезде профсоюза с рассказом о роли оригами в образовании. Акира Йошизава является признанным мировым мастером оригами. Он изобрел сотни новых, ранее неизвестных фигур. Именно он изобрел единую универсальную систему знаков, с помощью которых можно записать схему складывания любой фигурки – чертежей.

Новый поворот в истории оригами тесно связан со страшной трагедией, произошедшей 6 августа 1945 года, когда была сброшена атомная бомба на Хиросиму. Последствия чудовищного эксперимента были ужасны. Среди детей, страдающих от последствий облучения и обреченных на гибель, возникла легенда о свободной птице, символе жизни − журавлике. Дети искренне верили, что, смастерив из бумаги 1000 журавликов, они исцелятся и останутся живы. Волна удивительной детской солидарности прокатилась по всем странам мира. Япония стала получать миллионы посылок со всех континентов нашей планеты с бесценным грузом - бумажными журавликами.

Движение «1000 журавликов» вызвало интерес к оригами по всему миру: стали издаваться красочные книги, буклеты, журналы, посвященные этому искусству. Сейчас центры оригами открыты в 26 государствах планеты. Оригами развивается, во многих странах созданы общества оригамистов; каждый год проводятся выставки и конференции.

Искусство оригами в Японии стало традицией, которая передается из поколения в поколение.

В Россию оригами пришло гораздо позже. В XIX в. одними из первых, кто научился сгибать из листа бумаги различные фигурки, стали дети царя Николая II. Обучил их этому мастерству филолог из Кембриджа, которого пригласили для обучения наследника престола. Детям это занятие сразу же пришлось по душе. Еще долгое время оригами в России оставалось «детским искусством».

1.2. Виды оригами

Оригами – целый мир, который можно выразить с помощью души и бумаги. Существует несколько видов оригами, на которых и базируется все творчество.

1) Плоское оригами

Плоские оригами называют также односторонним оригами: предмет определяется только с одной стороны. Обычно такие изделия используются для аппликации. В этом случае используется клей. Этот стиль ограничен использованием только складок, как складки между горой и долиной. Целью оригами является облегчение занятий неопытным оригамистам, а также людям с ограниченными двигательными навыками.

2) Мокрое оригами

Бумага смачивается водой, от этого она становится более пластичной. В результате работы со смоченной бумагой получаются плавные формы. Изделия похожи на папье-маше. Особенно актуален данный метод для таких негеометрических объектов, как фигурки животных и цветов — в этом случае они выглядят намного естественней и ближе к оригиналу.

3) Киригами

Киригами − вид оригами, в котором допускается использование ножниц и разрезание бумаги в процессе изготовления модели. Это основное отличие киригами от других техник складывания бумаги, что подчёркнуто в названии: (киру) — резать, (ками) — бумага. Для изготовления используют листы бумаги или тонкого картона, которые надрезают и складывают. Наглядно, эти модели сравнимы с открытками. Чаще всего разрабатывают трехмерные воспроизведения архитектуры, геометрические узоры и различные повседневные объекты.

4) Модульное оригами

Это вид объёмного оригами. Готовятся одинаковые модули, которые затем вкладываются один в один. Каждый модуль складывается по правилам классического оригами из одного листа бумаги, а затем модули соединяются путем вкладывания их друг в друга. Клей не используется. В этой технике можно создавать целые бумажные скульптуры, а также различные полезные предметы, которые можно использовать в быту и преподнести в качестве подарка: коробочки, подставки для мелочей, шкатулки, вазы.

5) Складывание по развёртке

Сложный вид оригами. Изделие готовится по сложной выкройке (развёртке), на которой указываются линии сгиба. Получаются очень сложные и красивые изделия. Складывание по развёртке сложнее складывания по традиционной схеме, но по праву считается наиболее точной и практичной, ведь представляет собою диаграмму, которая нанесена на лист и которой пользуется мастер-оригамист перед складыванием. А линии, которые показаны на диаграмме, есть не что иное, как будущие складки, из которых впоследствии сформируется конечная фигура.

6) Наноригами

Нано в переводе с греческого означает карлик.

Приставка «нано» показывает нам, что исходная величина должна быть уменьшена в миллиард раз. Это сложная разновидность оригами. Это трёхмерный конструктор с малюсенькими элементами. Принципы наноригами используются в нанотехнологиях.

ГЛАВА 2. Связь оригами и математики

2.1 Оригами – это математика.

Многие считают, что оригами, это забава, с помощью которой люди создают различные фигуры, но очень многое в оригами связано с математикой. Оригами связано с геометрией, оригами, как наука, способна изумить нас формами, о возможности существования которых, мы, может быть, и не догадывались.

Предметы вокруг нас имеют форму, похожую на геометрические фигуры. Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур: треугольника квадрата, круга, пирамиды сферы и др.

В процессе складывания фигур оригами мы учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике. Американский педагог Ф. Фребель уже в середине XIX века заметил геометрическую особенность оригами и ввел его как учебный предмет в школе. Фридрих Фребель считал Природу лучшим учителем. Он сам сначала был лесником, очень любил и ценил природу и поэтому не хотел, чтобы в школе дети занимались зубрёжкой.

Идеи Ф.Фребеля и сегодня очень интересны, поэтому что оригами способствует активности как левого, так и правого полушарий мозга, ведь требует одновременного контроля за движениями обеих рук.

В наше время оригами с математической точностью шагает по планете семимильными шагами. Ученные придумали использовать приёмы оригами для развертывания солнечных батарей на космических спутниках.

Математика – это одна из сторон оригами, и наоборот, оригами является одной из направляющих математики.

Простые базовые формы

Средние базовые формы

Блин

Рыба

Двойной треугольник

Двойной квадрат

Видя эти формы, мы понимаем, что на занятиях по математике при помощи оригами можно повторить следующие понятия:

– горизонтальные, вертикальные, наклонные линии;

– сложи квадрат разными способами, покажи смежные стороны, диагональ;

– квадраты;

– все виды треугольников.

На первом этапе в ходе изучения геометрии с использованием оригами знакомимся с основными геометрическими фигурами (треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, четырехугольник), понятиями (сторона, угол, вершина угла, диагональ, центр фигуры), их свойствами и учимся основам техники оригами.

Сначала я рассмотрела базовые модели оригами и выяснила их связь с математическими понятиями. Все фигуры оригами выполняются из геометрических фигур, значит это одна из точек прикосновения оригами с математикой. Но в оригами фигуры можно построить без чертежных инструментов, используя несколько сгибов. Процесс складывания подразумевает выполнение последовательности точно определённых действий по следующим правилам, которые перекликаются с законами математики:

точность выполнения инструкции;
точки определяются пересечениями линий;
линия определяется либо краем листа, либо линией сгиба бумаги;
все линии прямые и делятся на два вида: параллельные и перпендикулярные.

При работе с квадратом происходит знакомство с понятиями: угол, сторона, диагональ, центр, средняя линия, вершина, деление отрезка на части, угла на части, со способами складывания квадрата и складывания из квадрата других геометрических фигур. Таким образом, с помощью оригами решаются геометрические задачи на плоскости.

На втором этапе идёт работа по схемам, процесс складывания плоскостных фигур. Эта деятельность направлена на развитие восприятия, которое связано с различными операциями мышления.

Складывая их в различных комбинациях, можно получить многогранники. Существует пять правильных многогранников.
Они составлены из правильных многоугольников (тетраэдр – 4 треугольника, октаэдр – 8 треугольников, икосаэдр – 20 треугольников, куб – 6 квадратов, додекаэдр – 12 пятиугольников). Самый лучший способ познакомиться с многогранниками − занятие оригами, так как из бумаги такие фигурки складываются легко и быстро.

При этом развивается пространственное воображение, что способствует успешному усвоению геометрии в старших классах. Важность этой ступени состоит в том, что здесь особое место занимает метод решения задач на построение без помощи циркуля и линейки. Особая ценность этого метода в том, что он позволяет построить правильные многоугольники, построение которых с помощью циркуля и линейки затруднительно, а в некоторых случаях невозможно.

На третьем этапе изучения геометрии с использованием оригами ведется работа по формированию содержательного логического мышления. Большое значение для развития воображения играет изготовление геометрических фигур, в которых прослеживается определенная закономерность расположения модулей, наглядное восприятие которых помогает понять эту особенность и справиться с геометрическими задачами. Сюда входят построения многогранников, нахождение площадей боковых поверхностей и объемов геометрических тел.

Оригаметрия − область очень молодая. Многие понятия курса геометрии в школе гораздо проще и нагляднее объясняются с помощью оригаметрии, чем принятыми способами. Поэтому задача современных педагогов и оригамистов состоит в том, чтобы постепенно творчески развивать данную область, чтобы в конечном счёте её включили в школьные курсы геометрии, так как пока не существует ни соответствующих программ и учебников.

Не только многие математики с увлечением занимались оригами, но и известные писатели. Льюис Кэрролл, автор «Алисы в Стране Чудес» и «Алисы в Зазеркалье», был одним из восторженных поклонников сложенных из бумаги фигурок. Стоит отметить, что Льюис Кэрролл преподавал математику в Оксфорде.

Умел складывать фигурки из бумаги и русский писатель Лев Толстой. В черновике к статье «Что такое искусство» он пишет: «Нынешней зимой одна мама научила меня делать из бумаги, складывая и выворачивая ее известным образом, петушков, которые, когда их дергаешь за хвост, махают крыльями. Выдумка эта от Японии. Я много раз делал этих петушков детям, и не только дети, но всегда все присутствующие большие, не знавшие этих петушков, и господа, и прислуга развеселялись и сближались от этих петушков, все удивлялись и радовались: как похоже на птиц эти петушки махают крыльями. Тот, кто выдумал этого петушка, от души радовался, что ему так удалось сделать подобие птицы, и чувство это передается, и потому, как ни странно сказать, произведение такого петушка есть настоящее искусство».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Японское искусство оригами широко вошло в нашу жизнь и стало неотъемлемой частью для интеллектуального и познавательного развития. По результатам анкетирования в нашей школе как учителя, так и ученики считают, что оригами способствует в первую очередь развитию математических качеств (наблюдательность, внимание и произвольность, логическое и пространственное мышление, точность и аккуратность) человека. Это умение необходимо как на основных уроках - математика (геометрия, стереометрия), ИЗО, труд, так и на дополнительных занятиях, кружках.

По результатам моей работы можно сделать вывод, что гипотеза подтвердилась – искусство оригами тесно связано с математикой и может стать хорошей основой для её изучения. Занимаясь оригами, я познакомилась на практике с элементами геометрии на плоскости и в пространстве, научилась легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнала много интересного о геометрии и математике.

Я провела мастер-класс по изготовлению восьмиугольника-звезды и октаэдра, используя технику оригами. Занятия оригами, безусловно, очень полезны для любого возраста, поскольку прекрасно развивают мелкую моторику рук, пространственное мышление, внимание, точность и терпение. Данная тема представляет большие возможности для проявления исследовательских и творческих умений при решении различных геометрических задач.
Я узнала, что работать руками полезно для развития полушарий головного мозга, так как правая рука отвечает за левое полушарие, а левая рука - за правое. Выходит, при складывании оригами развиваются оба полушария мозга, так как работают обе руки одновременно. Поэтому это занятие применяют в своей практике врачи-логопеды. Помогает оно людям с нарушениями опорно-двигательного аппарата, с психическими расстройствами.

Процесс оригами трудоемкий и сложный. Но именно поэтому он способен отвлечь от повседневных забот. Лично для меня оригами стало новым увлечением. Сейчас я уже освоила треугольный модуль оригами, изучаю азбуку оригами и хочу научиться выполнять более сложные композиции.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Все об оригами/Справочник. СПб: изд.Кристалл, М: «Оникс», 2005

4. С. Н. Белим. Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998г.,

5. Ю.И. Дорогов, Е.Ю. Дорогова «Оригами шаг за шагом», 2008

6. Такахаси Коки «Оригами – это математика!»

Проект «Оригами и математика» | Творческие проекты и работы учащихся

Учебный творческий проект по технологии «Оригами и математика» направлен на самостоятельное изучение учащейся 2 класса истории происхождения и развития искусства оригами и нахождение связи между оригами и математикой, применение знаний из области математики в создании фигурок оригами.

