Оригами и математика исследование

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА "ОРИГАМИ И МАТЕМАТИКА"

Халиуллин Т.Т. 1

1МБОУ СОШ N 2 г.Туймазы

Шайхуллина Г.Ф. 1

1МБОУ СОШ N°2 г.Туймазы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Искусство оригами увлекло меня два года назад. Первоначально мы вместе с мамой складывали несложные фигуры из бумаги, затем фигуры становились сложнее. Конечно, это было не обучение, а игра – волшебное превращение простого листочка в игрушку. Оригами – это идеальный конструктор, который состоит из одной детали (листа), с помощью которой создается бесконечное разнообразие форм, складываются тысячи и тысячи разных фигурок.

Актуальность.

Оригами – удивительное искусство бумажной пластики. Сегодня множество людей во всем мире увлекаются искусством «оригами». Бумажные фигурки делают и взрослые и дети, художники и конструкторы. Я заметил, что, складывая фигурки оригами, сталкиваюсь с математическими понятиями. Мне стало интересно, как связаны таинственное искусство складывания фигурок из бумаги оригами и давно интересующая меня математика.

Цель работы. Расширение знаний об истории развития оригами, выяснение, каким образом математика проявляется в оригами.

Задачи.

Изучить понятие, историю происхождения, виды оригами;
Исследовать связь математики и оригами на примере модульного оригами;
Научить одноклассников создавать различные фигуры в технике модульного оригами и заинтересовать их данной работой;
Разработать буклет для одноклассников с описанием последовательности выполнения фигуры павлина в технике «Модульное оригами».

Объект.

Оригами в математике.

Предмет исследования.

Модульное оригами.

В процессе изготовления фигур оригами я открыл для себя удивительное явление: из плоского листа бумаги появляется объемная фигура. Если развернуть фигурку оригами, и посмотреть на складки, то можно видеть множество многоугольников. И здесь я столкнулся с математическими понятиями и подумал, что с помощью оригами, можно показать, что математика не скучная наука, а красота и гармония.

Так появилась гипотеза: искусство оригами тесно связано с математикой и может стать хорошей основой для ее изучения.

Методы исследования.

Поиск и анализ информации в Интернете, библиотеке, практическая работа, описание, обобщение, фотосъемка.

Глава 1. Теоретическая часть.

1.1. История оригами

Знакомство с оригами следует начинать с древней истории. Именно там, в Древнем Китае, в 105 году нашей эры появились первые предпосылки для возникновения оригами - искусства складывания любых фигурок из квадратного листа бумаги без использования ножниц и клея.

Первые листочки бумаги, сложенные в необычные фигурки, появляются сначала в монастырях. Фигурки из бумаги имели символическое значение. Они становились участниками религиозных церемоний. Украшали стены храмов.

Со временем оригами стало придворным искусством. Им могли заниматься лишь избранные, так как бумага была редким и весьма дорогим материалом. Японцы использовали бумажные фигурки для того, чтобы передать то или иное послание другому человеку. Например, записки, сложенные в форме бабочки, журавля или цветка, были символом дружбы и доброго пожелания. Только человек, владеющий искусством оригами, может аккуратно развернуть и прочитать послание, не предназначенное для посторонних глаз. Умение складывать стало одним из признаков хорошего образования и изысканных манер. Различные знатные семьи использовали фигурки оригами как герб и печать. Далее бумага перестает быть предметом роскоши, и оригами начинает распространяться и среди простого народа. Именно тогда, триста – четыреста лет назад, изобретается ряд фигур, которым суждено было стать классическими. Среди них и японский журавлик «цуру» – традиционный японский символ счастья и долголетия, а теперь и международный символ свободы и мира.

Однако настоящее революционное развитие оригами началось только после Второй мировой войны, главным образом благодаря усилиям всемирно признанного теперь мастера Акиры Йошизавы. Акиро Йошизава работал на машиностроительной фабрике, где помимо основной работы ему поручили учить новичков читать чертежи. При этом он начал активно использовать оригами, объясняя с помощью складывания азы геометрических понятий. Эти занятия имели успех и вызывали неподдельный интерес. Он изобрел сотни новых, ранее неизвестных фигур. Он не только доказал, что искусство складывания может быть широко применимо на практике, но и способствовал его распространению. С помощью изобретенных им несложных условных знаков процесс складывания любого изделия оказалось возможным представить в виде серии рисунков - чертежей.

Новый поворот в истории оригами тесно связан со страшной трагедией, произошедшей 6 августа 1945 года, когда была сброшена атомная бомба на Хиросиму. Последствия чудовищного эксперимента были ужасны. Каждый, кто брался за оригами, знает историю Садако, девочки из Хиросимы, которая делала журавликов, веря, что это спасёт её от лучевой болезни. Кто-то сказал ей, что, если она сделает 1000 журавликов, она поправится. Садако скоро поняла, что ей уже не станет лучше, она умрёт. И тогда она стала дарить журавликов другим больным. Каждый журавлик, которого делала Садако, был молитвой, молитвой о спасении человека. Девочка успела сложить 644 фигурки и умерла. Её подруги закончили остальных журавликов. Печальная история японской девочки подняла волну детской солидарности во всём мире. Япония стала получать миллионы посылок со всех континентов нашей планеты с бесценным грузом - бумажными журавликами. Так возникло движение «1000 журавликов». Это движение вызвало интерес к японскому искусству оригами.

Искусство оригами в Японии стало традицией, которая передается из поколения в поколение. Историки утверждают, что по манере складывания и набору фигурок можно определить провинцию Японии, в которой выросла и обучалась девушка.

В Европе же в начале XIX века немецкий педагог, создатель первых детских садов Фридрих Фребель впервые начал пропагандировать складывание из бумаги как дидактический метод для объяснения детям некоторых простых правил геометрии. Возможно, именно с его подачи школьники разных стран мира теперь знакомы с небольшим набором "фольклорных" фигурок из бумаги. В настоящий момент оригами превратилось по-настоящему в международное искусство. Сейчас центры оригами открыты в 26 государствах планеты. Оригами развивается, во многих странах созданы общества оригамистов, каждый год проводятся выставки и конференции.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что оригами появилось очень давно и в разное время, в разных странах использовалось для различных целей: украшение стен храмов, передача посланий, обучение, игры. В настоящее время оригами завоевало весь мир. С каждым годом, все большее количество людей вовлекаются в это искусство.

1.2. Виды оригами

Существует пять основных видов оригами: простое оригами, складывание по развертке, мокрое складывание, модульное оригами и киригами. Простое оригами

Простое оригами — стиль оригами, придуманный британским оригамистом Джоном Смитом. Этот стиль ограничен использованием только складок, как складки между горой и долиной. Целью оригами является облегчение занятий неопытным оригамистам, а также людям с ограниченными двигательными навыками. (Приложение 1, рис.1)

Складывание по развёртке

Развёртка (англ. creasepattern; паттерн складок) — один из видов диаграмм оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели. Складывание по развёртке сложнее складывания по традиционной схеме, но по праву считается наиболее точной и практичной, ведь представляет собою диаграмму, которая нанесена на лист и которой пользуется мастер-оригамист перед складыванием. А линии, которые показаны на диаграмме, есть не что иное, как будущие складки, из которых впоследствии сформируется конечная фигура. (Приложение 2, Рис.2)

Мокрое складывание

Мокрое складывание— техника складывания, разработанная Акирой Ёсидзавой и использующая смоченную водой бумагу для придания фигуркам плавности линий, выразительности, а также жесткости. Особенно актуален данный метод для таких негеометрических объектов, как фигурки животных и цветов — в этом случае они выглядят намного естественней и ближе к оригиналу. (Приложение 2, Рис.3)

Модульное оригами

Эта увлекательная техника — создание объёмных фигур из модулей. (Приложение 3, Рис.4)

Целая фигура собирается из множества одинаковых частей (модулей). Каждый модуль складывается по правилам классического оригами из одного листа бумаги, а затем модули соединяются путем вкладывания их друг в друга. Появляющаяся при этом сила трения не даёт конструкции распасться.

В этой технике можно создавать целые бумажные скульптуры, а также различные полезные предметы, которые можно использовать в быту и преподнести в качестве подарка: коробочки, подставки для мелочей, шкатулки, вазы.

Одним из наиболее часто встречающихся объектов модульного оригами является кусудама, объёмное тело шарообразной формы. (Приложение 4, Рис.5)

Киригами

Киригами - вид оригами, в котором допускается использование ножниц и разрезание бумаги в процессе изготовления модели. Это основное отличие киригами от других техник складывания бумаги, что подчёркнуто в названии: (киру) — резать, (ками) — бумага.

Большинство людей помнит, как в детстве делали бумажные снежинки. Да и взрослые с восхищением и удивлением разворачивают бумажные снежинки, к тому же почти невозможно сделать один и тоже образец дважды. В дополнение к снежинкам можно вырезать различные цветы, паутинки и другие элементы декоративного оформления. Так вот эти бумажные Снежинки и декорации и есть первые шаги в изучении техники Киригами. (Приложение 4, Рис.6)

Таким образом, можно сделать вывод о том, что существует несколько видов оригами, каждый из которых интересен по-своему.

1.3. Оригами – это математика

Многие считают, что оригами, это забава, с помощью которой люди создают различные фигуры, но очень многое в оригами связано с математикой, геометрией.

В процессе складывания фигур оригами мы учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, диагональ, узнаем многое другое, что относиться к математике и геометрии.

Американский педагог Ф.Фребель предлагал основы геометрии изучать не с помощью линейки, циркуля и некоторых понятий, а на примере фигур складывающейся бумаги. Он активно внедрял оригами в педагогический процесс.

Оригами способствует активности как левого, так и правого полушария мозга, так как требует одновременного контроля за движениями обеих рук. На занятиях по математике при помощи оригами можно повторить следующие понятия:

- горизонтальные, вертикальные, наклонные линии;

- сложи квадрат разными способами, покажи смежные стороны, диагональ;

- квадраты;

- все виды треугольников (Приложение 5, рис.7).

В ходе изучения геометрии с использованием оригами знакомимся с основными геометрическими фигурами (треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, четырехугольник), понятиями (сторона, угол, вершина угла, диагональ, центр фигуры), их свойствами и учимся основам техники оригами.

Работа по схемам, процесс складывания плоскостных фигур направлены на развитие восприятия, которое связано с различными операциями мышления.

По мнению дизайнера оригами Адзума Хидэаки, если развернуть фигуру оригами и посмотреть на складки – то можно увидеть лишь обилие многоугольников, соединенных друг с другом. В сложенном же виде оригами представляет собой многогранник, фигуру с множеством плоских поверхностей, а когда фигура разложена и показаны все складки, то мы можем увидеть множество геометрических фигур.

С точки зрения математики оригами, это точное определение местоположения одной или более точек листа, задающих складки, необходимые для формирования окончательного объекта. Я проанализировал базовые формы оригами (Приложение 6, рис.8) и заметил, что уже при первом знакомстве с этим искусством дети узнают о таких простых геометрических фигурах, как прямоугольник и треугольник. Сам же процесс складывания подразумевает выполнение последовательности точно определенных действий по следующим правилам, которые перекликаются с законами математики:

- точность выполнения инструкции;

- точки определяются пересечениями линий;

- линия определяется либо краем листа, либо линией сгиба бумаги;

- все линии прямые и делятся на два вида параллельные и перпендикулярные.