Подробнее о проекте:

В ученическом проекте «Оригами и математика» можно подробнее узнать о видах оригами, изучить методы создания каждого вида оригами, ознакомиться с практическим применением математических законов в оригами,

В процессе творческой работы по определению взаимосвязи оригами и математики ученица 2 класса начальной школы решает головоломки с оригами, применяет основные знания по математике в практике сложения бумаги. Выполненная работа может служить образцом для выполнения творческого проекта по оригами и математике в 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 классе школы.

Введение
1. История оригами.
2. Виды и техники оригами.
3. Оригами – это математика.
4. Взаимосвязь основ оригами и математики.
5. Головоломки и оригами.
Заключение
Список литературы

Введение

Оригами – это японское искусство создания моделей различных предметов, животных, птиц, цветов путем сгибания листа бумаги.

Единственный рабочий материал - это бумага. Единственный инструмент - руки.

Уникальное занятие складывать своими руками красивые игрушки и геометрические фигуры. При этом готовую фигурку я могу преподнести в подарок другу и даже устроить спектакль с бумажными героями сказок.

Приобретенные во время складывания навыки можно использовать на уроках по математике и конструированию. При изготовлении фигурок оригами развиваются воображение, мелкая моторика рук, пространственное мышление, воспитывается вкус, аккуратность, трудолюбие, что и делает изучение использования оригами актуальным для исследования.

Я заметила, что, складывая фигурки оригами, сталкиваюсь математическими понятиями. Мне стало интересно, как связаны таинственное искусство складывания фигурок из бумаги оригами и давно интересующая меня математика.

Гипотеза: Искусство оригами тесно связано с математикой.

Цель проекта:

Изучение оригами, его происхождение.
Доказать связь оригами и математики.

Задачи проекта:

Изучить историю оригами.
Проанализировать связь оригами и математики.
Показать практическое применение математических законов в оригами.

Методы исследования:

Практическая работа.
Поиск информации из разных источников (специальная литература, интернет ресурсы).

Итог: провести мастер-класс на факультативе по математике.

Актуальность темы:

В 7 классе мне предстоит изучать такой предмет, как геометрия. Я думаю, что для изучения геометрии нужно уметь читать чертежи, знать основные геометрические фигуры.

Как мне кажется, сложнейшей проблемой в понимании геометрии остаётся проблема пространственного мышления. Бернард Шоу говорил: « Если просто учить чему – нибудь человека, он никогда ничему не научится». Мы учимся на делах!

В голове удерживаются только те знания, которые применяются на практике. Поэтому, если мы чему-то учимся, необходимо делать всё самому. А искусство оригами как нельзя лучше походит по возрастным категориям. Может быть, поэтому мастера оригами говорят, что при складывании фигурок голова работает руками.

История оригами

В истории происхождения оригами многое до сих пор остается неясным. Часть историков утверждает, что искусство оригами впервые появилось в Китае, непосредственно связывая его с появлением бумаги. Однако, доказательств в пользу того, что китайцы использовали бумагу, чтобы складывать из нее фигурки, не найдено.

Другие ученые утверждают, что оригами проистекает из Японии и, что еще до появления бумаги, японцы складывали фигурки из ткани и других материалов. Так или иначе, именно в Японии, благодаря ее культурным особенностям, стремлению увидеть красоту, скрытую в каждой вещи, оригами получило широкое распространение.

Официальной датой “появления” бумаги в Китае считается 105 г. до н.э.. Тогда же император Хен Сюай издает специальный указ, запрещающий писать на дереве и предписывающий использовать для письма бумагу. Китайцы ревностно хранили секрет изготовления бумаги в течение 500 лет. Технологию ее производства было запрещено вывозить за границу под страхом смертной казни.

Однако, согласно легенде, в начале VII в. н.э. странствующий буддийский монах Дан Хо, о котором современники говорили, что он был “богат знаниями и умел делать бумагу и тушь”, добирается до Японии, и раскрывает секрет бумагоделия. Спустя столетие японцы уже производят собственную бумагу, которая по качеству превосходит китайскую.

Первые оригами появляются в синтоистских храмах. Жители Японии придают бумаге особое значение и наделяют ее большой ценностью. Бумага изготовляется из дерева, а вырубать деревья японцам строго-настрого запретили предки. У синтоистов принято верить, что в каждом предмете и явлении живет «ками» - маленькое божество. Оно поселяется и в бумажных фигурках, которые используются при совершении ритуалов и обрядов.

По сей день, жители Японии складывают «ката-сиро» - восемь кукол из белой бумаги, которых расставляют для предотвращения несчастий по всем восьми направлениям пространства; бумажные амулеты «гофу»; и «нагаси-бина» – мужчину и женщину в кимоно, как символ семейной гармонии.

В периоды Камакура (1185–1333 гг.) и Муромати (1333–1573 гг.) оригами выходит за пределы храмов и достигает императорского двора. Аристократии и придворным предписывается обладать определенными навыками в искусстве складывания. Японцы использовали бумажные фигурки для того, чтобы передать то или иное послание другому человеку.

Например, записки, сложенные в форме бабочки, журавля или цветка были символом дружбы и доброго пожелания. Уроки оригами становятся обязательными при обучении самураев. Листы бумаги, на которых написано послание, складываются в причудливые фигуры. Только человек, владеющий искусством оригами, может аккуратно развернуть и прочитать послание, не предназначенное для посторонних глаз.

Умение складывать стало одним из признаков хорошего образования и изысканных манер. Различные знатные семьи использовали фигурки оригами как герб и печать.

В периоды Адзути-Момояна (1573–1603гг.) и Эдо (1603–1867гг.) бумага перестает быть предметом роскоши и оригами начинает распространяться и среди простого народа. Именно тогда, триста – четыреста лет назад, изобретается ряд фигур, которым суждено было стать классическими. Среди них и японский журавлик «цуру» – традиционный японский символ счастья и долголетия, а теперь и международный символ свободы и мира.

Искусство оригами в Японии стало традицией, которая передается из поколения в поколение. Историки утверждают, что по манере складывания и набору фигурок можно определить провинцию Японии, в которой выросла и обучалась девушка.

Первым японским изданием по оригами считается книга «Сенбадзуру ориката», которая вышла в свет в 1797 году. Перевод ее названия “как сложить тысячу журавлей” указывает на старинную легенду, утверждающую, что тысяча сложенных классических бумажных птиц помогает осуществить желания. Книга целиком посвящена складыванию одной единственной модели – журавлика в самых разнообразных ее вариациях. Именно это время характеризуется началом «демократизации» оригами – превращения этого занятия из ритуально-храмового действа в популярный досуг.

Новый этап в развитии оригами относится ко второй половине XX века и связан с именем знаменитого японского мастера Акиро Йошизава. Акиро Йошизава работал на машиностроительной фабрике, где помимо основной работы, ему поручили учить новичков читать чертежи. При этом он начал активно использовать оригами, объясняя с помощью складывания азы геометрических понятий. Эти занятия имели успех и вызывали неподдельный интерес и Акире Йошизаве предлагают выступить на съезде профсоюза с рассказом о роли оригами в образовании.

Акира Йошизава является признанным мировым мастером оригами. Он сделал оригами авторским, придумав сотни оригинальных фигурок. Именно он изобрел единую универсальную систему знаков, с помощью которых можно записать схему складывания любой фигурки.

Новый поворот в истории оригами тесно связано со страшной трагедией, произошедшей 6 августа 1945 года, когда была сброшена атомная бомба на Хиросиму. Последствия чудовищного эксперимента были ужасны. Среди детей, страдающих от последствий облучения и обреченных на гибель, возникла легенда о свободной птице, символе жизни - журавлике. Дети искренне верили, что, смастерив из бумаги 1000 журавликов, они исцелятся и останутся живы. Волна удивительной детской солидарности прокатилась по всем странам мира. Япония стала получать миллионы посылок со всех континентов нашей планеты с бесценным грузом - бумажными журавликами.

Движение «1000 журавликов» вызвало интерес к оригами по всему миру: стали издаваться красочные книги, буклеты, журналы, посвященные этому искусству. Сейчас центры оригами открыты в 26 государствах планеты. Оригами развивается, во многих странах созданы общества оригамистов; каждый год проводятся выставки и конференции.

Неосторожно будет утверждать, что искусство складывания бумажных фигур был незнакомо европейским странам до середины XX века. В связи с этим, особо следует упомянуть об истории развития складывания в Испании, которая может похвастаться своим собственным, независимым, открытием некоторых фигурок, например птички – "пахариты".

Так называется древняя классическая фигурка, ставшая символом оригами в Испании. Известный оригамист Винсенте Паласиос считает, что многое указывает на появление этой модели впервые в Толедо в XII веке. Если это предположение, верно, то, без сомнения, пахарита является первой традиционной сложенной европейской фигуркой (возможно, одной из первых во всем мире).

Первые упоминающиеся в старинных европейских документах мельницы, изготавливающие бумагу, существовали в Толедо уже в XII веке (в Италии они появились на столетие позже). Само слово «пахарита» (птица) применительно к фигуркам имеет в Испании два значения – название конкретной модели, или вообще любая фигурка, сложенная из бумаги. Само искусство складывания фигурок из бумаги называется в Испании "делать пахариты", а сами фигурки – «различные другие пахариты».

Виды и техники оригами

Оригами – целый мир, который можно выразить с помощью души и бумаги. Существует несколько видов оригами, на которых и базируется все творчество.

Простое оригами

Простое оригами — стиль оригами, придуманный британским оригамистом Джоном Смитом, и который ограничен использованием только складок горой и долиной. Целью оригами является облегчение занятий неопытным оригамистам, а также людям с ограниченными двигательными навыками. Данное выше ограничение означает невозможность многих (но не всех) сложных приёмов, привычных для обычного оригами, что вынуждает к разработке новых методов, дающих сходные эффекты.

Мокрое оригами

Мокрое складывание - техника складывания, разработанная Акирой Ёсидзавой и использующая смоченную водой бумагу для придания фигуркам плавности линий, выразительности, а также жесткости. Особенно актуален данный метод для таких негеометричных объектов, как фигурки животных и цветов - в этом случае они выглядят намного естественней и ближе к оригиналу

Бумага смачивается водой, от этого она становится более пластичной. В результате работы со смоченной бумагой получаются плавные формы. Изделия похожи на папье-маше.

Не всякая бумага подходит для мокрого складывания, а лишь та, в которую при производстве добавляют водорастворимый клей для скрепления волокон. Как правило, данным свойством обладают плотные сорта бумаги.

Модульное Оригами

Одной из популярных разновидностей оригами является модульное оригами, в котором целая фигура собирается из многих одинаковых частей (модулей).

Каждый модуль складывается по правилам классического оригами из одного листа бумаги, а затем модули соединяются путём вкладывания их друг в друга, появляющаяся при этом сила трения не даёт конструкции распасться.

Одним из наиболее часто встречающихся объектов модульного оригами является кусудама, объёмное тело шарообразной формы, собранное из бумажных цветов. Основой кусудамы, как правило, является какой-либо правильный многогранник (чаще всего куб, додекаэдр или икосаэдр). Несколько реже за основу берётся полуправильный многогранник.

Складывание по развёртке

Развёртка (англ. creasepattern; паттерн складок) — один из видов диаграмм оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели.

Складывание по развёртке сложнее складывания по традиционной схеме, однако, данный метод даёт не просто информацию, как сложить модель, но и как она была придумана — дело в том, что развёртки используются при разработке новых моделей оригами. Последнее также делает очевидным факт отсутствия для некоторых моделей иных диаграмм, кроме развёртки.

Наноригами

Сложная разновидность оригами. Это трёхмерный конструктор с малюсенькими элементами. Принципы наноригами используются в нанотехнологиях.

Фигуры в оригами выполняются из геометрических фигур: квадрата, треугольника, прямоугольника, пяти-, шести-, восьмиугольников, и даже круга.

То есть все фигуры в оригами выполняются из геометрических фигур, значит это одна из точек прикосновения оригами с математикой.

Киригами

Вид работы с бумагой при помощи ножниц. Ножницы дают большую свободу действий и более чёткие формы.

Оригами – это математика

В процессе складывания фигур оригами мы знакомимся с различными геометрическими фигурами: треугольником, квадратом, трапецией и т.д., учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике. Американский педагог Ф. Фребель уже в середине XIX века заметил геометрическую особенность оригами и ввел его как учебный предмет в школе.

Идеи Фребеля и сегодня очень интересны. Не удивительно поэтому, что в наши дни оригами продолжает играть определённую роль в развитии и воспитании. Оригами способствует активности, как левого, так и правого полушарий мозга, так как требует одновременного контроля за движениями обеих рук.

В конце XX века возник новый термин «оригаметрия», обозначающий область геометрии, в которой задачи решаются только методом складывания.

Математика это одна из сторон оригами и наоборот оригами является одной из направляющих математики.

Взаимосвязь основ оригами и математики

«Великий квадрат, не имеет пределов
Попробуй простую фигурку сложить,
И вмиг привлечёт интересное дело…»
А.Е. Гандаенко.

Большинство классических моделей в оригами выполняются из квадрата. В процессе изготовления простых моделей мы знакомимся с очень нужными понятиями.

Деление на части является основами раздела математики – геометрии!!!

С помощью сгибов из квадрата можно получить другие правильные многоугольники.

С помощью оригами решаются геометрические задачи на плоскости. Значит оригами действительно связано с математикой. Продолжая исследование, складывая модульные конструкции, я пришла к выводу, что они напоминают геометрические тела. И я погрузилась в оригаметрию! Оригаметрия – раздел, который связывает искусство оригами с математикой.

Головоломки и оригами

«Форма, объём, изгиб, или складка,
И что белый лист без движенья – загадка…
Число уложений и упаковок
Вводит нас в мир головоломок.
И радует магия дивных творений,
Мир оригами, чудо свершений!»

С помощью оригами можно сделать математические головоломки.

Заключение

В процессе создания проекта мы узнали историю возникновения оригами, рассмотрели взаимосвязь оригами с математикой.

Оригами – и детская забава, и элемент дизайна, и неотъемлемый предмет народных праздников во многих странах мира. В процессе складывания фигур оригами мы знакомимся с различными геометрическими фигурами, учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги; находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике.

Кроме того, оригами развивает память, мышление, пространственное воображение, сообразительность. Для нас оригами продолжает оставаться увлечением, которое смогло окунуть нас с головой в этот удивительный мир! С помощью оригами есть возможность показать, что математика не сухая наука, а красота и гармония.

По результатам моего творческого проекта об оригами и математике исследования можно сделать вывод, что гипотеза подтвердилась – искусство оригами тесно связано с математикой и может стать хорошей основой для ее изучения.

Список литературы

«Забавные фигурки. Модульное оригами». Проснякова Т.Н.-М.:АСТ- ПРЕСС. КНИГА. 2011г.(Золотая, библиотека увлечений).
«Оригами. Орнаменты, кусудамы, многогранники». Весновская О.В. Чебоксары, 2003 г.
«Правильные многоугольники в оригами». Белим С.Н, Белим С.В. Омск. 2003 г.
«Задачи по геометрии, решаемые методами оригами». Белим С.Н. М.: изд. «Аким». 1998г.
«Энциклопедия оригами для детей и взрослых». С. Ю. Афонькин, Е.Ю.Афонькина.-С-Пб. «Кристалл» ,2000г.
«Оригами. Волшебный квадрат». С. Ю. Афонькин, Е.Ю.Афонькина. Москва, «Аким».2002г.

Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:

Исследовательская работа по математике на тему "Оригами и математика"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа№4

городского округа г. Выкса Нижегородской области

Оригами и математика

Физико-математическое отделение

Секция математическая

Работу выполнила:

ученица 5 класса

Лапина Анастасия Алексеевна

11 лет

Научный руководитель:

учитель математики

МБОУ СОШ №4

Огольцова Александра Александровна

г. Выкса

2015г

Оглавление

Введение ……………………………………………………………..3 - 4
Глава 1. Обзор литературы ………………………………………..5
Глава 2. Искусство оригами ……………………………………...6

2.1. Из истории оригами………………………………………………6 - 8

2.2. Азбука оригами…………………………………………………...8

2.3. Базовые формы оригами………………………………………....9

2.4. Виды и техника оригами………………………………………...9 - 10

3.1. Поисковая работа………………………………………………...11

3.2. Эксперимент……………………………………………………..11 - 15

3.3. Некоторые примеры связи математики и оригами……………15 - 17

Заключение………………………………………………………….18
Список использованной литературы…………………………….19
Приложение……………………………………………………….....20 - 28

Аннотация

Оригами - удивительное искусство бумажной пластики. Сегодня множество людей во всем мире увлекаются им. Бумажные фигурки делают дети и взрослые, художники и конструкторы. Его даже преподают в школах, о нем пишут книги и выпускают журналы с интересными статьями и описанием различных моделей. Я заметила, что, складывая фигурки оригами, сталкиваюсь с математическими понятиями. Мне стало интересно, как связаны таинственное искусство складывания фигурок из бумаги и давно интересующая меня математика.

Цель: установить взаимосвязь искусства оригами и науки математики.

Задачи:

- изучить источники информации по предмету исследования;

- изучить историю оригами, основные этапы его развития ;

- рассмотреть базовые формы и приемы оригами;

- исследовать связь математики и оригами;

- заинтересовать окружающих таинственным искусством складывания

фигурок.

Основные результаты:

- проводя исследования по данной теме, я изучила азбуку и базовые формы оригами, смогла понять, как связаны математика и оригами, нашла аргументы и факты за выдвинутую гипотезу.

Практическая значимость:

- моя работа показывает возможность использования искусства оригами на уроках математики.

Введение.

Очень приятно получать подарки. А еще приятнее их дарить. Но праздников очень много, людей, которым хочется сделать подарок, – еще больше. И каждый из нас хоть один раз в жизни сталкивался с проблемой – «Что подарить?»

А ведь каждому из нас хочется получить в подарок что-то уникальное, а еще лучше, сделанное руками близкого человека. Ведь такой сувенир всегда будет радовать глаз и пробуждать море теплых воспоминаний, потому что сделан он с душой, любовью и мыслями о Вас.

Я заметила, что, складывая фигурки оригами, сталкиваюсь с математическими понятиями. Мне стало интересно, как связаны таинственное искусство складывания фигурок из бумаги оригами и давно интересующая меня математика.

Я считаю, что тема моей работы современна и актуальна, так как в настоящее время, несмотря на развитие науки и техники, способность к творчеству остается отличительной чертой человека, благодаря которой он может жить в единстве с природой, все созданное творцом всегда было и будет неповторимым, оригинальным и ценным.

Цель: установить взаимосвязь искусства оригами и науки математики.

Задачи:

- изучить литературу и другие источники информации по данному

вопросу;

- изучить историю оригами, основные этапы развития оригами;

- рассмотреть базовые формы и приемы оригами;

- исследовать связь математики и оригами;

- провести мастер-класс своим одноклассникам по изготовлению моделей

оригами (оригинальный подарок своими руками).

Над своим исследованием я работала два месяца. Посещала школьную библиотеку, искала информацию, используя ресурсы Интернет-сайтов, а также книги из домашней библиотеки.

Глава 1. Обзор литературы

О понятии оригами я узнала в книге Н. Г. Юрина. По книге “Я познаю мир” [1]

Изучив книгу Ильиной Н.К. «Оригами. Необычные модели для развития фантазии» [2], я познакомилась с азбукой оригами, основными базовыми формами, основными приемами создания оригами, а также я узнала много нового из истории данного искусства, прочитала легенды об оригами.

На сайтах интернета [8] я познакомилась с техникой и видами оригами, узнала о бумаге, которая предназначена для складывания оригами, узнала о первых фигурках оригами, где используют оригами.

Во всех, изученных мной книгах[2], [3], [4], [5] , доступно рассказывается, как сделать разнообразные модели из бумаги, представлены мастерски выполненные схемы складывания.

В журналах «Математика в школе»№9, 2011 [6], «Математика. Все для учителя!» №11(35), 2013 [7] я посмотрела, как искусство оригами помогает организовать работу учащихся на занятиях по математике при изучении геометрических понятий и решении задач на основе активного использования моделей из бумаги.

Глава 2. Искусство оригами

2.1. Из истории оригами

Первые попытки сложить лист начались в японских храмах и монастырях. В далекой древности оригами имело религиозное предназначение. Ими украшали статую богини милосердия, чтобы задобрить ее и попросить покровительства.

Появление первых фигурок относится к средним векам. Умение складывать из бумаги считалось одним из признаков хорошего образования и изысканных манер. В те времена бумага было материалом редким и дорогим. Фигурки оригами служили гербом и печатью в некоторых знатных семьях.

Самураи делали амулеты оригами из бумаги с добавлением полосок акульей шкуры или волокон сушеного мяса. Такие амулеты были призваны охранять самурая и приносить ему победу.

Позже искусством складывания из бумаги стали заниматься, в основном, женщины и дети. Оно стало частью традиций и обычаев, украшением японского быта, карнавальных шествий, народных праздников. Кроме того, очень популярно было искусство складывания писем. Особым образом свернутые послания похожи были на головоломку. Развернуть их мог только посвященный.

До конца XIX века для обозначения искусства складывания употреблялось слово «ориката». Лишь в 1880 году возникает термин «оригами», ставший уже привычным. Слово это состоит из двух понятий: «ори», что означает «складываю» и «ками» - «бумага».

Во второй половине XIX века оригами перешло границы Японии. В странах Европы начали знакомиться с классическими фигурками, выполненными в технике оригами.

Бурное развитие оригами началось только после второй мировой войны, главным образом, благодаря усилиям всемирно известного мастера-оригамиста Акиры Йошизавы. Именно он изобрел единую универсальную систему знаков, с помощью которых можно записать схему складывания любой фигурки.

Новое возрождение оригами так же тесно связано со страшной трагедией, произошедшей 6 августа 1945 года, когда "люди" решили испытать атомную бомбу на человеке, подписав смертный приговор городу Хиросима.

Среди тех, кто не сгорел заживо и был обречен на медленную и мучительную смерть была Садако Сасаки. Именно тогда среди детей, обреченных на гибель, возникла легенда о свободной птице, символе жизни - журавлике. Дети искренне верили, что, смастерив из бумаги 1000 журавликов, они исцелятся и останутся живы.

В память о жертвах атомной бомбардировки в Хиросиме заложили парк Мира. В мае 1958 года там был открыт монумент, посвященный погибшим детям.

Движение "1000 журавликов" возродило интерес к оригами. По всему миру стали издаваться красочные книги, буклеты, журналы, посвященные этому искусству.

Каждая страна приняла оригами по-своему, в соответствии со своими культурой и традициями.

Складывая оригами, люди часто задаются вопросом: «А почему квадрат? И почему нельзя резать?»

На востоке к квадрату всегда относились с особым почтением. В Древнем Китае он символизировал землю. Считалось, что земля имеет форму квадрата, над которой нависает купол неба. Форму квадрата имеют и все, родившиеся на востоке игры: шахматы, танграм. Квадрат – это наименьший размер комнаты в японском доме – два татами. Все иероглифы можно вписать в квадрат. Исследуя возможности оригами, современные мастера доказали, что ни одна форма не имеет такие возможности для складывания, как квадрат.

Что же касается запрета разрезать, то он прямо связан с убеждением, что все во Вселенной связано со всем. Все формы перетекают одна в другую. Как в фигурке оригами, квадрат, видоизменяясь, дает жизнь новой форме. Разрез нарушает единое целое.

2.2. Азбука оригами.

В международной литературе по оригами давно сложился определенный набор условных знаков, необходимых для того, чтобы зарисовать схему складывания даже самого сложного изделия. Условные знаки играют роль своеобразных "нот", следуя которым можно воспроизвести любую работу. Помимо знаков, существует небольшой набор приемов, которые встречаются достаточно часто. Обычно они даются в книгах без комментариев. Считается, что любой новичок умеет выполнять их на практике. Международные условные знаки вместе с набором несложных приемов и составляют своеобразную "азбуку" оригами, с которой должен быть знаком любой складыватель. Большая часть условных знаков была введена в практику еще в середине XX века известным японским мастером Акирой Йошизавой. В последние десятилетия к этим знакам добавилось несколько новых. К введению любых дополнительных обозначений следует относиться очень осторожно, и уж, конечно, совсем не стоит "изобретать велосипед" и пытаться записывать схемы складывания как-то по-своему. Все обозначения в оригами можно разделить на линии, стрелки и знаки. (См.Приложение1.)