Таким образом, математика это одна из сторон оригами и наоборот оригами является одной из направляющих математики.

Глава 2. Практическая часть.

2.1. Анкетирование

С целью выяснить, имеют ли представление об оригами и знают ли о том, что оригами связано с математикой, был проведен опрос учащихся 2 «Г» класса на тему: «Оригами» (Приложение 7). Количество опрошенных – 28 человек. В ходе опроса мы узнали, что 80% ребят знают, что такое оригами, 20% - не знают.

50 % опрошенных считают, что оригами способствует развитию интереса у человека, 18 % - мелкой моторики, 12 % - ума, 20% - затрудняются ответить. (Приложение 7).

100% ребят считают, что технику оригами можно использовать на уроках труда.

60% ребят не умеют создавать фигуры в технике оригами, 40% - умеет.

Ребята нашего класса выразили 100% желание научиться создавать фигуры оригами.

Таким образом, можно сделать вывод, что мои одноклассники имеют представление о том, что такое оригами, но считают, что оригами можно использовать только на уроках технологии.

2.2. Мастер-класс «Оригами – это увлекательно»

Исходя из результатов первого анкетирования, и для того чтобы познакомить одноклассников с разнообразием оригами, и убедиться вместе с ними в том, что оригами связано с математикой, в классе мы (с классным руководителем) провели мастер - класс под названием «Оригами – это увлекательно», на котором показали этапы технологии создания модульного оригами, а также рассмотрели развертку модуля с точки зрения математики. Сначала я показал свои работы, сделанные в технике оригами. Далее мы приступили к созданию сердечка в технике модульного оригами. Ребята научились правильно складывать бумагу, создавать модули, с помощью которых потом они собирали сердечко. После создания первого модуля, я попросил ребят развернуть лист, который они сложили, и задал им вопрос: «Что вы видите на листе бумаги?». Они ответили, что видят множество прямых линий (места сгиба), различные фигуры – треугольники, прямоугольники. Таким образом, мы вместе с ними, убедились в том, что с помощью оригами можно изучать различные геометрические фигуры, а значит, мы можем использовать оригами при изучении некоторых тем в школьном предмете «математика». Я рад, что смог научить одноклассников делать модульное оригами. Теперь и они смогут поздравить своих дорогих и любимых мам (близких людей) с праздником и подарить незабываемый подарок, сделанный своими руками. (Приложение 8,10).

После мастер-класса, я еще раз провел анкетирование. По его результатам, можно сказать о том, что мои одноклассники расширили свои знания об оригами и, создавая фигуры оригами, убедились в том, что оригами связано с математикой и может использоваться на уроках математики.

2.3. Беседа учителем математики МБОУ СОШ №8 г.Туймазы Пупышевой В.В.

Для того, чтобы удостовериться в своих предположениях о том, что оригами связано с математикой я также побеседовал с учителем математики высшей категории МБОУ СОШ №8 г.Туймазы Пупышевой Верой Владимировной. (Приложение 12).

На простейшем примере, складывание листа бумаги по вертикали и диагонали, она показала, что мы уже решаем задачи на построение: строим перпендикуляр к прямой, биссектрису угла, высоту треугольника. Учитель отметила, что при решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль точек – вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов. Во время беседы мы вместе с учителем выполнили несколько несложных задач методом оригами: разделили один из углов квадрата на три равных угла, построили правильный треугольник. После выполнения задач, Вера Владимировна сказала о том, что точность полученных правильных многоугольников можно проверить с помощью чертежных инструментов либо применить математическое обоснование. Также учитель показала мне изображения готовых разверток различных многогранников, которые изучаются в старших классах.

Во время беседы, Вера Владимировна подтвердила мои предположения о том, что математика тесно связана с оригами. С помощью оригами можно успешно решать различные задачи на построение, также изучать различные геометрические, обьемные фигуры.

Заключение

В ходе исследования мною была проведена следующая работа:

Изучил Интернет-ресурсы и литературу в Туймазинской центральной библиотеке по теме: «Оригами» (Приложение 9)
Проведено анкетирование «Оригами» у учащихся 2 г класса МБОУ СОШ №2 г.Туймазы. (Приложение 7) Причем, анкетирование проводилось два раза. В первый раз анкетирование проводилось с целью выяснить, имеют ли одноклассники представление об оригами и знают ли о том, что оригами связано с математикой. После проведения опроса я сделал вывод о том, что ребята имеют представление об оригами, но считают, что оригами можно использовать только на уроках технологии.
С целью познакомить учащихся с разнообразием оригами и убедиться вместе с ними в том, что оригами связано с математикой, в классе мы (с классным руководителем) провели мастер - класс под названием «Оригами – это увлекательно», на котором показали этапы технологии создания модульного оригами, а также рассмотрели развертку модуля с точки зрения математики. (Приложение 8,10). После мастер-класса я провел второе анкетирование. По его результатам, можно сказать о том, что одноклассники расширили свои знания об оригами и убедились в том, что оригами связано с математикой.
Разработан буклет для одноклассников с описанием последовательности выполнения работы. (Приложение 10)
Проведена беседа с учителем математики МБОУ СОШ №8 г.Туймазы Пупышевой В.В. (Приложение 12)
Создана презентация на тему: «Оригами – это искусство…», которую можно использовать, как демонстрационный материал при изучении на уроках технологии, математики.

Оригами и математика, словно две сестры, которые не терпят неточности и неспешности.

Японское искусство оригами очень широко вошло в нашу российскую жизнь и стало неотъемлемой частью для интеллектуального развития. Оригами способствует в первую очередь развитию математических качеств (наблюдательность, внимание, логическое и пространственное мышление, точность и аккуратность.

На основании изученного можно сделать вывод о том, что оригами:

Развивает способность контролировать с помощью мозга тонкие движения рук и пальцев;
Улучшает пространственное воображение и умение мысленно работать с объемными предметами;
Учит читать чертежи, по которым складываются фигуры;
Знакомит на практике с основными геометрическими понятиями;
Развивает творческие способности.

Значит оригами, действительно помогает изучать математику, то есть я смог доказать гипотезу что искусство оригами тесно связано с математикой и может стать хорошей основой для ее изучения.

Список используемой литературы

Выгонов В.В.Трехмерное оригами.- М.:Издательский Дом МСП, 2007.
Ильина Н.К.Оригами. Необычные модели для развития фантазии. – М.:РИПОЛ классик, 2012.
Н.Г.Юрина. По книге «Я познаю мир», 2004.
Такахаси Коки «Оригами – это математика!»
Эм Г.Э. Путешествие в страну Оригами. Пособие для учителей и родителей.

Интернет- ресурсы

1. http://www.origami-do.ru

2. https://www.origami.ru

3. http:// www.origami.kulichki.ru

4. http://www.origami-modul.ru

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение 1

Рис.1 Простое оригами

Приложение 2

Рис.2 Складывание по развертке

Рис.3 Мокрое складывание

Приложение 3

Рис.4 Модульное оригами

Приложение 4

Рис.5 Кусудама

Рис. 6 Киригами

Приложение 5

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Рис.7 Треугольники

Приложение 6

Рис.8 Базовые формы оригами

Приложение 7

Анкета

1. Что такое «оригами»?

2. Развитию каких качеств человека способствует техника «Оригами»?

3. На каких уроках можно использовать технику «Оригами»?

4. Вы умеете создавать фигуры в технике «Оригами»?

4. Хотели бы вы научиться создавать какие-нибудь фигуры в технике «Оригами»?

Результаты анкетирования

Что такое «оригами»?

Развитию каких качеств человека способствует техника «Оригами»?

На каких уроках можно использовать технику «Оригами»?

Вы умеете создавать фигуры в технике «Оригами»?

Приложение 8

Мастер-класс «Оригами – это увлекательно»

Приложение 9

Изучение литературы в Туймазинской центральной библиотеке

Приложение 10

Организация рабочего места

Для работы нам понадобится: бумага разноцветная ксероксная, ножницы.

Рабочее место должно быть хорошо освещено, свет должен падать на рабочую зону слева от работающего.

Во время работы должна быть правильная посадка.

Необходимые мне предметы должны находиться в удобном для меня расположении.

Уважаемые ребята! Не забываем о технике безопасности!1. Работай хорошо отрегулированными и заточенными ножницами!2. Ножницы должны иметь тупые, скругленные концы.3. Ножницы клади кольцами к себе.4. Следи за движением лезвий во время резания,5. Не оставляй ножницы раскрытыми. 6. Передавай ножницы кольцами вперед.7. Не играй ножницами, не подноси к лицу.8. Используй ножницы по назначению

Выбор материалов и инструментов.

Умение правильно выбрать бумагу, подобрать цвета и грамотно сочетать их в поделке позволяет создавать оригинальные вещи, которые станут украшением интерьера или приятным подарком близким людям. При этом размеры поделок могут быть самыми разными: от миниатюрных фигурок до огромных бумажных статуй.

Модульное оригами требует большого расхода бумаги. Требования к бумаге: она должна хорошо держать форму, не «ломаться» при сгибании, должна быть достаточно плотной и не очень гладкой. В своей работе я использую бумагу для принтера.

Бумагу для модулей необходимо разрезать на квадраты или прямоугольники. Это можно делать ножницами, но тогда либо будет страдать качество (если работать с несколькими листами одновременно), либо процесс займет слишком много времени. Поэтому удобно пользоваться линейкой и канцелярским ножом.

В сборке модели главное не сбиться, иначе придется делать все заново.

Буклет для одноклассников с описанием последовательности выполнения работы

«Сердечко в технике модульное оригами»

Приложение 11

Мои работы

Приложение 12

Беседа с учителем математики

Просмотров работы: 3773

Исследовательская работа по математике на тему "Оригами и математика"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа№4

городского округа г. Выкса Нижегородской области

Оригами и математика

Физико-математическое отделение

Секция математическая

Работу выполнила:

ученица 5 класса

Лапина Анастасия Алексеевна

11 лет

Научный руководитель:

учитель математики

МБОУ СОШ №4

Огольцова Александра Александровна

г. Выкса

2015г

Оглавление

Введение ……………………………………………………………..3 - 4
Глава 1. Обзор литературы ………………………………………..5
Глава 2. Искусство оригами ……………………………………...6

2.1. Из истории оригами………………………………………………6 - 8

2.2. Азбука оригами…………………………………………………...8

2.3. Базовые формы оригами………………………………………....9

2.4. Виды и техника оригами………………………………………...9 - 10

3.1. Поисковая работа………………………………………………...11

3.2. Эксперимент……………………………………………………..11 - 15

3.3. Некоторые примеры связи математики и оригами……………15 - 17

Заключение………………………………………………………….18
Список использованной литературы…………………………….19
Приложение……………………………………………………….....20 - 28

Аннотация

Оригами - удивительное искусство бумажной пластики. Сегодня множество людей во всем мире увлекаются им. Бумажные фигурки делают дети и взрослые, художники и конструкторы. Его даже преподают в школах, о нем пишут книги и выпускают журналы с интересными статьями и описанием различных моделей. Я заметила, что, складывая фигурки оригами, сталкиваюсь с математическими понятиями. Мне стало интересно, как связаны таинственное искусство складывания фигурок из бумаги и давно интересующая меня математика.

Цель: установить взаимосвязь искусства оригами и науки математики.

Задачи:

- изучить источники информации по предмету исследования;

- изучить историю оригами, основные этапы его развития ;

- рассмотреть базовые формы и приемы оригами;

- исследовать связь математики и оригами;

- заинтересовать окружающих таинственным искусством складывания

фигурок.

Основные результаты:

- проводя исследования по данной теме, я изучила азбуку и базовые формы оригами, смогла понять, как связаны математика и оригами, нашла аргументы и факты за выдвинутую гипотезу.

Практическая значимость:

- моя работа показывает возможность использования искусства оригами на уроках математики.

Введение.

Очень приятно получать подарки. А еще приятнее их дарить. Но праздников очень много, людей, которым хочется сделать подарок, – еще больше. И каждый из нас хоть один раз в жизни сталкивался с проблемой – «Что подарить?»

А ведь каждому из нас хочется получить в подарок что-то уникальное, а еще лучше, сделанное руками близкого человека. Ведь такой сувенир всегда будет радовать глаз и пробуждать море теплых воспоминаний, потому что сделан он с душой, любовью и мыслями о Вас.

Один из самых доступных любому человеку материалов – это бумага, и рукоделие из нее не только получило широкое распространение, но и имеет достаточно много разновидностей. Для создания некоторых бумажных поделок достаточно иметь подходящую бумагу, для других могут понадобиться ножницы, клей и некоторые дополнительные инструменты и элементы.

Я заметила, что, складывая фигурки оригами, сталкиваюсь с математическими понятиями. Мне стало интересно, как связаны таинственное искусство складывания фигурок из бумаги оригами и давно интересующая меня математика.

Я считаю, что тема моей работы современна и актуальна, так как в настоящее время, несмотря на развитие науки и техники, способность к творчеству остается отличительной чертой человека, благодаря которой он может жить в единстве с природой, все созданное творцом всегда было и будет неповторимым, оригинальным и ценным.

Гипотеза: Математика - это одна из сторон оригами и наоборот, оригами является одной из направляющих математики.

Цель: установить взаимосвязь искусства оригами и науки математики.

Задачи:

- изучить литературу и другие источники информации по данному

вопросу;

- изучить историю оригами, основные этапы развития оригами;

- рассмотреть базовые формы и приемы оригами;

- исследовать связь математики и оригами;

- провести мастер-класс своим одноклассникам по изготовлению моделей

оригами (оригинальный подарок своими руками).

Над своим исследованием я работала два месяца. Посещала школьную библиотеку, искала информацию, используя ресурсы Интернет-сайтов, а также книги из домашней библиотеки.

Глава 1. Обзор литературы

О понятии оригами я узнала в книге Н. Г. Юрина. По книге “Я познаю мир” [1]

Изучив книгу Ильиной Н.К. «Оригами. Необычные модели для развития фантазии» [2], я познакомилась с азбукой оригами, основными базовыми формами, основными приемами создания оригами, а также я узнала много нового из истории данного искусства, прочитала легенды об оригами.

На сайтах интернета [8] я познакомилась с техникой и видами оригами, узнала о бумаге, которая предназначена для складывания оригами, узнала о первых фигурках оригами, где используют оригами.

Во всех, изученных мной книгах[2], [3], [4], [5] , доступно рассказывается, как сделать разнообразные модели из бумаги, представлены мастерски выполненные схемы складывания.

В журналах «Математика в школе»№9, 2011 [6], «Математика. Все для учителя!» №11(35), 2013 [7] я посмотрела, как искусство оригами помогает организовать работу учащихся на занятиях по математике при изучении геометрических понятий и решении задач на основе активного использования моделей из бумаги.

Глава 2. Искусство оригами

2.1. Из истории оригами

Родина оригами - Япония. Искусство складывания бумаги зародилось в Стране Восходящего солнца много веков назад. Фактически, история оригами началась в Китае, когда китайскому императору доложили о замечательном открытии - была создана бумага.

Первые попытки сложить лист начались в японских храмах и монастырях. В далекой древности оригами имело религиозное предназначение. Ими украшали статую богини милосердия, чтобы задобрить ее и попросить покровительства.

Появление первых фигурок относится к средним векам. Умение складывать из бумаги считалось одним из признаков хорошего образования и изысканных манер. В те времена бумага было материалом редким и дорогим. Фигурки оригами служили гербом и печатью в некоторых знатных семьях.

Самураи делали амулеты оригами из бумаги с добавлением полосок акульей шкуры или волокон сушеного мяса. Такие амулеты были призваны охранять самурая и приносить ему победу.

Позже искусством складывания из бумаги стали заниматься, в основном, женщины и дети. Оно стало частью традиций и обычаев, украшением японского быта, карнавальных шествий, народных праздников. Кроме того, очень популярно было искусство складывания писем. Особым образом свернутые послания похожи были на головоломку. Развернуть их мог только посвященный.

До конца XIX века для обозначения искусства складывания употреблялось слово «ориката». Лишь в 1880 году возникает термин «оригами», ставший уже привычным. Слово это состоит из двух понятий: «ори», что означает «складываю» и «ками» - «бумага».

Во второй половине XIX века оригами перешло границы Японии. В странах Европы начали знакомиться с классическими фигурками, выполненными в технике оригами.

Бурное развитие оригами началось только после второй мировой войны, главным образом, благодаря усилиям всемирно известного мастера-оригамиста Акиры Йошизавы. Именно он изобрел единую универсальную систему знаков, с помощью которых можно записать схему складывания любой фигурки.

Новое возрождение оригами так же тесно связано со страшной трагедией, произошедшей 6 августа 1945 года, когда "люди" решили испытать атомную бомбу на человеке, подписав смертный приговор городу Хиросима.

Среди тех, кто не сгорел заживо и был обречен на медленную и мучительную смерть была Садако Сасаки. Именно тогда среди детей, обреченных на гибель, возникла легенда о свободной птице, символе жизни - журавлике. Дети искренне верили, что, смастерив из бумаги 1000 журавликов, они исцелятся и останутся живы.

В память о жертвах атомной бомбардировки в Хиросиме заложили парк Мира. В мае 1958 года там был открыт монумент, посвященный погибшим детям.

Движение "1000 журавликов" возродило интерес к оригами. По всему миру стали издаваться красочные книги, буклеты, журналы, посвященные этому искусству.

Каждая страна приняла оригами по-своему, в соответствии со своими культурой и традициями.

Складывая оригами, люди часто задаются вопросом: «А почему квадрат? И почему нельзя резать?»

На востоке к квадрату всегда относились с особым почтением. В Древнем Китае он символизировал землю. Считалось, что земля имеет форму квадрата, над которой нависает купол неба. Форму квадрата имеют и все, родившиеся на востоке игры: шахматы, танграм. Квадрат – это наименьший размер комнаты в японском доме – два татами. Все иероглифы можно вписать в квадрат. Исследуя возможности оригами, современные мастера доказали, что ни одна форма не имеет такие возможности для складывания, как квадрат.

Что же касается запрета разрезать, то он прямо связан с убеждением, что все во Вселенной связано со всем. Все формы перетекают одна в другую. Как в фигурке оригами, квадрат, видоизменяясь, дает жизнь новой форме. Разрез нарушает единое целое.

2.2. Азбука оригами.

В международной литературе по оригами давно сложился определенный набор условных знаков, необходимых для того, чтобы зарисовать схему складывания даже самого сложного изделия. Условные знаки играют роль своеобразных "нот", следуя которым можно воспроизвести любую работу. Помимо знаков, существует небольшой набор приемов, которые встречаются достаточно часто. Обычно они даются в книгах без комментариев. Считается, что любой новичок умеет выполнять их на практике. Международные условные знаки вместе с набором несложных приемов и составляют своеобразную "азбуку" оригами, с которой должен быть знаком любой складыватель. Большая часть условных знаков была введена в практику еще в середине XX века известным японским мастером Акирой Йошизавой. В последние десятилетия к этим знакам добавилось несколько новых. К введению любых дополнительных обозначений следует относиться очень осторожно, и уж, конечно, совсем не стоит "изобретать велосипед" и пытаться записывать схемы складывания как-то по-своему. Все обозначения в оригами можно разделить на линии, стрелки и знаки. (См.Приложение1.)

2.3. Базовые формы оригами.

Многие фигурки оригами на начальном этапе складываются одинаково, то есть имеют одну основу - базовую форму. База – это самая простая уже сложенная форма, из которой со временем могут появиться множество различных фигурок.

Сегодня в мире существует целых 11 базовых форм (Приложение 2).

Простые базовые формы: треугольник, книга, дверь, воздушный змей;
Средние базовые формы: блин, рыба, двойной треугольник, двойной квадрат;
Сложные базовые формы: птица, катамаран, лягушка.

Часто в книгах об оригами даже не приводятся схемы базовых форм оригами, подразумевается, что мастер оригами уже с ними знаком .

2.4. Виды и техника оригами

Модульное оригами

Одной из популярных разновидностей оригами является модульное оригами, в котором целая фигура собирается из многих одинаковых частей (модулей). Каждый модуль складывается по правилам классического оригами из одного листа бумаги, а затем модули соединяются путём вкладывания их друг в друга, появляющаяся при этом сила трения не даёт конструкции распасться. Одним из наиболее часто встречающихся объектов модульного оригами является кусудама, объёмное тело шарообразной формы.

Простое оригами

Простое оригами — стиль оригами, придуманный британским оригамистом Джоном Смитом, и который ограничен использованием только складок горой и долиной. Целью оригами является облегчение занятий неопытным оригамистам, а также людям с ограниченными двигательными навыками. Данное выше ограничение означает невозможность многих (но не всех) сложных приёмов, привычных для обычного оригами, что вынуждает к разработке новых методов, дающих сходные эффекты.

Складывание по развёртке

Развёртка (англ. creasepattern; паттерн складок) — один из видов диаграмм оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели. Складывание по развёртке сложнее складывания по традиционной схеме, однако, данный метод даёт не просто информацию, как сложить модель, но и как она была придумана — дело в том, что развёртки используются при разработке новых моделей оригами. Последнее также делает очевидным факт отсутствия для некоторых моделей иных диаграмм, кроме развёртки.

Мокрое складывание

Мокрое складывание — техника складывания, разработанная Акирой Йошизавой и использующая смоченную водой бумагу для придания фигуркам плавности линий, выразительности, а также жесткости. Особенно актуален данный метод для таких негеометрических объектов, как фигурки животных и цветов — в этом случае они выглядят намного естественней и ближе к оригиналу. Не всякая бумага подходит для мокрого складывания, а лишь та, в которую при производстве добавляют водорастворимый клей для скрепления волокон. Как правило, данным свойством обладают плотные сорта бумаги.

Глава 3. Оригами – это математика!

Как связано искусство оригами и точная наука математика? Этот вопрос я решила изучить.