2.3. Базовые формы оригами.

Многие фигурки оригами на начальном этапе складываются одинаково, то есть имеют одну основу - базовую форму. База – это самая простая уже сложенная форма, из которой со временем могут появиться множество различных фигурок.

Сегодня в мире существует целых 11 базовых форм (Приложение 2).

Простые базовые формы: треугольник, книга, дверь, воздушный змей;
Средние базовые формы: блин, рыба, двойной треугольник, двойной квадрат;
Сложные базовые формы: птица, катамаран, лягушка.

Часто в книгах об оригами даже не приводятся схемы базовых форм оригами, подразумевается, что мастер оригами уже с ними знаком .

2.4. Виды и техника оригами

Модульное оригами

Одной из популярных разновидностей оригами является модульное оригами, в котором целая фигура собирается из многих одинаковых частей (модулей). Каждый модуль складывается по правилам классического оригами из одного листа бумаги, а затем модули соединяются путём вкладывания их друг в друга, появляющаяся при этом сила трения не даёт конструкции распасться. Одним из наиболее часто встречающихся объектов модульного оригами является кусудама, объёмное тело шарообразной формы.

Простое оригами

Простое оригами — стиль оригами, придуманный британским оригамистом Джоном Смитом, и который ограничен использованием только складок горой и долиной. Целью оригами является облегчение занятий неопытным оригамистам, а также людям с ограниченными двигательными навыками. Данное выше ограничение означает невозможность многих (но не всех) сложных приёмов, привычных для обычного оригами, что вынуждает к разработке новых методов, дающих сходные эффекты.

Складывание по развёртке

Развёртка (англ. creasepattern; паттерн складок) — один из видов диаграмм оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели. Складывание по развёртке сложнее складывания по традиционной схеме, однако, данный метод даёт не просто информацию, как сложить модель, но и как она была придумана — дело в том, что развёртки используются при разработке новых моделей оригами. Последнее также делает очевидным факт отсутствия для некоторых моделей иных диаграмм, кроме развёртки.

Мокрое складывание

Мокрое складывание — техника складывания, разработанная Акирой Йошизавой и использующая смоченную водой бумагу для придания фигуркам плавности линий, выразительности, а также жесткости. Особенно актуален данный метод для таких негеометрических объектов, как фигурки животных и цветов — в этом случае они выглядят намного естественней и ближе к оригиналу. Не всякая бумага подходит для мокрого складывания, а лишь та, в которую при производстве добавляют водорастворимый клей для скрепления волокон. Как правило, данным свойством обладают плотные сорта бумаги.

Глава 3. Оригами – это математика!

Как связано искусство оригами и точная наука математика? Этот вопрос я решила изучить.

Я проанализировала базовые формы оригами и заметила, что уже при первом знакомстве с этим искусством мы узнаем о таких простых формах, как прямоугольник и треугольник. Когда складываем простую форму, то знакомимся с квадратом, согнув углы которого к центру можно увидеть, что квадрат может состоять из четырёх одинаковых треугольников. Складывая форму «Воздушный змей», знакомимся с ромбом. Азбука оригами включает в себя такие геометрические понятия, как точка и линия.

3.1. Поисковая работа.

В рамках поисковой работы я сначала рассмотрела некоторые базовые модели оригами и выяснила их связь с математическими понятиями.

(См. Приложение 3).

Затем я решила взять несколько стандартных схем оригами, и выяснить какие геометрические фигуры используются в них.

Для этого необходимо снова рассмотреть основы оригами.

(См. Приложение 1).

И сейчас я могу сделать вывод, что при работе с оригами следует знать следующие фигуры:

Прямая, квадрат, треугольник, угол, ромб.

3.2.Эксперимент.

Проведем эксперимент по сложению оригами. И сразу выпишем, знания каких геометрических фигур мне были нужны.

Схема 1. «Собака»

Геометрические фигуры: квадрат, треугольник, прямая .

Схема 2. «Ваза»

Возьмите квадрат двусторонней бумаги (1).

Теперь согните лист по диагонали и разогните. (2)

Повторите то же действие с другой диагональю. (3)

Следующий шаг – согните и разогните лист по горизонтали, как показано на фото (4) и (5).

По намеченным линиям сложите лист в ромб вот так: (6), (7).

Получившийся ромб хорошо прогладьте. (8)

Правый угол загните к центру. (9)

Левый угол загните к центру. (10)

Переверните заготовку и повторите то же самое с оставшимися двумя углами. (11)

Верхний левый угол заготовки загните к центру (12), разогните и далее опустите центральный угол к середине как на фото (13).

Переверните клапан как страницу и продолжайте по аналогии (12 и 13 фото), пока перед вами не окажется последний правый угол. Его согните к центру заготовки, как на 12 фото, только зеркально, разогните и вправьте по намеченным линиям этот угол вовнутрь (17 и 18).

Вот что у нас должно получиться. (19)

Нижний уголок нашей будущей оригами - вазы загните и разогните, чтобы после того, как мы развернем заготовку (22) у нас получилось сделать такое устойчивое дно (21).

Если на каком-то этапе вы получаете не совсем то, что на фото – не переживайте. Разверните заготовку аккуратно и проследите, на каком шаге вы ошиблись. Самое главное – верно сделать изгибы. По ним уже вы сможете и переделать оригами - вазу.

И здесь мы наблюдаем те же геометрические фигуры: квадрат, диагональ, треугольник, прямоугольник, прямую, угол.

3.3. Некоторые примеры связи математики и оригами.

Согласно классическому оригами, объектом складывания является
неразмеченный квадратный лист бумаги без разрезов.

С точки зрения математики, целью оригамиста является точное определение местоположения одной или более точек листа, задающих складки, необходимые для формирования окончательного объекта. Процесс складывания подразумевает выполнение последовательности точно определенных действий по следующим правилам:

Линия определяется либо краем листа, либо линией сгиба бумаги.
Точки определяются пересечениями линий.
Все складки определяются единственным образом путем совмещения
различных элементов листа — линий или точек.
Сгиб формируется единственной складкой, причем в результате
складывания фигура остается плоской.

Последний пункт сильно ограничивает возможности складывания, разрешая только одну складку за раз. На практике даже простейшие модели оригами подразумевают создание нескольких складок за одно действие.

В процессе складывания фигур оригами мы знакомимся с различными геометрическими фигурами: треугольником, квадратом, прямоугольником и так далее. Учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике.

Американский педагог Ф. Фребель уже в середине XIX века заметил геометрическую особенность оригами и ввел его как учебный предмет в школе.

Идеи Фребеля и сегодня очень интересны. Поэтому не удивительно , что в наши дни оригами продолжает играть определённую роль в развитии и воспитании. Оригами способствует активности, как левого, так и правого полушарий мозга, так как требует одновременного контроля за движениями обеих рук.

Одна из таких задач это деление исходного квадрата без предварительных чертежей и измерений. Как это сделать, не прибегая к карандашу? Например, как разделить квадратный лист бумаги на три равные части? (См. Приложение 4)

Заключение.

Как наглядное средство лист бумаги применяется в обучении математике с давних пор. Но на уроках математики важно не то, какую фигурку вы сложили из бумаги, а наоборот. Разверните любую бумажную поделку. Линии сгиба образовали треугольники, квадраты, четырехугольники…К тому же, разворачивая поделку, можно наблюдать преобразование пространственной фигуры в плоский лист бумаги. А значит, упражнения с листом бумаги позволяют знакомиться с различными геометрическими фигурами и изучать их простейшие свойства.

Исходя из всего вышеизложенного мною, я могу сделать выводы:

искусство оригами тесно связано с математикой и помогает ее изучать;
данная тема представляет большие возможности для проявления исследовательских и творческих умений при решении задач.

Гипотеза, которую я ставила в начале работы «Математика - это одна из сторон оригами и наоборот, оригами является одной из направляющих математики», подтвердилась.

Мне было очень интересно работать над данной темой. В дальнейшем я продолжу свою работу, так как это мне поможет находить новые способы решения некоторых задач, а также при изучении геометрии в 7 классе.

Некоторые ребята из моего класса заинтересовались оригами, и я провела для них мастер – класс. Мы вместе создали подарок нашим мамам ко дню 8 марта. (См. Приложение 5)

Список литературы.

1. Выгонов В.В. Трехмерное оригами.- М.: Издательский Дом МСП, 2007

2. Ильина Н.К. Оригами. Необычные модели для развития фантазии.-М.:РИПОЛ классик, 2012

3. Сержантова Т.Б.Оригами. Лучшие модели / Т.Б. Сержантова . – М.:Айрис-пресс, 2010

4. Эм Г.Э. Путешествие в страну Оригами. Пособие для учителей и родител

5. Юрина Н. Г. . По книге “Я познаю мир”, 2004

6. //Математика в школе//№9, 2011

7. //Математика. Все для учителя! //№11(35), 2013

8. Интернет-ресурсы:

http:// www.origami – do.ru

http:// www.origami .ru

Приложение 1

Основные условные обозначения

Приложение 2

Простые базовые формы

Книга

Треугольник

Дверь

Воздушный

змей

Средние базовые формы

Блин

Рыба

Двойной

треугольник

Двойной

квадрат

Сложные базовые формы

Птица

Катамаран

Лягушка

Приложение 3

Связь базовых моделей оригами с математическими понятиями.

Базовая модель

Математические понятия

« Книга»

Линия, квадрат, прямоугольник, деление листа на две равные части, прямой угол.

«Треугольник»

Квадрат , диагональ , треугольник, равные углы.

«Блин»

Квадрат, диагональ, угол, центр, треугольник.

«Дверь»

Квадрат, деление листа на две и четыре равные части.

« Дом»

Квадрат, деление листа на две, четыре, восемь равных частей, треугольник.

Приложение 4

Способ деления квадрата на три одинаковые части

Приложение 5

Обучение математике с модульным оригами

Несколько лет назад мне посчастливилось побывать на семинаре Рэйчел МакАналлен (она же мисс Математика) об обучении геометрии с помощью забавного и тактильного метода: оригами! С тех пор знакомство моих учеников с модульным геометрическим оригами является одним из моих любимых учебных моментов каждый год. Математика оригами дает моим тактильным и пространственно одаренным ученикам шанс проявить себя, помогает ученикам определять последовательность и следовать указаниям, а также представляет собой интересный способ познакомить с широким кругом терминов и концепций геометрии.

Я НИКОГДА не создавал оригами до вышеупомянутого двухчасового семинара. Вам совершенно не нужно быть талантливым мастером оригами, чтобы проводить эти уроки со своими учениками. С помощью простых советов ниже и нескольких минут практики вы будете готовы провести своих учеников через математический опыт оригами, который заставит их требовать большего. (Вот тогда вы можете передать им книгу оригами и попросить их разобраться!)

Я был переполнен гордостью, создав свой первый скелетный октаэдр."Учащиеся испытывают такое же чувство выполненного долга, когда завершают свои конструкции оригами.

Что такое Модульное оригами?

Модульное оригами - это причудливое название геометрического оригами, которое состоит из множества повторяющихся «единиц», которые затем собираются для создания более сложной геометрической формы. В отличие от традиционного оригами, в котором для складывания фигуры используется один лист бумаги, в модульном оригами используется множество листов, которые складываются в базовые модули или единицы.Когда вы узнаете, как сделать базовую единицу для дизайна, вы повторяете процесс, чтобы сделать достаточное количество копий единицы для сборки окончательной формы. (Чтобы ознакомиться с некоторыми проектами модульного оригами, посмотрите , мою доску Pinterest .)

Хотя процесс создания единиц повторяется, я считаю, что многим ученикам он нравится как успокаивающий, почти медитативный процесс. Я часто представляю это упражнение прямо перед стандартными тестами, потому что повторяющиеся складывания успокаивают некоторых студентов и дают им целенаправленный актив для нервных рук.У меня всегда есть несколько учеников, для которых складывание блоков - это рутинная работа. Я объединяю этих студентов, чтобы разделить и преодолеть сложную работу, а затем собрать общий конечный продукт. У меня было так много учеников, которые почти одержимы складными элементами - они приносят бумагу для оригами на обед и перемены (особенно в дождливые дни), чтобы сэкономить время на складывание.

Студент демонстрирует свое первое модульное творение оригами: кубики сонобе. (Смотрите видеоурок ниже, чтобы сделать эти простые кубики.)

Какие расходные материалы нам понадобятся?

Я покупаю для своих учеников очень недорогую бумагу для оригами, так как мы изучаем ее довольно много, например, , эта упаковка из 500 листов размером 6 x 6 дюймов . Я держу под рукой пачку или две более красивой бумаги для специальных проектов, над которыми берутся отдельные ученики. Цветная бумага для копировальных аппаратов, разрезанная на квадраты, также хорошо подойдет.

Единственные другие принадлежности, которые вам понадобятся, - это палочка для мороженого и сумка Ziploc для каждого ученика.Учащиеся используют палочки для мороженого, чтобы вдавить «хрустящие складки» на бумагу, и сумку, чтобы удерживать все свои блоки, прежде чем они соберут модули в окончательный дизайн.

Как включить математику в оригами?

Математика происходит полностью в ходе обсуждения, когда вы помогаете студентам создавать модуль / блок. Я сажаю всех своих студентов и ОЧЕНЬ медленно прохожу пошаговый процесс создания первого модуля дизайна.Я моделирую процесс с помощью документ-камеры, и у меня есть несколько студентов-экспертов, которые помогают другим студентам, которые застряли. (Я предварительно обучаю этих студентов-экспертов процессу складывания, чтобы они были моими помощниками.)

Перед, во время и после каждого сгиба мы обсуждаем формы, которые мы вдавливаем в бумагу, мы классифицируем углы, и я предлагаю студентам назвать каждый шаг, чтобы помочь им запомнить последовательность складывания бумаги. Таким образом, ученики могут помнить, что «большая трапеция появляется после двойного шага горизонтального прямоугольника.«Складывая складки при обсуждении геометрии, учащиеся с большей вероятностью запоминают геометрию с большим словарным запасом; они создают кинестетические ассоциации, соответствующие геометрическим терминам.

Два моих студента-эксперта демонстрируют свои икосаэдры. Расширение прав и возможностей этих ребят для помощи своим сверстникам не только помогает укрепить их уверенность в себе, но и означает, что учащиеся, испытывающие трудности, получают своевременную практическую поддержку.

Как начать работу с модульным оригами?

В кубе сонобе используется очень простой модульный элемент оригами: метко названный блок сонобе.Для этой конструкции, как куба с шестью гранями, требуется шесть единиц. Это довольно короткий проект. Студенты могут почувствовать модульное оригами, не создавая десятки единиц для одного проекта. А кубики Sonobe собирать так весело! Вы можете найти множество онлайн-уроков по Sonobe cube или проследить за моим видео ниже. Кроме того, после того, как ваши ученики освоили куб Sonobe, они могут использовать одни и те же единицы для создания октаэдров и икосаэдров.

Что нам делать после нашего первого проекта?

После того, как вы научите своих учеников делать куб Sonobe (и, возможно, другие формы Sonobe), вы можете помочь им в еще одном проекте.Восьмиугольник-звезда - еще один фаворит, потому что это трансформирующаяся форма - окончательный дизайн превращается из звезды в восьмиугольник и обратно. Для второго проекта я даю письменные инструкции, но все же шаг за шагом прохожу их через процесс. Я прошу учащихся обратиться к письменным указаниям (и схемам), чтобы они могли научиться самостоятельно следовать указаниям оригами.

Студенты, которые поймали ошибку модульного оригами, будут настолько мотивированы после изучения первых двух проектов, что они, вероятно, захотят придумать другие конструкции оригами.Я предоставляю корзину модульных книг оригами и распечаток, которые они могут просмотреть, чтобы выбрать другие проекты. В этот момент я отступаю и позволяю своим ученикам стать опытными мастерами оригами - их навыки вскоре превзойдут мои базовые, и я очень счастлив взять на себя роль благодарного наблюдателя.

Если вы попробуете модульное оригами в своем классе, я буду рад услышать об этом! Свяжитесь со мной в Twitter или Facebook, или оставьте мне комментарии или вопросы ниже.

Год назад: «Подразделение S.O.S .: что делать с остатками»

Два года назад: «Классные поделки по случаю китайского Нового года»

Три года назад: «Четыре способа узнать о Линкольне»

Четыре года назад: «Вспомнить все: помочь нашим ученикам запомнить факты умножения»

Оригами и математика

Итак, вы интересуетесь оригами и математикой ... возможно, вы учитель математики средней школы или K-8, или ученик математики делает отчет по предмет, или, может быть, вы всегда интересовались обоими и никогда не делали связь, или, может быть, вам просто любопытно. Оригами действительно есть много образовательных льготы. Если вы студент, учитель или просто случайный серфер, я изо всех сил старался ответить на ваши вопросы, поэтому, пожалуйста, прочтите на.

CheapWritingHelp.com - письменный сервис по доступным ценам - это доступны 24/7 онлайн, чтобы предоставить студентам индивидуальные эссе, научные работы и диссертации по математике.

Так как же именно оригами и математика связаны друг с другом? В связь с геометрией ясна и вместе с тем многогранна; сложенная модель одновременно и произведение искусства, и геометрическая фигура.Просто разверните и возьмите смотреть! Вы увидите сложный геометрический узор, даже если модель вам в сложенном виде был простой. Начинающий изучающий геометрию может захотеть выяснить типы треугольников на бумаге. Какие углы можно увидеть? Какие формы? Как эти углы и формы попали туда? Вы знали что вы складывали эти углы или формы во время самого складывания?

Например, когда вы складываете традиционную основу водяной бомбы, вы создали узор сгиба из восьми совпадающих прямоугольных треугольников.В традиционная основа для птиц создает рисунок складок с множеством других треугольники и все перевернутые сгибы (например, та, что создает птичий шея или хвост) создает еще четыре! Любая основная складка имеет связанный геометрический узор. Возьмите складку для сквоша - когда вы сделаете эту складку и посмотрите по образцу складки вы увидите, что вы разделили угол пополам, дважды! Можете ли вы придумать похожие отношения между складкой и что-то знаешь по геометрии? Вы можете почерпнуть еще больше идей из этого презентация по Оригами: В создании геометрии в классе.

С другой стороны, если вы любитель головоломок, несколько отличных оригами проблемы, которые вы могли бы наслаждайтесь попытками решить. В этих головоломках нужно сложить лист бумаги так, чтобы возникают определенные цветовые узоры, или форма определенной области полученные результаты. Но продолжим с узорами складок ...

Оригами, геометрия и теорема Кавасаки

Более продвинутый студент или учитель геометрии может захотеть более подробно изучить взаимосвязь между математикой и оригами.Вы можете взглянуть на эту геометрию упражнения, чтобы получить вас начал. Например, традиционный кран (или другой комплект диаграмм) в разложенном виде дает узор складок, по которому мы можем многому научиться. Укажите точку (вершину) на шаблоне складки. Сколько складки берут начало в этой вершине? Возможно ли плоское оригами модель должна иметь нечетное количество складок, выходящих из вершины на ней узор складки? Как насчет отношений между горой и долиной складки? У вас может быть вершина только со складками долины или только гора? складки?

Как насчет углов вокруг этой точки? Вы действительно можете произвести впечатление ваш учитель (или ваши ученики) с этим... конечно, нужно понимать это первый! Существует Теорема называется КАВАСАКИ ТЕОРЕМА , которая гласит, что если углы, окружающие единственная вершина в плоском шаблоне складки оригами - это ₁, а ₂, а ₃, ..., а _2н, затем:

а ₁ + а ₃ + а ₅ + ... + a _2n-1 = 180

а ₂ + а ₄ + а ₆ + ... + a _2n = 180

Другими словами, если вы сложите угловые измерения каждого другого угол вокруг точки, сумма будет 180. Попробуйте и убедитесь!

Вы видите, что это правда, или, что еще лучше, можете это доказать?

Прямой край и компас против оригами и аксиомы Хузиты

Хотя о шаблонах складок нужно многое понять, само оригами - это процесс складывания бумаги, который математически может следует понимать с точки зрения геометрической конструкции.Самый известный конструкция представляет собой конструкцию "прямой край и компас", которая относится к геометрическим операциям, которые могут быть образованы только этими двумя инструменты (обратите внимание, что линейка , а не линейка с разметкой длины). Как известно, конструкции SE&C могут быть охвачены (без каламбура) четырьмя основными аксиомами, впервые определенными Евклидом, более 2000 лет назад. Также хорошо известно, что есть некоторые операции, которые невозможны при наличии только линейки и компас.Две такие операции - это деление угла на три части и удвоение куба. (нахождение кубического корня из 2).

Но вернемся к конструкции оригами ... конструкция оригами определяется как те геометрические операции, которые можно образовать, сложив кусок бумагу, используя необработанные края и концы бумаги, а также любые последующие линии и точки сгиба, созданные при складывании. Что такое завораживает то, что конструкция оригами, хотя на первый взгляд может показаться менее мощный, чем SE&C, на самом деле более мощный, что позволяет трисекция угла, а также удвоение куба.В математик Хумиаки Хузита разработал шесть аксиом (а позже и седьмую) на основе конструкции оригами. Я не буду здесь вдаваться в подробности, так как ниже приведены ссылки на несколько сайтов, которые очень тщательно описания Аксиом Хузиты:

Аксиомы Хузиты, любезно предоставлено Википедией
Обзор Оригами Тома Халла и геометрическое построение, которое дает отличные описания и упражнения для 5-й и 6-й аксиом, а также описания как разрезать угол и удвоить куб с помощью складывания
Страница Коширо Хатори о строительстве оригами описывает Шесть аксиом Хузиты, а также седьмая аксиома, которую Хатори-сан обнаружил!
Кристиан Лавуа разработал вычислительную модель оригами для курс вычислительной геометрии в Университете Макгилла в 2002 г.В виде фон для этого проекта она предоставляет аксиомы оригами вместе с графики и уравнения.

Что особенно замечательно во всем этом, так это то, что эти аксиомы не только теоретические - они были реализованы на практике! Роберт Лэнг программа оригами, ReferenceFinder, использует все семь аксиом. ReferenceFinder - это программа, которая находит последовательности складывания, чтобы приблизительно найти любую точку квадрата с помощью небольшое количество складок.

Оригами и топология

Изучение оригами и математики можно классифицировать как топология, хотя некоторые считают, что она более тесно связана с комбинаторика, а точнее теория графов. Я дам пример теоремы оригами, которую можно увидеть с обеих точек зрения посмотрим, но сначала немного о топологии.

Связь с топологией менее ясна, чем связь с геометрией, вероятно потому, что большинство людей гораздо менее знакомы с это поле.Если вы студент, изучающий оригами и математику, вы может снова произвести впечатление на вашего учителя, показывая, что вы знаете, какая топология есть, и как это связано с оригами.

Итак, что такое топология? Вот короткое и своеобразный ответ, но вы действительно должны прочитать Нила Подробный ответ Стрикленда с фотографиями. Важно, чтобы вы понимать, что геометрия и топология очень разные. Топология иногда называют «геометрией резинового листа», что означает, что в топологии растягивание объекта или изменение его формы не повлияет на него (пока поскольку вы не делаете дыр и не заделываете дыры).Топологу, чашка кофе и пончик - это одно и то же, а геометр видит их как полностью отличается.

Если вы прочитали ответ Нила, то заметили, что он упомянул метро. карта, которая представляет собой просто сеть точек, соединенных линиями, как оригами складки! Нам может помочь изучение выкройки складок оригами узнать о сетях, таких как метро и телефонные сети, и о том, как сделать их быстрее и эффективнее. Но не верьте мне на слово.Томас Халл, доцент математики в колледже Мерримак в г. Северный Андовер, Массачусетс, является экспертом в области оригами и топология. Том в настоящее время преподает курс комбинаторной геометрии, и вы можете просмотреть программу курса и задания. Если вы хотите провести более глубокое исследование в это поле, первым делом вам нужно связаться с Томом. Его Веб-сайт был даже упомянутый в рассказ на ABCnews.com!