Я проанализировала базовые формы оригами и заметила, что уже при первом знакомстве с этим искусством мы узнаем о таких простых формах, как прямоугольник и треугольник. Когда складываем простую форму, то знакомимся с квадратом, согнув углы которого к центру можно увидеть, что квадрат может состоять из четырёх одинаковых треугольников. Складывая форму «Воздушный змей», знакомимся с ромбом. Азбука оригами включает в себя такие геометрические понятия, как точка и линия.

Таким образом, оригами и математика (а именно геометрия) неразрывно связаны. При изготовлении различных моделей оригами мы используем множество понятий из математики (такие как точка, линия, квадрат, прямоугольник, треугольник).

3.1. Поисковая работа.

В рамках поисковой работы я сначала рассмотрела некоторые базовые модели оригами и выяснила их связь с математическими понятиями.

(См. Приложение 3).

Затем я решила взять несколько стандартных схем оригами, и выяснить какие геометрические фигуры используются в них.

Для этого необходимо снова рассмотреть основы оригами.

(См. Приложение 1).

И сейчас я могу сделать вывод, что при работе с оригами следует знать следующие фигуры:

Прямая, квадрат, треугольник, угол, ромб.

3.2.Эксперимент.

Проведем эксперимент по сложению оригами. И сразу выпишем, знания каких геометрических фигур мне были нужны.

Схема 1. «Собака»

Геометрические фигуры: квадрат, треугольник, прямая .

Схема 2. «Ваза»

Возьмите квадрат двусторонней бумаги (1).

Теперь согните лист по диагонали и разогните. (2)

Повторите то же действие с другой диагональю. (3)

Следующий шаг – согните и разогните лист по горизонтали, как показано на фото (4) и (5).

По намеченным линиям сложите лист в ромб вот так: (6), (7).

Получившийся ромб хорошо прогладьте. (8)

Правый угол загните к центру. (9)

Левый угол загните к центру. (10)

Переверните заготовку и повторите то же самое с оставшимися двумя углами. (11)

Верхний левый угол заготовки загните к центру (12), разогните и далее опустите центральный угол к середине как на фото (13).

Переверните клапан как страницу и продолжайте по аналогии (12 и 13 фото), пока перед вами не окажется последний правый угол. Его согните к центру заготовки, как на 12 фото, только зеркально, разогните и вправьте по намеченным линиям этот угол вовнутрь (17 и 18).

Вот что у нас должно получиться. (19)

Нижний уголок нашей будущей оригами - вазы загните и разогните, чтобы после того, как мы развернем заготовку (22) у нас получилось сделать такое устойчивое дно (21).

Если на каком-то этапе вы получаете не совсем то, что на фото – не переживайте. Разверните заготовку аккуратно и проследите, на каком шаге вы ошиблись. Самое главное – верно сделать изгибы. По ним уже вы сможете и переделать оригами - вазу.

И здесь мы наблюдаем те же геометрические фигуры: квадрат, диагональ, треугольник, прямоугольник, прямую, угол.

3.3. Некоторые примеры связи математики и оригами.

Согласно классическому оригами, объектом складывания является
неразмеченный квадратный лист бумаги без разрезов.

С точки зрения математики, целью оригамиста является точное определение местоположения одной или более точек листа, задающих складки, необходимые для формирования окончательного объекта. Процесс складывания подразумевает выполнение последовательности точно определенных действий по следующим правилам:

Линия определяется либо краем листа, либо линией сгиба бумаги.
Точки определяются пересечениями линий.
Все складки определяются единственным образом путем совмещения
различных элементов листа — линий или точек.
Сгиб формируется единственной складкой, причем в результате
складывания фигура остается плоской.

Последний пункт сильно ограничивает возможности складывания, разрешая только одну складку за раз. На практике даже простейшие модели оригами подразумевают создание нескольких складок за одно действие.

В процессе складывания фигур оригами мы знакомимся с различными геометрическими фигурами: треугольником, квадратом, прямоугольником и так далее. Учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике.

Американский педагог Ф. Фребель уже в середине XIX века заметил геометрическую особенность оригами и ввел его как учебный предмет в школе.

Идеи Фребеля и сегодня очень интересны. Поэтому не удивительно , что в наши дни оригами продолжает играть определённую роль в развитии и воспитании. Оригами способствует активности, как левого, так и правого полушарий мозга, так как требует одновременного контроля за движениями обеих рук.

Идеи Фребеля и сегодня очень интересны. Не удивительно поэтому, что в наши дни оригами продолжает играть определённую роль в развитии и воспитании. Оригами способствует активности как левого, так и правого полушарий мозга, так как требует одновременного контроля за движениями обеих рук.

В конце XX века возник новый термин «оригаметрия», обозначающий область геометрии, в которой задачи решаются только методом складывания.

Одна из таких задач это деление исходного квадрата без предварительных чертежей и измерений. Как это сделать, не прибегая к карандашу? Например, как разделить квадратный лист бумаги на три равные части? (См. Приложение 4)

Заключение.

Как наглядное средство лист бумаги применяется в обучении математике с давних пор. Но на уроках математики важно не то, какую фигурку вы сложили из бумаги, а наоборот. Разверните любую бумажную поделку. Линии сгиба образовали треугольники, квадраты, четырехугольники…К тому же, разворачивая поделку, можно наблюдать преобразование пространственной фигуры в плоский лист бумаги. А значит, упражнения с листом бумаги позволяют знакомиться с различными геометрическими фигурами и изучать их простейшие свойства.

Исходя из всего вышеизложенного мною, я могу сделать выводы:

искусство оригами тесно связано с математикой и помогает ее изучать;
данная тема представляет большие возможности для проявления исследовательских и творческих умений при решении задач.

Гипотеза, которую я ставила в начале работы «Математика - это одна из сторон оригами и наоборот, оригами является одной из направляющих математики», подтвердилась.

Мне было очень интересно работать над данной темой. В дальнейшем я продолжу свою работу, так как это мне поможет находить новые способы решения некоторых задач, а также при изучении геометрии в 7 классе.

Некоторые ребята из моего класса заинтересовались оригами, и я провела для них мастер – класс. Мы вместе создали подарок нашим мамам ко дню 8 марта. (См. Приложение 5)

Список литературы.

1. Выгонов В.В. Трехмерное оригами.- М.: Издательский Дом МСП, 2007

2. Ильина Н.К. Оригами. Необычные модели для развития фантазии.-М.:РИПОЛ классик, 2012

3. Сержантова Т.Б.Оригами. Лучшие модели / Т.Б. Сержантова . – М.:Айрис-пресс, 2010

4. Эм Г.Э. Путешествие в страну Оригами. Пособие для учителей и родител

5. Юрина Н. Г. . По книге “Я познаю мир”, 2004

6. //Математика в школе//№9, 2011

7. //Математика. Все для учителя! //№11(35), 2013

8. Интернет-ресурсы:

http:// www.origami – do.ru

http:// www.origami .ru

Приложение 1

Основные условные обозначения

Приложение 2

Простые базовые формы

Книга

Треугольник

Дверь

Воздушный

змей

Средние базовые формы

Блин

Рыба

Двойной

треугольник

Двойной

квадрат

Сложные базовые формы

Птица

Катамаран

Лягушка

Приложение 3

Связь базовых моделей оригами с математическими понятиями.

Базовая модель

Математические понятия

« Книга»

Линия, квадрат, прямоугольник, деление листа на две равные части, прямой угол.

«Треугольник»

Квадрат , диагональ , треугольник, равные углы.

«Блин»

Квадрат, диагональ, угол, центр, треугольник.

«Дверь»

Квадрат, деление листа на две и четыре равные части.

« Дом»

Квадрат, деление листа на две, четыре, восемь равных частей, треугольник.

Приложение 4

Способ деления квадрата на три одинаковые части

Приложение 5

Проект «Оригами и математика» | Творческие проекты и работы учащихся

Учебный творческий проект по технологии «Оригами и математика» направлен на самостоятельное изучение учащейся 2 класса истории происхождения и развития искусства оригами и нахождение связи между оригами и математикой, применение знаний из области математики в создании фигурок оригами.

Подробнее о проекте:

В ученическом проекте «Оригами и математика» можно подробнее узнать о видах оригами, изучить методы создания каждого вида оригами, ознакомиться с практическим применением математических законов в оригами,

В процессе творческой работы по определению взаимосвязи оригами и математики ученица 2 класса начальной школы решает головоломки с оригами, применяет основные знания по математике в практике сложения бумаги. Выполненная работа может служить образцом для выполнения творческого проекта по оригами и математике в 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 классе школы.

Введение
1. История оригами.
2. Виды и техники оригами.
3. Оригами – это математика.
4. Взаимосвязь основ оригами и математики.
5. Головоломки и оригами.
Заключение
Список литературы

Введение

Оригами – это японское искусство создания моделей различных предметов, животных, птиц, цветов путем сгибания листа бумаги.

Единственный рабочий материал - это бумага. Единственный инструмент - руки.

Уникальное занятие складывать своими руками красивые игрушки и геометрические фигуры. При этом готовую фигурку я могу преподнести в подарок другу и даже устроить спектакль с бумажными героями сказок.

Приобретенные во время складывания навыки можно использовать на уроках по математике и конструированию. При изготовлении фигурок оригами развиваются воображение, мелкая моторика рук, пространственное мышление, воспитывается вкус, аккуратность, трудолюбие, что и делает изучение использования оригами актуальным для исследования.

Я заметила, что, складывая фигурки оригами, сталкиваюсь математическими понятиями. Мне стало интересно, как связаны таинственное искусство складывания фигурок из бумаги оригами и давно интересующая меня математика.

Гипотеза: Искусство оригами тесно связано с математикой.

Цель проекта:

Изучение оригами, его происхождение.
Доказать связь оригами и математики.

Задачи проекта:

Изучить историю оригами.
Проанализировать связь оригами и математики.
Показать практическое применение математических законов в оригами.

Методы исследования:

Практическая работа.
Поиск информации из разных источников (специальная литература, интернет ресурсы).

Итог: провести мастер-класс на факультативе по математике.

Актуальность темы:

В 7 классе мне предстоит изучать такой предмет, как геометрия. Я думаю, что для изучения геометрии нужно уметь читать чертежи, знать основные геометрические фигуры.

Как мне кажется, сложнейшей проблемой в понимании геометрии остаётся проблема пространственного мышления. Бернард Шоу говорил: « Если просто учить чему – нибудь человека, он никогда ничему не научится». Мы учимся на делах!

В голове удерживаются только те знания, которые применяются на практике. Поэтому, если мы чему-то учимся, необходимо делать всё самому. А искусство оригами как нельзя лучше походит по возрастным категориям. Может быть, поэтому мастера оригами говорят, что при складывании фигурок голова работает руками.

История оригами

В истории происхождения оригами многое до сих пор остается неясным. Часть историков утверждает, что искусство оригами впервые появилось в Китае, непосредственно связывая его с появлением бумаги. Однако, доказательств в пользу того, что китайцы использовали бумагу, чтобы складывать из нее фигурки, не найдено.

Другие ученые утверждают, что оригами проистекает из Японии и, что еще до появления бумаги, японцы складывали фигурки из ткани и других материалов. Так или иначе, именно в Японии, благодаря ее культурным особенностям, стремлению увидеть красоту, скрытую в каждой вещи, оригами получило широкое распространение.