Теперь вернемся к теореме оригами, о которой я упоминал ранее. можно увидеть с двух точек зрения.

Теорема: Каждый плоский складной узор сгиба можно раскрасить в 2 цвета.

Другими словами, предположим, что вы сложили модель оригами, которая лежит плоский. Если полностью развернуть модель, то рисунок складки, который вы увидит имеет особое свойство. Если вы хотите раскрасить регионы ваш узор складки с разными цветами, чтобы не было двух граничащих областей того же цвета, только у вас нужно два цвета .Это может напомнить вам о знаменитом картографе проблема: какое наименьшее количество цветов нужно для раскраски стран на карте (опять же, чтобы две соседние страны не совпадали цвет)? Это известно как Четыре Теорема о цвете, поскольку ответ - четыре цвета. Как интересный Кроме того, эта теорема была доказана в 1976 году американскими математиками Аппелем. и Хакен с помощью компьютера проверил тысячи различных случаев участвует. Ты можешь научиться если хотите, подробнее об этом доказательстве.

Но вернемся к нашей теореме . Вы видите, что вам нужно всего два цвета, чтобы раскрасить складку? Пытаться это сами! Вы увидите, что все, что вы сбрасываете (пока оно лежит плоский) потребуется всего два цвета для раскраски областей на его складке шаблон.

Вот простой способ увидеть это: сложите что-нибудь плоское. В настоящее время раскрасьте все области, обращенные к вам, красным, а те, которые обращены к стол синий (не забудьте покрасить только одну сторону листа).Когда ты разверните, вы увидите, что у вас правильная 2-раскраска!

Предупреждение ... этот раздел становится еще сложнее! Более строгий Доказательство выглядит следующим образом: сначала покажите, что каждая вершина в вашей складке узор имеет четную степень (степень - это количество выходящих складок каждой вершины - мы обсуждали это ранее!). Тогда вы знаете складку pattern - это эйлеров граф, то есть граф, содержащий путь, начинается и заканчивается в одной и той же точке и проходит вдоль каждого края (например, путь называется эйлеровым циклом). Не попробуйте доказать это, если вы не опытный математик! Наконец, хорошо известно, что эйлеровы графы 2-раскрашиваемы.

Хммм ... Я начал с обещания результата, который можно рассматривать как как комбинаторные, так и топологические. Мы поняли? Что ж, результат очевидно комбинаторный, поскольку это теория графов. Как результат топологический? Что ж, 2-раскраска дает нам простой способ определение ориентации каждой области, которую мы раскрашиваем.Все регионы окрашенные в синий цвет будут направлены вверх (или вниз), а все области, окрашенные в красный цвет будет смотреть в противоположную сторону. Попытайся! На этот раз сложите модель, разверните и раскрасьте области сгиба красным и синим. Теперь переверните модель и убедитесь сами!

Другие ресурсы

Большинство людей не осознают, сколько информации по этой теме математики и оригами.На сайте опубликованы книги и статьи. тема, презентации, а также международная конференция называется «Международное собрание науки и техники оригами». В Фактически, многие создатели и авторы оригами здесь, в США и за рубежом математики, физики и другие ученые. Я думаю о такие люди, как Роберт Ланг, Дзюн Маэкава, Тошиказу Кавасаки и Томас Корпус. Еще одна математическая фигура оригами без формальной математики обучение Крис Палмер (также см. статья про Криса), создателя цветка башня (см. рисунок).

Что касается книг, то первое, что приходит в голову - это набор книг. Рона Гуркевиц и Беннетт Арнштейн: 3D Геометрическое оригами: Модульные многогранники , Модульные Оригами Многогранник , и только что опубликованный в 2003 году, Multimodular Оригами Многогранники: Архимеды, Бакиболлы и Двойственность. Ты можешь научиться больше о работе профессора Гуркевица, а также посмотреть галереи, ссылки и многое другое.

Еще несколько книг по оригами, в которых обсуждается связь с математика Оригами Омнибус от Кунихико Касахара (ISBN 0-87040-699-x), Оригами от Angelfish до Zen - пользователем Питер Энгель (ISBN 0-486-28138-8), Easy Оригами , авторы Гей Меррилл Гросс и Тина Вайнтрауб, и математика in Motion: Origami in the Classroom K-8 Автор: Барбара Перл (ISBN 0-9647924-3-5).Веб-сайт Math in Motion даже включает образец плана урока для педагогов. Если учить классы К-8, то это книга может быть тем, что вы искали.

Первая книга, которую я упомянул, Оригами. Омнибус обсуждает темы такие как складывание изоплощади, золотой прямоугольник, складывание обычного пятиугольник из квадрата и теорема Кавасаки. Книга закончилась распечатать, но вы, вероятно, можете получить его в местной библиотеке или через межбиблиотечный абонемент.

В следующем «Оригами от рыбы-ангела до дзен» есть замечательная введение под названием "Преодоление пропасти", в котором обсуждаются отношения между оригами и такими темами, как М.С. Эшер, философия дзен, фракталы и хаос, музыка и искусство. Отличное введение в оригами и математика. Эта книга должна быть доступна на таких сайтах, как Amazon.com, Sasuga. Книжный магазин и увлекательный Складки.

Легкое оригами , автор Гей Меррилл Гросс и Тина Вайнтрауб (ISBN 0-590-53549-8) - рабочая тетрадь проектов для учителей K-6, многие из которых содержат базовую математику.

Я также много слышал о Paperfolding, Веселый и эффективный метод изучения математики . У него хороший Интернет сайт, который стоит проверить.

Еще одна недавняя книга - Математическая. Оригами Дэвида Митчелла (ISBN 1-899618-18-X). Известен своим модульные конструкции и скульптуры, Дэвид дает в этой книге инструкции для платоновых тел и их вариантов, а также других геометрических формы, такие как кольца, звезды, ромбические формы, а также скелет и контур твердые тела.

Вы можете найти список других книг по оригами по математике на сайте Tom Библиография оригами Халла

В Интернете также есть множество отличных мест для начала Ищу. Том Сайт Hull's Origami Math, о котором я уже упоминал раз, это исчерпывающий ресурс в Интернете по оригами и математика. Том Халл проделал довольно продвинутую работу в этой области. Его работы по оригами-математике появились в MAA. (Математическая ассоциация Америки) журналы.Он писал на такие темы, как конструктивность оригами против линейки / компаса. конструктивность и оригами и топология.

Я также могу рассказать вам о Елене Страница оригами Веррилла, на которой есть информация о модульном оригами, мозаики оригами и задачи мозаики оригами-математики, а также другие задачи оригами-математики, такие как трисекция угла и периметр проблема. Отличный материал для школьного проекта!

Еще одна интересная страница (особенно если вам нравятся фракталы) - это Jeannine Визитная карточка Мозли - проект Menger Sponge, цель которого построить модульную губку Менгера для оригами глубины 3 из 66048 визитки.

Недавнее добавление в Интернет - Кристина. Галерея оригами Бурчика, в которой представлены модульные элементы, обычные многогранники и полуправильные многогранники. Здесь можно многому научиться; как может ли школьный отчет со словом «ромбикосадодекаэдр» получить плохой оценка?

У Wolfram Research есть страница об оригами и математике, которые содержит изображения, перечисляет аксиомы Хузиты и предлагает много дополнительных Рекомендации.

Еще один отличный сайт - Geometry Свалка, которая предоставляет ряд ссылок на различные темы в оригами и математика.

Наконец, если вы все еще жаждете большего, проверьте Тома Ссылки Hull's Origami Math. Когда вы закончите работу с этими сайтами, у вас должно быть много отличных идей для этого отчета, проекта или урока строить планы!

Надеюсь, это дает вам хороший общий обзор темы оригами и математики.Я буду продолжать обновлять это по мере появления новых веб-сайтов по этой теме. Если у вас есть комментарии или предложения для меня, пожалуйста, напишите мне.

Математика, законы и теория, лежащие в основе шаблонов складок оригами

Знаете ли вы, что складывание бумаги развилось в Китае, Корее и Европе (помимо Японии)?

Знаете ли вы, что искусство складывания бумаги, которое чаще всего ассоциируется с Японией, могло быть изобретено в Китае?

Бумагу создал Цай Лунь, китайский евних и чиновник династии Хань. Примерно в это же время было создано складывание бумаги как вид искусства (или «чжэ чжи», «складывание бумаги» на китайском языке).

Складывание бумаги играет важную роль в китайских церемониях, особенно на похоронах. Золотые самородки, или юань бао, создавались из бумаги, а затем использовались в качестве священного ритуала, зажигаемого во время похорон.

В конце концов, китайцы, возможно, познакомили японцев с этим видом искусства.

Фактически, именно японские буддийские монахи в дальнейшем поделились этим видом искусства с японцами.

Первоначально известное как «оритака» (складчатые формы по-японски), складывание бумаги использовалось в синтоистских церемониях и из-за высокой стоимости бумаги было предназначено только для элиты.

В 1880 году оритака стала оригами, что в переводе с японского означает «сложенная бумага» - «ори» означает «складка», а «ками» означает «бумага».

В ХХ веке «гроссмейстер оригами» Акира Йошизава помог сделать оригами всемирно известным.

Это, а также доступность бумаги сделали этот вид искусства доступным для масс и помогли продвинуть оригами вперед.

Теперь, когда этот вид искусства получил признание и распространение во всем мире, мы хотим помочь вам стать частью мира оригами и научить читать и складывать складки оригами.

Оригами - это одновременно и искусство, и математика

При обучении чтению и складыванию складок оригами важно сначала понять математические принципы, относящиеся к оригами.

Подумайте об этом так: вы бы не начали читать ноты, если бы не знали фундаментальных основ теории, таких как количество долей в четвертной ноте, количество долей в метре и значение размера.

Математика и математические законы, регулирующие складывание бумаги, составляют значительную часть основ оригами.

Оригами - это одновременно искусство и математика, поскольку это узор из складок.

В частности, в своем выступлении на TED Роберт Лэнг заявил: «Они [оригами] должны подчиняться четырем простым законам… Первый закон - двухцветность. Вы можете раскрасить любой узор складок всего двумя цветами, даже если они не совпадают по цвету ».

Далее он обсуждает второй закон: «Направление складок в любой вершине - количество горных складок, количество складок долины - всегда отличается на два».

По сути, это теорема Маэкавы.

Хорошо, давайте объясним, что говорит Ланг (и теорема Маэкавы).

Горная складка (или горная складка) - это то, на что это похоже - складка, в которой два конца бумаги идут вниз, а складка направлена вверх. Похоже на гору.

Складка впадины (или складка впадины) противоположна. Сгиб внизу, концы бумаги обращены вверх, имитируя лощину.

И, если вы не знаете, вершина - это в значительной степени угол.

Или, если вы хотите все пофантазировать и произвести впечатление на группу людей, это «точка в геометрическом твердом теле, общая для трех или более сторон.”

В основном там, где пересекаются две стороны.

Итак, в оригами вершина - это место, где встречаются складки горы и долины.

И, если вычесть складки гор из складок долины (или наоборот), абсолютная разница будет равна двум. (Не забудьте опустить отрицательные числа.)

Например, 5 горных складок и 3 долины будут точными, поскольку 5-3 = 2.

Однако 6 горных складок и 2 долины не будут работать, потому что 6-2 = 4.

Это правило важно при обучении чтению и складыванию шаблонов складок, поскольку оно может сэкономить вам много времени, пытаясь сложить 6 горных складок и 5 долин, поскольку это невозможно.

Miura Map Fold

Два других правила, о которых говорит Ланг.

Третий закон оригами заключается в том, что сколько бы раз вы ни пытались сложить складки и листы, лист никогда не сможет проникнуть в складку.

(Это правило окажется важным, когда вы научитесь читать и складывать шаблоны складок.)

Это относится к складке карты Miura.

Японский астрофизик Корё Миура создал этот узор из складок оригами, в котором одна форма повторяется снова и снова… и снова.

Для сгиба карты узор представляет собой параллелограмм. Отсутствуют зазоры и листы, выступающие сквозь складки.

Карта Miura в действии

Итак, если вы встретите какие-либо шаблоны складок, которые требуют этого, знайте, что они неправильные, и вы можете перейти к другому шаблону.

И, наконец, четвертый закон гласит, что любой другой угол вокруг вершин составляет 180 градусов.

Это согласуется с теоремой Кавасаки, которая гласит, что в плоской фигуре каждый второй угол в сумме составляет 180 градусов.

Итак, когда вы складываете бумагу, а она смотрит не так, достаньте транспортир и измерьте эти углы.

Помните, оригами - это еще и искусство геометрии и точности.

Что подводит нас к чтению шаблонов складок оригами

Итак, давайте приступим к математике.

Как мы читаем схемы складок оригами?

Простой. План прямо перед вами.

Возьмите журавлика оригами.

Разверните.

Складки - это чертеж.

Вы можете следить за складками, снова загибая бумагу в кран.

Отлично, если у вас уже есть фигурка оригами. Но как насчет того, чтобы создать фигуру из неразвернутой бумаги - как тогда читать узор?

Роберт Лэнг отмечает, что «Традиционные диаграммы оригами описывают фигуру последовательностью складывания - линейной пошаговой схемой развития».

Он продолжает: «Шаблоны складок, напротив, обеспечивают одноэтапное соединение развернутого квадрата со сложенной формой, сжимая сотни складок, а иногда и часы складывания в единую диаграмму!»

Итак, простых пошаговых инструкций, когда дело касается рисунков сгиба, не существует.

Вместо этого есть единый дизайн, заполненный разными линиями, которые представляют изгибы гор и долин.

Ланг заявляет, что на данный момент не существует определенного стиля или ключа для складок гор и долин.

В пошаговом шаблоне штрих-пунктирная линия обозначает горную складку.

И пунктирная линия, иллюстрирующая складку впадины.

Образцы складок могут следовать за этими типами линий.

Некоторые могут иметь два разных цвета, чтобы отличать складки гор от долин.

Сам Ланг использует прямые темные линии для складок гор и цветные пунктирные линии для складок долин.

Кроме того, при чтении схемы складок оригами вы поймете, что создатель не вставил все складки гор и долин.

Так как многие шаблоны складок имеют сотни складок, отображение каждой складки сделает дизайн загруженным.

И может ошеломить читателя.

Вместо этого создается база дизайна.

Создатель оригами может затем, следуя этому базовому шаблону, создать остальные складки для дизайна.

Как складывать схемы складок оригами

Об этом мы упоминали в начале статьи, но стоит повторить.

В образцах складок оригами используются складки гор и долин.

Вершина горной складки направлена вверх.

И вершина направлена вниз складкой впадины.

Просто сложите лист пополам, чтобы повторить это.

И не забывайте о математических принципах оригами.

Если ваше творение выглядит неровным или нечетким, просмотрите математические правила, чтобы увидеть, в чем ошибка, и исправить ее.
Разверните фигурку из бумаги, возьмите два цветных карандаша и раскрасьте узор. Если два цвета совпадают, вы знаете, куда нужно вернуться и исправить это (закон двухцветности).
Посчитайте, сколько складок гор и долин есть на пересечении (вершине). Если разницы не два, значит, нужно отрегулировать складки. (Теорема Маэкавы).
Требует ли узор, чтобы лист проникал сквозь складку? Если да, то это неправильный узор (третий закон оригами).
И если углы не совпадают, достаньте транспортир и начните измерение (теорема Кавасаки).

Оригами изменило наши представления об искусстве, математике и науке. Благодаря оригами у нас теперь есть такие изобретения, как подушки безопасности и сердечные стенты.

Как оригами повлияло на вашу жизнь? Это помогло?

Дайте нам знать, оставив комментарий.

И обязательно ознакомьтесь с нашими бесплатными инструкциями и схемами оригами, чтобы вы могли попрактиковаться.

All Things Origami for Kids

Я вернулся с очередным постом для серии A – Z STEM for Kids , организованной Little Bins for Little Hands. Каждый день блоггеры будут изучать концепции науки, технологий, инженерии и математики, начиная с A и заканчивая Z. Я, конечно, превращаю STEM в STE A M, добавляя в свои сообщения A rt.

Я уже писал о C oding for Kids, а сегодня я берусь за «O для оригами».

Когда я размышлял над идеями для сериала, я недавно посмотрел действительно крутой документальный фильм на PBS под названием Between the Folds об Оригами.

Я нашел этот документальный фильм невероятно завораживающим. Вы просто не поверите, что эти художники могут произвести на одном (огромном) листе бумаги. Мало того, что эти мастера оригами были полностью, непостижимо крутыми, были созданы не только произведения искусства, но и было действительно удивительно видеть все связи Оригами со сферами науки, математики, инженерии и технологий STEM.

Определение и история оригами

Оригами - это искусство складывания бумаги, зародившееся в Японии еще в конце 17 века.Классическое оригами обычно состоит из одного листа бумаги (без разрезов), который сложен с помощью ряда стандартных складок оригами для создания замысловатых дизайнов. Оригами сейчас практикуют во всем мире, и в 21 веке оно достигло новых высот (см. Видео TED Talk ниже).

Моя любимая традиция оригами - это легенда о тысяче бумажных журавликов. Говорят, что если тот, кто сложит тысячу бумажных журавликов, получит желание или удачу. В одном из наших местных художественных музеев здесь, в Далласе, Crow Collection of Asian Art, есть (или уже давно я не был) коридор с тысячей бумажных журавликов, сложенных школьниками, и он такой веселый и красочный.

Легенда добавила значимости истории молодой девушки Садако, которой было 3 года, когда атомная бомба упала всего в миле от ее дома в Хиросиме, Япония. После того, как в 12 лет у Садако диагностировали лейкоз, она начала складывать бумажных журавликов, чтобы победить рак. До своей смерти она смогла сложить только 644 журавля. Вы можете прочитать о ее истории в классической детской книге «Садако и тысяча бумажных журавликов».

STEM-приложения оригами

художников-оригами были приглашены для работы во многих областях, чтобы поделиться своим опытом.Часто оригами приходит на помощь, когда инженерам нужно придать чему-то компактную форму, чтобы превратить это во что-то или где-нибудь, чтобы они могли расширить его в месте назначения. Вот только пара, которую я нашел. Ссылки приведут вас к статье, в которой я нашел информацию, если вы хотите узнать больше.

Origami Creations

Мы хотели бы знать, что делают люди оригами! Это может быть дизайн с этого сайта или вообще где угодно ... это может быть даже ваше собственное изобретение! Пожалуйста, поделитесь тем, что вы сделали, и приложите фотографию, если она у вас есть!

Нажмите ниже, чтобы увидеть вклад других посетителей этой страницы ...

Сила оригами | plus.maths.org

Декабрь 2009 г.

Скелет аллозавра , сделанный Робертом Дж. Лангом из 16 неразрезанных квадратов бумаги Wyndstone 'Marble'. Размер: 24 дюйма. Изображение предоставлено Робертом Дж. Лангом.

Когда мне было девять лет, я был мастером оригами. У меня был друг по имени Ким, который на год приехал в Англию из Японии. Пока я показывал Ким некоторые забавные вещи, которые можно сделать в Англии, она научила меня всем классным японским вещам, от рисования мультфильмов из манги до приготовления суши.Конечно, еще одной вещью, которой она меня научила, было оригами - и однажды днем она научила меня делать бумажного журавлика. От этого На мгновение я стал величайшим мастером оригами в мире. По крайней мере, я так думал. Прошло еще пятнадцать лет, прежде чем я осознал, что не являюсь мастером оригами и даже близко не был к нему.

Удивительно, но я был не единственным, кто совершил эту ошибку. Несомненно, на протяжении всей истории было много художников, искренне веривших, что они создали самые лучшие и самые сложные модели оригами.Фактически, только в 20-м веке, с появлением компьютеров, оригами действительно стало популярным.

Краткая история оригами

Хотя оригами в настоящее время является синонимом Японии, первое зарегистрированное упоминание о нем происходит из Китая, где бумага была впервые произведена около 200 г. н.э. как дешевая альтернатива шелку. Искусство складывания бумаги в Китае было известно как Zhezhi и было принесено вместе с бумагой в Японию в VI веке китайскими буддийскими монахами.

Pegasus производства Роберта Дж.Ланг из одного неразрезанного квадрата корейской бумаги ханджи. Размер: 7 дюймов. Изображение предоставлено Робертом Дж. Лангом.

С тех пор

Оригами стал популярным в Японии. Само японское слово «оригами» представляет собой соединение двух меньших японских слов: «ори», что означает складка, и «гами», что означает бумага, и искусство было (и остается) популярным развлечением для японских детей на протяжении многих веков.

И так могло бы остаться, если бы не японский фабричный рабочий по имени Акира Ёсизава, родившийся в 1911 году в семье молочного фермера.Акира получал удовольствие от оригами, когда был ребенком, и, как и большинство детей, он постепенно останавливался, когда становился старше, и находил новые вещи, чтобы занять свое время. Однако, в отличие от большинства детей, он возродил его отношения с оригами, когда ему было чуть за 20. Он устроился на фабрику, обучая младших сотрудников геометрии, и понял, что оригами будет простым и эффективным способом научить своих учеников углам, линиям и формам.

По мере того, как Ёсизава практиковался все больше и больше, он разработал некоторые новаторские методы, такие как «влажное складывание», которое позволило сформировать гораздо более сложные узоры и даже кривые на одном листе бумаги.Его работа положила начало возрождению оригами, с его новыми техниками, которые превратили оригами из странности в вид искусства. По мере того, как создавались все более и более сложные узоры оригами, искусство начало вызывают интерес у математиков, у которых была та же идея, что и у Йошизавы - было огромное пересечение между складыванием бумаги и геометрией. Математическое изучение оригами в конечном итоге привело к новому подходу к двум проблемам, которые уходят своими корнями в другую культуру, на другой континент, много-много лет назад.

Элементы Евклида

Евклид Александрийский был греческим математиком, жившим более 2000 лет назад, и его часто называют отцом геометрии. Книга Евклида Элементы - самый успешный учебник по истории математики и самое раннее известное систематическое обсуждение геометрии.

Евклид знал, что с помощью линейки и циркуля (линейка похожа на линейку без разметки) можно выполнить большое количество геометрических операций, таких как рисование пятиугольника, шестиугольника и круга.В то время это было широко известно, и способность Евклида это отнюдь не была необычной.

Однако то, что сделал Евклид, чего не делал никто другой, - это систематический подход к геометрии. Каждая геометрическая конструкция и каждый математический результат в The Elements выводились шаг за шагом на основе набора из пяти допущений, которые включают основные операции, которые возможны с линейкой и компасом:

Учитывая любые две точки, можно провести прямую линию между ними;
Любой линейный сегмент можно продлевать бесконечно;
Для данной точки и отрезка прямой, начинающегося в этой точке, можно описать круг с данной точкой в качестве центра и заданным сегментом в качестве радиуса;
Все прямые углы равны друг другу;
Учитывая линию и точку P , которая не находится на линии, есть одна и только одна линия, проходящая через P , которая никогда не соответствует исходной линии.

Колибри и труба изготовлены из нескольких листов корейской бумаги ханджи, проволоки и дерева. Размер: 15 дюймов. Изображение предоставлено Робертом Дж. Лангом.

Предположения, известные как аксиомы Евклида , кажутся очевидными, и, действительно, сам Евклид считал их настолько очевидными, что самоочевидными. Но их красота заключается в том, что их можно использовать для построения геометрических доказательств теорем, которые намного сложнее самих аксиом.

Но есть и ограничения евклидовой геометрии. Двумя самыми известными проблемами древности были трисекция угла (деление заданного угла на три равные части) и удвоение куба (построение куба, который имеет ровно вдвое больший объем данного куба). Согласно легенде, жители древнего Делоса столкнулись с последней проблемой, когда оракул в Дельфах посоветовал им удвоить объем своего жертвенника, чтобы предотвратить чуму. Это, однако, оказалось невозможным с использованием только методов Евклида и циркуля, и то же самое касается трисекции угла.Но оказывается, что с помощью оригами можно решить обе задачи! Таким образом, у нас остается поразительная возможность того, что геометрия оригами более мощная, чем геометрия Евклида.