Официальной датой “появления” бумаги в Китае считается 105 г. до н.э.. Тогда же император Хен Сюай издает специальный указ, запрещающий писать на дереве и предписывающий использовать для письма бумагу. Китайцы ревностно хранили секрет изготовления бумаги в течение 500 лет. Технологию ее производства было запрещено вывозить за границу под страхом смертной казни.

Однако, согласно легенде, в начале VII в. н.э. странствующий буддийский монах Дан Хо, о котором современники говорили, что он был “богат знаниями и умел делать бумагу и тушь”, добирается до Японии, и раскрывает секрет бумагоделия. Спустя столетие японцы уже производят собственную бумагу, которая по качеству превосходит китайскую.

Первые оригами появляются в синтоистских храмах. Жители Японии придают бумаге особое значение и наделяют ее большой ценностью. Бумага изготовляется из дерева, а вырубать деревья японцам строго-настрого запретили предки. У синтоистов принято верить, что в каждом предмете и явлении живет «ками» - маленькое божество. Оно поселяется и в бумажных фигурках, которые используются при совершении ритуалов и обрядов.

По сей день, жители Японии складывают «ката-сиро» - восемь кукол из белой бумаги, которых расставляют для предотвращения несчастий по всем восьми направлениям пространства; бумажные амулеты «гофу»; и «нагаси-бина» – мужчину и женщину в кимоно, как символ семейной гармонии.

В периоды Камакура (1185–1333 гг.) и Муромати (1333–1573 гг.) оригами выходит за пределы храмов и достигает императорского двора. Аристократии и придворным предписывается обладать определенными навыками в искусстве складывания. Японцы использовали бумажные фигурки для того, чтобы передать то или иное послание другому человеку.

Например, записки, сложенные в форме бабочки, журавля или цветка были символом дружбы и доброго пожелания. Уроки оригами становятся обязательными при обучении самураев. Листы бумаги, на которых написано послание, складываются в причудливые фигуры. Только человек, владеющий искусством оригами, может аккуратно развернуть и прочитать послание, не предназначенное для посторонних глаз.

Умение складывать стало одним из признаков хорошего образования и изысканных манер. Различные знатные семьи использовали фигурки оригами как герб и печать.

В периоды Адзути-Момояна (1573–1603гг.) и Эдо (1603–1867гг.) бумага перестает быть предметом роскоши и оригами начинает распространяться и среди простого народа. Именно тогда, триста – четыреста лет назад, изобретается ряд фигур, которым суждено было стать классическими. Среди них и японский журавлик «цуру» – традиционный японский символ счастья и долголетия, а теперь и международный символ свободы и мира.

Первым японским изданием по оригами считается книга «Сенбадзуру ориката», которая вышла в свет в 1797 году. Перевод ее названия “как сложить тысячу журавлей” указывает на старинную легенду, утверждающую, что тысяча сложенных классических бумажных птиц помогает осуществить желания. Книга целиком посвящена складыванию одной единственной модели – журавлика в самых разнообразных ее вариациях. Именно это время характеризуется началом «демократизации» оригами – превращения этого занятия из ритуально-храмового действа в популярный досуг.

Новый этап в развитии оригами относится ко второй половине XX века и связан с именем знаменитого японского мастера Акиро Йошизава. Акиро Йошизава работал на машиностроительной фабрике, где помимо основной работы, ему поручили учить новичков читать чертежи. При этом он начал активно использовать оригами, объясняя с помощью складывания азы геометрических понятий. Эти занятия имели успех и вызывали неподдельный интерес и Акире Йошизаве предлагают выступить на съезде профсоюза с рассказом о роли оригами в образовании.

Акира Йошизава является признанным мировым мастером оригами. Он сделал оригами авторским, придумав сотни оригинальных фигурок. Именно он изобрел единую универсальную систему знаков, с помощью которых можно записать схему складывания любой фигурки.

Новый поворот в истории оригами тесно связано со страшной трагедией, произошедшей 6 августа 1945 года, когда была сброшена атомная бомба на Хиросиму. Последствия чудовищного эксперимента были ужасны. Среди детей, страдающих от последствий облучения и обреченных на гибель, возникла легенда о свободной птице, символе жизни - журавлике. Дети искренне верили, что, смастерив из бумаги 1000 журавликов, они исцелятся и останутся живы. Волна удивительной детской солидарности прокатилась по всем странам мира. Япония стала получать миллионы посылок со всех континентов нашей планеты с бесценным грузом - бумажными журавликами.

Движение «1000 журавликов» вызвало интерес к оригами по всему миру: стали издаваться красочные книги, буклеты, журналы, посвященные этому искусству. Сейчас центры оригами открыты в 26 государствах планеты. Оригами развивается, во многих странах созданы общества оригамистов; каждый год проводятся выставки и конференции.

Неосторожно будет утверждать, что искусство складывания бумажных фигур был незнакомо европейским странам до середины XX века. В связи с этим, особо следует упомянуть об истории развития складывания в Испании, которая может похвастаться своим собственным, независимым, открытием некоторых фигурок, например птички – "пахариты".

Так называется древняя классическая фигурка, ставшая символом оригами в Испании. Известный оригамист Винсенте Паласиос считает, что многое указывает на появление этой модели впервые в Толедо в XII веке. Если это предположение, верно, то, без сомнения, пахарита является первой традиционной сложенной европейской фигуркой (возможно, одной из первых во всем мире).

Первые упоминающиеся в старинных европейских документах мельницы, изготавливающие бумагу, существовали в Толедо уже в XII веке (в Италии они появились на столетие позже). Само слово «пахарита» (птица) применительно к фигуркам имеет в Испании два значения – название конкретной модели, или вообще любая фигурка, сложенная из бумаги. Само искусство складывания фигурок из бумаги называется в Испании "делать пахариты", а сами фигурки – «различные другие пахариты».

Виды и техники оригами

Оригами – целый мир, который можно выразить с помощью души и бумаги. Существует несколько видов оригами, на которых и базируется все творчество.

Простое оригами

Простое оригами — стиль оригами, придуманный британским оригамистом Джоном Смитом, и который ограничен использованием только складок горой и долиной. Целью оригами является облегчение занятий неопытным оригамистам, а также людям с ограниченными двигательными навыками. Данное выше ограничение означает невозможность многих (но не всех) сложных приёмов, привычных для обычного оригами, что вынуждает к разработке новых методов, дающих сходные эффекты.

Плоские оригами называют также односторонним оригами: предмет определяется только с одной стороны. Обычно такие изделия используются для аппликации. В этом случае используется клей.

Мокрое оригами

Мокрое складывание - техника складывания, разработанная Акирой Ёсидзавой и использующая смоченную водой бумагу для придания фигуркам плавности линий, выразительности, а также жесткости. Особенно актуален данный метод для таких негеометричных объектов, как фигурки животных и цветов - в этом случае они выглядят намного естественней и ближе к оригиналу

Бумага смачивается водой, от этого она становится более пластичной. В результате работы со смоченной бумагой получаются плавные формы. Изделия похожи на папье-маше.

Не всякая бумага подходит для мокрого складывания, а лишь та, в которую при производстве добавляют водорастворимый клей для скрепления волокон. Как правило, данным свойством обладают плотные сорта бумаги.

Модульное Оригами

Одной из популярных разновидностей оригами является модульное оригами, в котором целая фигура собирается из многих одинаковых частей (модулей).

Каждый модуль складывается по правилам классического оригами из одного листа бумаги, а затем модули соединяются путём вкладывания их друг в друга, появляющаяся при этом сила трения не даёт конструкции распасться.

Одним из наиболее часто встречающихся объектов модульного оригами является кусудама, объёмное тело шарообразной формы, собранное из бумажных цветов. Основой кусудамы, как правило, является какой-либо правильный многогранник (чаще всего куб, додекаэдр или икосаэдр). Несколько реже за основу берётся полуправильный многогранник.

Складывание по развёртке

Развёртка (англ. creasepattern; паттерн складок) — один из видов диаграмм оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели.

Складывание по развёртке сложнее складывания по традиционной схеме, однако, данный метод даёт не просто информацию, как сложить модель, но и как она была придумана — дело в том, что развёртки используются при разработке новых моделей оригами. Последнее также делает очевидным факт отсутствия для некоторых моделей иных диаграмм, кроме развёртки.

Наноригами

Сложная разновидность оригами. Это трёхмерный конструктор с малюсенькими элементами. Принципы наноригами используются в нанотехнологиях.

Фигуры в оригами выполняются из геометрических фигур: квадрата, треугольника, прямоугольника, пяти-, шести-, восьмиугольников, и даже круга.

То есть все фигуры в оригами выполняются из геометрических фигур, значит это одна из точек прикосновения оригами с математикой.

Киригами

Вид работы с бумагой при помощи ножниц. Ножницы дают большую свободу действий и более чёткие формы.

Оригами – это математика

Многие считают, что оригами это забава, с помощью которой люди создают различные фигуры, но очень многое в оригами связано с математикой. Оригами связано с геометрией, оригами, как наука, способна изумить нас формами, о возможности существования которых, мы, может быть, и не догадывались.

В процессе складывания фигур оригами мы знакомимся с различными геометрическими фигурами: треугольником, квадратом, трапецией и т.д., учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике. Американский педагог Ф. Фребель уже в середине XIX века заметил геометрическую особенность оригами и ввел его как учебный предмет в школе.

Идеи Фребеля и сегодня очень интересны. Не удивительно поэтому, что в наши дни оригами продолжает играть определённую роль в развитии и воспитании. Оригами способствует активности, как левого, так и правого полушарий мозга, так как требует одновременного контроля за движениями обеих рук.

В конце XX века возник новый термин «оригаметрия», обозначающий область геометрии, в которой задачи решаются только методом складывания.

В наше время оригами с математической точностью шагает по планете семимильными шагами. Ученные придумали использовать приёмы оригами в космосе, а именно Миура-ори — схема жесткого складывания, которая использовалась для развертывания больших установок солнечных батарей на космических спутниках.

Математика это одна из сторон оригами и наоборот оригами является одной из направляющих математики.

Взаимосвязь основ оригами и математики

«Великий квадрат, не имеет пределов
Попробуй простую фигурку сложить,
И вмиг привлечёт интересное дело…»
А.Е. Гандаенко.

Большинство классических моделей в оригами выполняются из квадрата. В процессе изготовления простых моделей мы знакомимся с очень нужными понятиями.

Деление на части является основами раздела математики – геометрии!!!

С помощью сгибов из квадрата можно получить другие правильные многоугольники.

С помощью оригами решаются геометрические задачи на плоскости. Значит оригами действительно связано с математикой. Продолжая исследование, складывая модульные конструкции, я пришла к выводу, что они напоминают геометрические тела. И я погрузилась в оригаметрию! Оригаметрия – раздел, который связывает искусство оригами с математикой.

Головоломки и оригами

«Форма, объём, изгиб, или складка,
И что белый лист без движенья – загадка…
Число уложений и упаковок
Вводит нас в мир головоломок.
И радует магия дивных творений,
Мир оригами, чудо свершений!»

С помощью оригами можно сделать математические головоломки.