Гений оригами

Так же, как Евклид изобрел аксиомы для плоской геометрии, современные математики Хумиаки Хузита и Коширо Хатори разработали полный набор аксиом для описания геометрии оригами - аксиом Хузиты – Хатори (нажмите здесь, чтобы пропустить аксиомы и увидеть остальную часть статьи ):

Аксиома 1: Учитывая две точки и, существует уникальная складка, которая проходит через обе из них.

Трисекция угла

Седьмая аксиома - ключ как к делению угла на три части, так и к удвоению куба. Начнем с построения уголка. Выполнив шаги, описанные ниже, можно увидеть, как эти простые аксиомы могут позволить папке выполнять операцию, которая ускользнула от Евклида. (Диаграммы любезно предоставлены Робертом Дж. Лэнгом)

Нарисуйте PBC под нужным углом так, чтобы точка B находилась в углу квадрата бумаги.	Сделайте горизонтальный сгиб в любом месте квадрата, определяя линию EF.	Согните линию BC до линии EF и разверните, создав линию GH.	Загните нижний левый угол вверх так, чтобы точка E касалась линии BP, а точка B касалась линии GH.
Не снимая угла, сложите оба слоя, чтобы продолжить складку, которая заканчивается в точке G . полностью до J, затем развернитесь.	Уголок развернуть Б.	Загните по складке до точка J, продолжая ее до точки B. Загните нижний край BC до линии BJ и разверните.	Две складки BJ и BK делят исходный угол КПБ на три равные части.

Если вы попробуете сами, возможно, вы убедитесь, что эта техника работает, но для скептиков вот доказательство.(Примечание: этот метод работает для любого угла менее 90 °. Существуют и другие методы, которые работают для больших углов.)

Удвоение куба

Предположим, вам дан куб с длиной стороны и объемом. Ваша задача - найти длину стороны куба, имеющего объем. Вот как это сделать с помощью оригами. (Диаграммы любезно предоставлены Робертом Дж. Лэнгом)

Сделайте небольшой сгиб до середины лицевой стороны листа.

Сделайте складку в точках соединения A
и C и еще один, соединяющий B и E.Только делайте их острыми там, где
они пересекаются друг с другом.

Загните верхний край по горизонтали вниз
прикоснуться к пересечению складки и развернуть. Затем загните нижний край вверх, чтобы он соприкоснулся с новой складкой, и разверните.

Согните угол C так, чтобы он лежал на линии AB, а точка I - на линии FG.

Точка C делит ребро AB на сегменты. Определите соотношение AC / CB и умножьте его на длину стороны s ₁ исходного куба: в результате получится длина стороны s ₂, которую вы ищете.

Если у вас есть сомнения, вот доказательство того, что этот метод тоже работает.

Это все в третьей степени

Так что же такого особенного в оригами, что дает ему возможность решать эти две классические задачи? Ответ заключается в том, что обе проблемы сводятся к решению кубического уравнения. В случае куба вы ищете такую длину стороны, чтобы

где - объем данного куба.Поскольку, где - длина стороны данного куба, имеем

, что в свою очередь означает, что

Раз уж вы знаете, это действительно вам нужно. И это, вероятно, число, которое мы нашли в построении выше.

Произвольный угол можно разрезать пополам с помощью тригонометрии: записав и применив тригонометрическую формулу для косинуса суммы двух углов, вы получите

Сейчас

Подставляя это в уравнение выше и упрощая, получаем

Решение этого кубика дает возможные значения, из которых вы можете рассчитать.

Оказывается, оригами может не только решить два кубических уравнения, связанных с двумя приведенными выше задачами, но и любое кубическое уравнение , то есть любое уравнение вида

для некоторых,, и. (Вы можете узнать, как это сделать, на сайте Каширо Хатори.) И хотя методы Евклида могут Решите квадратных уравнений геометрически, используя только линейку и циркуль, они не могут решить кубические.

Вычислительное оригами

Одним из пионеров современного оригами, основанного на математике, является Роберт Дж. Лэнг, американский математик и художник оригами.

В 1989 году Лэнг написал статью для журнала Engineering & Science , в которой спросил, сможет ли компьютер когда-нибудь создать модель оригами, которая будет считаться более совершенной, чем созданные людьми. Этот вопрос настолько заинтриговал его, что в 1990 году он решил написать компьютерную программу, которая могла бы это сделать.

Слева: шаблон складки, сформированный TreeMaker , получившаяся основа и готовая модель.Изображение предоставлено Робертом Дж. Лангом.

В течение нескольких месяцев Ланг создал первую версию программного обеспечения, которое он назвал TreeMaker (названный так потому, что фигуры, которые он использовал в качестве отправных точек, напоминали деревья). Программа смогла преобразовать простой рисунок линии или фигурку в план бумажной основы, из которой можно было сложить модель.

В этом контексте основание - это геометрическая форма, которая содержит откидные створки, соответствующие всем придаткам модели оригами.Итак, журавль с двумя крыльями, хвостом и головой образуется из основания с четырьмя створками, а насекомое с шестью ногами, головой и брюшком - из основания с восемью створками.

Гремучая змея сделана из неразрезанного прямоугольника тайской бумаги унрю. Размер: 8 дюймов. Изображение предоставлено Робертом Дж. Лангом.

Сначала TreeMaker был, по словам Лэнга, «не более чем математическим любопытством». Тем не менее, в течение следующих восьми лет, по мере того, как Ланг стал лучше понимать структуру складок, он добавил в программу алгоритмы.К 1998 году TreeMaker был способен создавать полный узор сгиба для самых разных основ оригами.

Сегодня у Ланга есть коллекция из тысяч скульптур оригами. Хотя не все из них были разработаны с помощью TreeMaker , без него некоторые из его самых сложных проектов были бы невозможны. Образы его творений разбросаны по этой статье.

Техника оригами

Хотя некоторые рисунки Лэнга и других поистине поразительны, оригами легко отклонить как просто искусство: красиво, но без применения в реальном мире.Поэтому для меня несколько удивительно узнать, что методы оригами используются в самых разных технологиях, от космических телескопов до автомобильных подушек безопасности.

Ирландский лось изготовлен из одного неразрезанного квадрата корейской бумаги ханджи. Размер: 9 дюймов. Изображение предоставлено Робертом Дж. Лангом.

С тех пор, как космический телескоп Хаббл был запущен на орбиту космическим челноком Discovery в 1990 году, космические ученые работали над его возможным преемником. Родерик Хайд из группы дифракционной оптики Ливерморской национальной лаборатории им. Лоуренса в Ливерморе, штат Калифорния, выдвинул идею о том, что никто не обвиняется в отсутствии амбиций. построил телескоп в сорок раз больше, чем Хаббл.Сам телескоп Хаббл - немалое изобретение, его длина составляет 13 метров, а апертура - 2,4 метра. Телескоп, который предлагал Хайд, будет иметь апертуру почти 100 метров и длину в сотни метров. Сразу возникла логистическая проблема: даже если бы такую вещь можно было спроектировать, как она попала бы на орбиту?

Ответ пришел, когда исследователи поняли, что можно создать складную линзу, которую можно было бы упаковать в космический шаттл. Расстояние между двумя концами телескопа можно было просто достичь, поместив две линзы на орбиту на подходящем расстоянии друг от друга, где отсутствие гравитационной силы позволило бы им оставаться.Сразу видя ссылку с бумагой После сворачивания лаборатория связалась с Робертом Дж. Лангом, чтобы узнать его мнение эксперта.

В течение следующего года с помощью Ланга команда лаборатории сконструировала прототип под названием Eyeglass , диаметр которого составляет пять метров. У фактического преемника Хаббла, космического телескопа Джеймса Уэбба, который будет запущен в 2013 году, есть зеркало, которое складывается в стиле оригами, чтобы его можно было поместить в ракету.

Для применения ближе к дому разработка автомобильных подушек безопасности является еще одним примером использования оригами.Прежде чем подушка безопасности сработает во время аварии, она плотно складывается в отсек рулевого колеса или приборной панели. Инженеры, разрабатывающие подушки безопасности, начинают с моделирования процесса надувания на компьютерах. Для этого им нужен алгоритм, с помощью которого можно «сворачивать» полностью надутая подушка безопасности.

Используя алгоритм из своей компьютерной программы TreeMaker , Ланг смог предоставить инженерам немецкой компании EASi Engineering решение их проблемы складывания.По сути, это должно было представить подушку безопасности в виде серии многоугольников, края которых оставались выровненными во время и после складывания - задача, которую можно было решить с помощью подробного шаблона сгиба, подобного тем, которые Ланг использовал для его модели оригами.

Мастер оригами

Для искусства, такого же старого, как сама бумага, оригами потребовалось поразительно много времени, чтобы раскрыть свой потенциал. Сегодня открываются сотни других приложений, от помощи в создании самосборных роботов до подсказок о том, как белки складываются в точные трехмерные формы в человеческом теле.Потребовалось почти две тысячи лет, и на рождение компьютера осознайте, насколько это возможно, и творения Лэнга свидетельствуют о том, как далеко мы продвинулись.

Богомол , сделанный из одного неразрезанного квадрата бумаги. Размер: 4 дюйма. Изображение предоставлено Робертом Дж. Лангом.

Невероятные применения оригами положительно положили конец моим ранним иллюзиям величия и убеждению, что я покорил мир оригами в девять лет с помощью бумажного журавлика.Однако для новичка в оригами радость от открытия того, что вы можете сделать такую элегантно простую форму из одного листа бумаги и нескольких складок, может заставить любого подумать, что они мастер оригами. Продолжайте, я призываю вас попробовать - я гарантирую, что вы будете зацеплены.

Об авторе

Лиз имеет степень биологии и в настоящее время учится на магистра наук в области коммуникации в UWE в Бристоле. Она также работала в телекомпании, посвященной дикой природе, а в свободное время любит смотреть «Остролистные дубы» и играть с жуткими ползучими насекомыми.

Каталог

Математика оригами это

ИСКУССТВО ОРИГАМИ И МАТЕМАТИКА

ИСКУССТВО ОРИГАМИ И МАТЕМАТИКА

Оригами -это математика исследовательская работа

Оригами и математика | Статья в журнале «Юный ученый»

Исследовательская работа "Оригами - это математика?"

Проект «Оригами и математика» | Творческие проекты и работы учащихся

Подробнее о проекте:

Оглавление

Введение

История оригами

Виды и техники оригами

Простое оригами

Мокрое оригами

Модульное Оригами

Складывание по развёртке

Наноригами

Киригами

Оригами – это математика

Взаимосвязь основ оригами и математики

Головоломки и оригами

Заключение

Список литературы

Исследовательская работа по математике на тему "Оригами и математика"

Обучение математике с модульным оригами

Что такое Модульное оригами?

Какие расходные материалы нам понадобятся?

Как включить математику в оригами?

Как начать работу с модульным оригами?

Что нам делать после нашего первого проекта?

Оригами и математика

Оригами, геометрия и теорема Кавасаки

а 1 + а 3 + а 5 + ... + a 2n-1 = 180

а 2 + а 4 + а 6 + ... + a 2n = 180

Прямой край и компас против оригами и аксиомы Хузиты

Оригами и топология

Другие ресурсы

Математика, законы и теория, лежащие в основе шаблонов складок оригами

Оригами - это одновременно и искусство, и математика

Два других правила, о которых говорит Ланг.

Что подводит нас к чтению шаблонов складок оригами

Как складывать схемы складок оригами

All Things Origami for Kids

Определение и история оригами

STEM-приложения оригами

Origami Creations

Сила оригами | plus.maths.org

Краткая история оригами

Элементы Евклида

Гений оригами

Трисекция угла

Удвоение куба

Это все в третьей степени

Вычислительное оригами

Техника оригами

Мастер оригами

Об авторе

Смотрите также

а ₁ + а ₃ + а ₅ + ... + a _2n-1 = 180

а ₂ + а ₄ + а ₆ + ... + a _2n = 180