Заключение

В процессе создания проекта мы узнали историю возникновения оригами, рассмотрели взаимосвязь оригами с математикой.

Оригами – и детская забава, и элемент дизайна, и неотъемлемый предмет народных праздников во многих странах мира. В процессе складывания фигур оригами мы знакомимся с различными геометрическими фигурами, учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги; находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике.

Кроме того, оригами развивает память, мышление, пространственное воображение, сообразительность. Для нас оригами продолжает оставаться увлечением, которое смогло окунуть нас с головой в этот удивительный мир! С помощью оригами есть возможность показать, что математика не сухая наука, а красота и гармония.

Оригами и математика, словно две сестры, которые не терпят неточности и поспешности. Само оригами дает полет фантазии, а математика эту фантазию облачает в платье науки.

По результатам моего творческого проекта об оригами и математике исследования можно сделать вывод, что гипотеза подтвердилась – искусство оригами тесно связано с математикой и может стать хорошей основой для ее изучения.

Список литературы

«Забавные фигурки. Модульное оригами». Проснякова Т.Н.-М.:АСТ- ПРЕСС. КНИГА. 2011г.(Золотая, библиотека увлечений).
«Оригами. Орнаменты, кусудамы, многогранники». Весновская О.В. Чебоксары, 2003 г.
«Правильные многоугольники в оригами». Белим С.Н, Белим С.В. Омск. 2003 г.
«Задачи по геометрии, решаемые методами оригами». Белим С.Н. М.: изд. «Аким». 1998г.
«Энциклопедия оригами для детей и взрослых». С. Ю. Афонькин, Е.Ю.Афонькина.-С-Пб. «Кристалл» ,2000г.
«Оригами. Волшебный квадрат». С. Ю. Афонькин, Е.Ю.Афонькина. Москва, «Аким».2002г.

Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:

ИСКУССТВО ОРИГАМИ И МАТЕМАТИКА

Новоселов С.Д. 1

1МАОУ СОШ № 29 г. Липецка "Университетская"

Покачалова О.Н. 1

1МАОУ СОШ № 29 г. Липецка "Университетская"

Введение.

Оригами - удивительное искусство бумажной пластики. Сегодня множество людей во всем мире увлекаются им. Бумажные фигурки делают дети и взрослые, художники и конструкторы. Его даже преподают в школах, о нем пишут книги и выпускают журналы с интересными статьями и описанием различных моделей. Я заметил, что, складывая фигурки оригами, сталкиваюсь с математическими понятиями. Мне стало интересно, как связаны таинственное искусство складывания фигурок из бумаги и математика.

Актуальность: привлечение учащихся к математике с помощью наглядных методов оригами. Математика – это творческая наука.

Цель: установить взаимосвязь искусства оригами и науки математики.

Задачи:

- изучить историю (развития) оригами, основные этапы развития оригами, применение в современности;

- рассмотреть базовые формы и приемы оригами;

- исследовать связь математики и оригами;

- провести мастер-класс своим одноклассникам по изготовлению моделей оригами.

Объект исследования: математика (геометрия).

Предмет исследования: математические законы в оригами

Методы исследования: изучение литературных источников, поисковый, исследовательский, практический методы, обработка и анализ полученной информации.

Глава 1. Азбука оригами

1.1. Из истории оригами

В средние века бумага было материалом редким и дорогим. Фигурки оригами служили гербом и печатью в некоторых знатных семьях. Позже бумажными фигурками стали украшать народные праздники и карнавалы. Кроме того, очень популярно было искусство складывания писем. Особым образом свернутое письмо было похоже на головоломку. Развернуть его мог только тот, кто знал секрет складывания.

В 1880 году возникает термин «оригами». Слово это состоит из двух понятий: «ори», что означает «складываю» и «ками» - «бумага».

Развитие оригами началось после второй мировой войны. Известный мастер оригами Акира Йошизава изобрел единую универсальную систему знаков, с помощью которых можно записать схему складывания любой фигурки.

История оригами тесно связана со страшной трагедией, произошедшей 6 августа 1945 года, когда на город Хиросима в Японии была сброшена атомная бомба.

В этой трагедии пострадала японская девочка Садако. Кто-то сказал ей, что, если она сделает 1000 журавликов, она поправится. Садако скоро поняла, что ей уже не станет лучше, она умрёт. И тогда она стала дарить журавликов другим больным. Девочка успела сложить 644 фигурки и умерла. Все дети мира стали отправлять миллионы посылок с бумажными журавликами. Так возникло движение «1000 журавликов». Это движение вызвало интерес к японскому искусству оригами.

1.2. Азбука оригами.

Любую модель (фигурку) оригами можно нарисовать в виде схемы. Для этого используются условные знаки. Все обозначения в оригами можно разделить на линии, стрелки и знаки.

1.3. Базовые формы оригами.

Многие фигурки оригами на начальном этапе складываются одинаково, то есть имеют одну основу - базовую форму.

Сегодня в мире существует 11 базовых форм (простые, средние и сложные).

Простые базовые формы: треугольник, книга, дверь, воздушный змей;
Средние базовые формы: блин, рыба, двойной треугольник, двойной квадрат;
Сложные базовые формы: птица, катамаран, лягушка.

1.4. Виды и техника оригами

Модульное оригами

Простое оригами

Простое оригами — это оригами, в котором используются простые приемы складывания. Целью оригами является облегчение занятий начинающим оригамистам, а также людям с ограниченными двигательными навыками.

Складывание по развёртке

Развёртка — один из видов оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели. Складывание по развёртке сложнее складывания по обычной схеме, однако, данный метод даёт не просто информацию, как сложить модель, но и как она была придумана. Развёртки используются при разработке новых моделей оригами.

Мокрое складывание

Мокрое складывание — техника складывания, с использованием смоченную водой бумаги для придания фигуркам плавности линий, выразительности, а также жесткости. Особенно подходит данный метод для таких негеометрических объектов, как фигурки животных и цветов — в этом случае они выглядят намного естественней и ближе к оригиналу. Не всякая бумага подходит для мокрого складывания, а лишь та, в которую при производстве добавляют водорастворимый клей для скрепления волокон. Как правило, данным свойством обладают плотные сорта бумаги.

Киригами

Простым примером техники киригами являются бумажные снежинки, которые почти невозможно сделать одинаково дважды. В дополнение к снежинкам можно вырезать различные цветы, паутинки и другие элементы декоративного оформления. Бумажные снежинки и декорации и есть первые шаги в изучении техники Киригами.

Глава 2. Оригами – это математика!

Как связано искусство оригами и точная наука математика? Этот вопрос я решил изучить.

Предметы вокруг нас имеют форму, похожую на геометрические фигуры. Альбомный лист имеет форму прямоугольника. Арена цирка, солнце или монета имеют форму круга. Футбольный мяч или арбуз похожи на шар. Египетские пирамиды – это тоже геометрические фигуры. Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур: треугольника, квадрата, круга, пирамиды, сферы и др.

При помощи оригами можно изучить следующие понятия:

точка, линия;
горизонтальные, вертикальные, наклонные линии;
параллельные прямые;
диагональ;
квадрат, прямоугольник;
все виды треугольников
симметрия, одинаковые фигуры

В ходе изучения математики с использованием оригами можно наглядно познакомиться с основными геометрическими фигурами (треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, четырехугольник), понятиями (сторона, угол, вершина угла, диагональ, центр фигуры), их свойствами и изучить основы техники оригами.

Развернув фигурку оригами и посмотрев на складки, я увидел множество многоугольников, соединенных друг с другом. В сложенном виде оригами представляет собой многогранник, фигуру с множеством плоских поверхностей.

Различные построения и фигуры оригами складываются из квадратного листа бумаги. Таким образом, когда мы производим простейшее действие с листом бумаги, например, складываем его по вертикали или диагонали, мы уже решаем задачи на построение.

При решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов.

2.1. Поисковая работа.

В рамках поисковой работы я сначала рассмотрел некоторые базовые модели оригами и выяснил их связь с математическими понятиями.

Связь базовых моделей оригами с математическими понятиями:

Базовая модельМатематические понятия

« Книга»

Линия, квадрат, прямоугольник,

деление листа на две равные части.

«Треугольник»

Квадрат, диагональ, треугольник,

равные треугольники,

противоположные углы.

«Блин»

Квадрат, диагональ, угол,

центр, точка, треугольник.

«Дверь»

Квадрат, деление листа на две

и четыре равные части,

параллельные прямые.

Я проанализировал базовые формы оригами и заметил, что уже при первом знакомстве с этим искусством мы узнаем о таких простых формах, как прямоугольник и треугольник. Когда складываем простую форму, то знакомимся с квадратом, согнув углы которого к центру можно увидеть, что квадрат может состоять из четырёх одинаковых треугольников. Азбука оригами включает в себя такие геометрические понятия, как точка и линия.

И сейчас я могу сделать вывод, что при работе с оригами следует знать следующие математические понятия и фигуры:

- Прямая, квадрат, треугольник, угол, ромб, точка (центр фигуры, пересечение прямых), равные фигуры, параллельные прямые.

2.2.Эксперимент.

Проведем эксперимент по сложению фигур оригами. Пусть это будут фигуры «Лошадка» и «Котик». Проанализируем, чем отличаются с точки зрения математики эти модели.

Взглянув на модели, можно увидеть, что мордочка «Лошадки» вытянутая и узкая, по сравнению с мордочкой «Котика».

Схемы этих моделей очень просты:

Начинаются обе фигуры с одинаковой базовой модели «треугольник»:

Далее у каждого базового «треугольника» загибаются внутрь боковые и нижняя детали. Все загибаемые детали также имеют форму треугольников. Но треугольники эти отличаются друг от друга.

Обозначим боковой треугольник АВС «котика» синим цветом, а такой же треугольник АВС «лошадки» красным цветом.

Нижний треугольник DЕМ «котика» сделаем оранжевым, а треугольник DЕМ «лошадки» зеленым. Поочередно сравним их математически.

На схеме можно увидеть, что стороны треугольника АВС синего меньше аналогичных сторон треугольника АВС красного:

АВ_синего < АВ_{красного}или 5 см 5 мм < 7 см;

ВС_синего < ВС_{красного}или 5 см 5 мм < 7 см;

СА_синего < СА_{красного}или 8 см < 10 см;

Стороны треугольника DЕМ «котика» (оранжевого) наоборот больше таких же сторон зеленого треугольника DЕМ «лошадки»:

DЕ_{оранжевого}>DЕ_{зеленого}или 3 см 5 мм > 2 см,

ЕМ_{оранжевого}>ЕМ_{зеленого}или 5 см > 3 см,

МD_{оранжевого}>МD_{зеленого}или 3 см 5 мм > 2 см,

Таким образом, увеличивая или уменьшая длину сторон загибаемых деталей можно изменить форму всей фигуры оригами в целом.

2.3.Некоторые примеры связи математики и оригами.

Согласно классическому оригами, объектом складывания является неразмеченный квадратный лист бумаги без разрезов.

Складывание состоит из определенных действий по следующим правилам:

Линия определяется либо краем листа, либо линией сгиба бумаги.
Точки определяются пересечениями линий.
Все складки определяются единственным образом путем совмещенияразличных элементов листа — линий или точек.
Сгиб формируется единственной складкой, причем в результатескладывания фигура остается плоской.

В процессе складывания фигур оригами мы учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике.

Современное применение оригами:

В наше время ученые придумали использовать приёмы оригами в космосе, при развертывании больших установок солнечных батарей на космических спутниках. Первоначально эта технология применялась для складывания бумажных документов, карт местности. Такая карта в сложенном виде представляет плоскую фигуру, но ее можно развернуть и свернуть одним движением,

Жёсткое оригами – это метод, позволяющий разворачивать и сворачивать большие поверхности одним движением руки.

Конечно, сворачивать бумагу в несколько слоёв умеет любой человек, но метод жесткого складывания позволяет быстро развернуть даже большие размеры при любых условиях, например, при ветре или в космосе.

Этот метод используют не только учёные, но и дизайнеры при создании необычного декора, например, стен, штор или светильников.

Методы оригами использовались в разработке специальных подушек безопасности.

При конструировании космического телескопа оригами помогло ученым разработать метод установки огромной линзы в небольшого размера ракете и развернуть эту линзу уже в космосе и, при том, так, чтобы не осталось каких-либо складок или меток на линзе.

Заключение.

Как наглядное средство лист бумаги применяется в обучении математике с давних пор. Но на уроках математики важно не то, какую фигурку мы сложили из бумаги, а наоборот. Разверните любую бумажную поделку. Линии сгиба образовали треугольники, квадраты, четырехугольники… К тому же, разворачивая поделку, можно наблюдать преобразование объемной фигуры в плоский лист бумаги. А значит, упражнения с листом бумаги позволяют знакомиться с различными геометрическими фигурами и изучать их простейшие свойства.

Исходя из всего вышеизложенного мною, я могу сделать выводы:

искусство оригами тесно связано с математикой и помогает ее изучать;
данная тема дает большие возможности для проявления исследовательских и творческих умений при решении задач.

Гипотеза, которую я ставил в начале работы «Математика - это одна из сторон оригами и наоборот, оригами является одной из направляющих математики», подтвердилась.

Мне было очень интересно работать над данной темой. В дальнейшем я продолжу свою работу, так как это мне поможет находить новые способы решения некоторых задач, а также изучать геометрию.

Список литературы

Сундара Роу. Геометрические упражнения с куском бумаги. — Матезис. два издания 1910 и 1923
«Азбука оригами» Соколова С., - М.: Эксмо; СПб.: Домино, 2004 г., 432 с.
Такахаси Коки «Оригами – это математика!»
Оригами для самых маленьких «Домашние зверята», серия «Десятое королевство» (набор моделей со схемами)
Оригами. Смирнов Д.С. – М.: Издательство АСТ, 2016 – 128 с. (Шкатулка рукоделия)
Оригами. Животные /сост. В.Ю. Гаврилова. – Издательство «Ранок», 2013 – 48 с. (Альбом для творчества)
Интернет-ресурсы:

https://pikabu.ru/story/tekhnika_origami_matematika_origami_pravila_fudzityi_origami_i_kosmos_miuraorihttps://ru.wikipedia.org/wiki

http:// www.origami – do.ru

http://web-japan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature09.html

http://bozhoklv.ucoz.ru/blog/kak_vozniklo_i_razvilos_origami/2015-09-17-40

http://bozhoklv.ucoz.ru/

Просмотров работы: 8652

Научно-исследовательская работа "Оригами и математика"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Истоминская основная общеобразовательная школа»

Научно – исследовательская работа

по математике на тему: «Оригами и математика»

Выполнила: ученица 6 класса

Сабанова Татьяна Михайловна

Научный руководитель:

Елфимова Светлана Владимировна

г. Балахна

2017 год

Содержание

Название стр.

Введение……………………………………………….………………………….3

Глава 1: Искусство оригами ……………………….………………………….4

1.1.Из истории оригами……………………………………………... 4

1.2.Азбука оригами………………………………………. ……...... 5

1.3.Базовые формы оригами……………………………………. 7

1.4. Виды и техника оригами …………………………………… 10

Глава 2: Оригами – это математика..…….……………………………… 12

2.1.Поисковая работа……………….…………………………… 12

2.2.Некоторые примеры связи математики и оригами……… 15

2.1. Анкетирование …………………………………………………19

Заключение………………………………………………………...………… 21

Список использованной литературы…………………………………….…22

Введение.

Оригами – удивительное, загадочное искусство. Практически каждый человек знаком с оригами, хотя не каждый из нас слышал это иностранное слово. Еще наши бабушки и дедушки делали из бумаги и картона самые различные вещицы: кораблики, самолетики, бумажные шляпы и кепки.
Мне тоже захотелось узнать об этом интересном искусстве.

Я заметила, что, складывая фигурки оригами, сталкиваюсь с математическими понятиями. Мне стало интересно, как связаны таинственное оригами и давно интересующая меня математика.

Актуальность исследования состоит в том, что в последнее время учащиеся с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике. Своей работой я хотела показать, что математика интересная, творческая наука и при помощи оригами из листа обычной бумаги можно не только творить самые невероятные вещи, но и делать различные геометрические построения без циркуля и линейки.

Цель данной работы: установить взаимосвязь искусства оригами и науки математики.

Задачи:

- изучить литературу и другие источники информации по данному

вопросу;

- изучить историю оригами, основные этапы развития оригами;

- рассмотреть базовые формы и приемы оригами;
- провести анкетирование среди учащихся школы;

- исследовать связь математики и оригами;

-научиться изготовлять оригами

Проблема: может ли оригами помочь в успешном усвоении математики.

Объект исследования: фигуры-основы для оригами.

Предмет исследования: свойства геометрических фигур.

Методы исследования: изучение литературы, анализ, сравнение.

Практическая значимость: эту работу можно использовать на уроках математики, во внеурочной деятельности.

Гипотеза: Оригами позволяет получить новые свойства известных нам геометрических фигур, решать некоторые геометрические задачи.

Глава 1. Искусство оригами

1. Из истории оригами

Каждая страна приняла оригами по-своему, в соответствии со своими культурой и традициями.

Складывая оригами, люди часто задаются вопросом: «А почему квадрат? И почему нельзя резать?»

1.2. Азбука оригами.

В международной литературе про оригами давно сложился определенный набор условных знаков, необходимых для того, чтобы зарисовать схему складывания даже самого сложного изделия. Условные знаки играют роль своеобразных "нот", следуя которым можно воспроизвести любую работу. Помимо знаков, существует небольшой набор приемов, которые встречаются достаточно часто. Обычно они даются в книгах без комментариев. Считается, что любой новичок умеет выполнять их на практике. Международные условные знаки вместе с набором несложных приемов и составляют своеобразную "азбуку" оригами, с которой должен быть знаком любой складыватель. Большая часть условных знаков была введена в практику еще в середине XX века известным японским мастером Акирой Йошизавой. В последние десятилетия к этим знакам добавилось несколько новых.

2.3. Базовые формы оригами.

Сегодня в мире существует целых 11 базовых форм.

Простые базовые формы: треугольник, книга, дверь, воздушный змей.

Книга

Дверь

Воздушный змей

Средние базовые формы: блин, рыба, двойной треугольник, двойной квадрат.

Блин

Рыба

Двойной треугольник

Двойной квадрат

Сложные базовые формы: птица, катамаран, лягушка.

Птица

Катамаран

Лягушка

2.4. Виды и техника оригами

Модульное оригами

Простое оригами

Складывание по развёртке

Развёртка (англ. creasepattern; паттерн складок) — один из видов диаграмм оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели. Складывание по развёртке сложнее складывания по традиционной схеме, однако, данный метод даёт не просто информацию, как сложить модель, но и как она была придумана — дело в том, что развёртки используются при разработке новых моделей оригами. Последнее также делает очевидным факт отсутствия для некоторых моделей иных диаграмм, кроме развёртки.

Мокрое складывание

Глава 2 . Оригами – это математика!

Как связано искусство оригами и точная наука математика? Этот вопрос я решила изучить.

2.1. Поисковая работа.

Базовая модель

«Книга»

Линия, квадрат, прямоугольник, деление листа на две равные части, прямой угол.

«Треугольник»

Квадрат , диагональ , треугольник, равные углы.

«Блин»

Квадрат, диагональ, угол, центр, треугольник.

«Дверь»

Квадрат, деление листа на две и четыре равные части.

Я могу сделать вывод, что при работе с оригами следует знать следующие фигуры:

Прямая, квадрат, треугольник, угол, ромб.

При работе с оригами следует знать следующие фигуры:

Прямая, квадрат, треугольник, угол, ромб.

В результате складывания геометрических фигур я обнаружила новые свойства некоторых фигур:

Известные свойства

геометрических фигур

Новые свойства

геометрических фигур

Квадрат

Все стороны равны
Все углы прямые

1.Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, делят углы квадрата пополам.

2. Имеет 4 оси симметрии

Треугольник равнобедренный

Две стороны равны
Углы при основании равны

1.Линия сгиба равнобедренного треугольника является высотой, медианой и биссектрисой

Треугольник прямоугольный равнобедренный

1.Имеет 1 прямой угол

Линия сгиба является биссектриса, высота и медиана
Углы при основании равны

Прямоугольник

Противоположные стороны попарно равны
Все углы прямые

Имеет две оси симметрии, которые делят против стороны пополам
Угол между осями прямой, оси взаимно перпендикулярны

Ромб

Все стороны равны
Углы противоположные равны

Диагонали взаимно перпендикулярны, делят углы пополам
Диагонали делят его на 4 равных прямоугольных треугольника
Каждая диагональ делит ромб на 2 равных треугольника

2.2. Некоторые примеры связи математики и оригами.

Линия определяется либо краем листа, либо линией сгиба бумаги.
Точки определяются пересечениями линий.
Все складки определяются единственным образом путем совмещения
различных элементов листа — линий или точек.
Сгиб формируется единственной складкой, причем в результате
складывания фигура остается плоской.

Задача №1. Методом оригами разделить один из углов квадрата на три равных угла. Оригамское решение.

1. Наметьте сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам.

2. Совместите вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точкой, намеченной линией сгиба.

3. Перегните левую верхнюю часть фигурки и вернитесь в исходное положение квадрата.

4. Проверьте результат. Вершина левого нижнего угла квадрата линиями сгиба разделена на три равных угла.

Задача №2. Построить правильный треугольник. Оригамское решение:

Задача №3. Построить правильный пятиугольник Оригамское решение:

Задача №4. Построить правильный шестиугольник. Оригамское решение:

Как разделить квадратный лист бумаги на три равные части?

Уважаемые члены жюри, попробуйте это сделать вместе со мной, не используя ни карандаша, ни линейки.

Сложите квадрат пополам (складка «долиной», базовая модель «книга»), получается два прямоугольника.
Разогните квадрат, сложите его по диагонали (базовая модель «треугольник»)

Разогните квадрат, правый прямоугольник сложите по диагонали.
Разогните правый прямоугольник. Точка пересечения диагонали самого квадрата и диагонали правого прямоульника будет делить квадрат на 1/3 часть. Использую эту точку, сложите правую сторону квадрата, ориентируясь на наложение верхних и нижних линий.
Оставшуюся часть квадрата сложите пополам.
Разогните квадрат и вы увидите, что он разделён ровно на 3 части.

1. Анкетирование.

Я провела анкетирование среди учащихся нашей школы (5-6 классы, 24 чел.)

Цель анкетирования – узнать насколько известна и интересна выбранная мной тема учащимся нашей школы.

Знаете ли вы что такое оригами?

Умеете ли вы изготавливать поделки из оригами?

Хотели бы вы научиться изготавливать поделки из оригами?

Известно ли вам, что оригами и математика взаимосвязаны?

Заключение.

Как наглядное средство лист бумаги применяется в обучении математике с давних пор. Но на уроках математики важно не то, какую фигурку вы сложили из бумаги, а наоборот.

Разверните любую бумажную поделку. Линии сгиба образовали треугольники, квадраты, четырехугольники.

А значит, упражнения с листом бумаги позволяют знакомиться с различными геометрическими фигурами и изучать их простейшие свойства.

Оригами:
- учит различным приемам работы с бумагой;
- развивает способность работать руками;
- учит концентрации;
- знакомит с основными геометрическими понятиями;
- развивает пространственное воображение, художественный вкус и творческие способности.

Исходя из всего вышеизложенного мною, я могу сделать выводы:

искусство оригами тесно связано с математикой и помогает ее изучать;

данная тема представляет большие возможности для проявления исследовательских и творческих умений при решении задач. ….

В ходе выполнения работы я узнала новые свойства известных геометрических фигур, научилась выполнять изделия из оригами, узнала интересные исторические факты.

Гипотеза, которую я ставила в начале работы «Оригами позволяет получить новые свойства известных геометрических фигур, решать геометрические задачи», подтвердилась.

Процесс оригами трудоемкий и сложный. Но именно поэтому он способен отвлечь от повседневных забот и уныния и перенести в страну Творчества, в которой не существует никаких ограничений.

Список литературы.

1. Выгонов В.В. Трехмерное оригами.- М.: Издательский Дом МСП, 2007

2. Ильина Н.К. Оригами. Необычные модели для развития фантазии.-М.:РИПОЛ классик, 2012

3. Сержантова Т.Б.Оригами. Лучшие модели / Т.Б. Сержантова . – М.:Айрис-пресс, 2010

4. Эм Г.Э. Путешествие в страну Оригами. Пособие для учителей и родител

5. Юрина Н. Г. . По книге “Я познаю мир”, 2004

6. //Математика в школе//№9, 2011

7. //Математика. Все для учителя! //№11(35), 2013

8. Интернет-ресурсы:

http:// www.origami – do.ru

http:// www.origami .ru

Оригами -это математика исследовательская работа

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение Верх-Ненинская средняя общеобразовательная школа

Проект на тему:

«Оригами - это математика!»

Работу выполнила: Ученица 8 класса

Ярковая Таисия.

Руководитель: учитель математики

Ярковая М.А.

2015г.

Содержание.

Введение……………………………………………………………………3

1.История оригами…………………………………………………………4

2.Оригами-это математика………………………………………………...6

3.Оригаметрия………………………………………………………………8

4.Применение оригами…………………………………………………….14

Заключение………………………………………………………………....16

Использованная литература………………………………………….........17

Приложения………………………………………………………………...18

Введение.

Многие удивляются, услышав слово «оригами». «А что это такое?» — спрашивают они. Между тем каждый человек наверняка хоть раз в жизни создавал самое простенькое изделие из квадратного листа бумаги — это кораблик или самолетик. А в те времена, когда в магазинах не было такого выбора соломенных шляп и панам, люди летом нередко сооружали себе «пилотку» из газеты. И бумажные кораблики, и пилотка сделаны по принципу «оригами».

Цель:

Изучить происхождение оригами и связь этого искусства с математикой.

Задачи:

1. Изучить историю развития оригами.

2. Проанализировать связь оригами и математики на примере основных элементов азбуки оригами, доказательств теорем, решения математических задач.

3. Спрогнозировать развитие оригами в будущем

Оригами - удивительное искусство бумажной пластики. Оригами это японское искусство складывания бумаги, образовано от японского oru (складывать) и kami (бумага). Сегодня множество людей во всем мире увлекаются искусством «оригами». Бумажные фигурки делают дети и взрослые, художники и конструкторы. Его даже преподают в школах, о нем пишут книги и выпускают журналы с интересными статьями и описанием различных моделей. Я заметила, что, складывая фигурки оригами, сталкиваемся с математическими понятиями.

Гипотеза: Помогает ли оригами изучать математику?

Актуальность:

В последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике. Чтобы привлечь внимание учащихся к математике я решила в своём проекте показать, что математика – это творческая наука.

Объект исследования:

Предмет исследования:

Методы исследования:

Поиск информации из различных источников.
Анализ связи программного материала с элементами техники оригами.
Практические работы.

Меня заинтересовало как оригами может бать связано с математикой и я решила немного об этом узнать. Сейчас я вам расскажу все что узнала об этой связи.

1. История оригами

Знакомство с оригами следует начинать с древней истории. Именно там, в Древнем Китае, в 105 году нашей эры появились первые предпосылки для возникновения оригами- искусства складывания любых фигурок из квадратного листа бумаги без использования ножниц и клея.

Как свидетельствует история, в том знаменательном году чиновник Цай Лунь сделал официальный доклад императору о том, что создана технология производства бумаги. Многие десятилетия под страхом смертной казни китайцы хранили тайну создания белого листа. Но со временем, когда монахи Китая начали свои путешествия в Японию, вместе с ними стали путешествовать, и некоторые тайны этой страны. В 7 веке странствующий буддийский монах Дан-Хо, о котором современники говорили, что он богат знаниями и умеет делать тушь и бумагу, пробирается в Японию и обучает монахов изготавливать бумагу по китайской технологии. Очень скоро в Японии сумели наладить свое массовое производство бумаги, во многом обогнав Китай.

Первые листочки бумаги, сложенные в необычные фигурки появляются сначала в монастырях. Иначе и быть не могло. Ведь в японском языке понятия "Бог" и "Бумага" звучат одинаково, хотя и обозначаются разными иероглифами. Фигурки из бумаги имели символическое значение. Они становились участниками религиозных церемоний. Украшали стены храмов. Помещались на жертвенный костер. До наших дней дошли одни из первых фигурок из бумаги - коробочки "санбо", в которые японцы вкладывали кусочки рыбы и овощей, поднося их в качестве жертвоприношений. Но это еще не было искусство. Просто лист бумаги, очень ценный и дорогой, несущий в себе имя Бога, становился неотъемлемой частью жизни японца.

В средние века, когда производство бумаги позволило снизить на нее цену, искусство складывания проникло в быт дворянства. И тогда появилось искусство самураев. В те времена считалось признаком хорошего воспитания умение богатого дворянина развлечь свою даму на балу складыванием бумажных фигурок. Тогда же возникло и искусство сворачивания тайных писем. Используя свое умение, самураи так складывали свои записки, что только посвященный мог развернуть его. Кроме того, оригамные фигурки часто использовали в свадебной церемонии, украшении домов или праздничных шествиях.

Со временем оригами (а этот термин возникает только в 1880 году) становится обязательным занятием во многих японских семьях. Мамы передавали свои знания дочкам, показывая немногие известные им фигурки.

Возрождение оригами так же тесно связано со страшной трагедией, произошедшей 6 августа 1945 года, когда «люди» решили испытать атомную бомбу на человеке, подписав смертный приговор городу Хиросима. Последствия чудовищного эксперимента были ужасны: из 420 тысяч жителей города погибло 80 тысяч. В течение 20 лет от последствий облучения умерло еще 200 тысяч человек. Среди погибших было много детей.

В память о жертвах атомной бомбардировки в Хиросиме заложили парк Мира. В мае 1958 года там был открыт монумент, посвященный погибшим детям. Памятник изображает бомбу, на вершине и по бокам которой размещены фигуры детей с поднятыми к небу руками.

Именно тогда среди детей, обреченных на гибель, возникло поверье о свободной птице, символе жизни - журавлике. Дети искренне верили, что, смастерив из бумаги 1000 журавликов, они исцелятся, останутся живы. Двенадцатилетняя девочка, чья смерть послужила поводом для сооружения памятника, успела сделать только 644 журавлика. Удивительная детская солидарность волной прокатилась по всем странам мира. Япония стала получать миллионы посылок со всех континентов с бесценным грузом - бумажными журавликами, собранными в гирлянды по 1000 штук. Эти гирлянды и сегодня украшают памятник и являются протестом войне и укором взрослым.

2. Оригами – это математика!

Складывая базовые формы оригами, я совершенно незаметно для себя повторила некоторые геометрические понятия: квадрат, прямоугольник, треугольник, ромб. То есть некоторые базовые формы это геометрические фигуры, значит это ещё одна из точек прикосновения оригами с математикой.

Например:

Ромб:

Книжка (имеет форму прямоугольника):

Треугольник:

Блин:

Двойной квадрат:

Первые попытки использовать оригами в педагогической практике в Европе справедливо связывают с именем немецкого гуманиста Фридриха Вильгельма Августа Фребеля (1792-1852). Именно он в начале XIX века начал создавать детские сады, а затем и школу. Фребель считал Природу лучшим учителем. Он сам сначала был лесником, очень любил и ценил природу и поэтому не хотел, чтобы в школе дети занимались зубрёжкой. Фребель считал, что жизнь, движение и знание – есть три главные составляющие развития Человека. Его теория взглядов на образование и развитие личности включает в себя 4 главных компонента:

1. Свободная активность.

2. Творчество.

3. Участие в жизни общества.

4. Мышечная активность.

Например, основы геометрии он предлагал изучать не с помощью циркуля, линейки и некоторых понятий, а на примере фигур складывающейся бумаги. Он активно внедрял оригами в педагогический процесс. К сожалению тогда Фребель не владел такой, как в настоящее время, техникой складывания фигур. Но система его детских садов выжила, уже в 1892 году в Англии был основан специальный Фребелевский колледж, были они и в Америке, Японии, во многих странах Азии.

3.Оригаметрия.

В конце XX века возник новый термин «оригаметрия», обозначающий область геометрии, в которой задачи решаются только методом складывания, эта область очень молодая, и пока не существует ни соответствующих программ, ни учебников, которые давали бы подобный материал систематически. Вместе с тем многие понятия курса геометрии в школе гораздо проще и нагляднее объясняются с помощью оригаметрии.

Для построения теории используется система аксиом. Действительно, аксиомы оригаметрии существуют! Их предложил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита. Таких аксиом, с его точки зрения, всего шесть.

Аксиома 1. Существует единственный сгиб, проходящий через две данных точки.

Аксиома 2. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.

Аксиома 3. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные прямые.

Аксиома 4. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой.

Аксиома 5. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую.

Аксиома 6. Существует единственный сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных пересекающихся прямых.

В 2002 году японский оригамистКошироХатори обнаружил сгиб, который не описан в аксиомах Х. Хузита.

Аксиома 7. Для двух данных прямых и точки существует линия сгиба. Перпендикулярная первой прямой и помещающая данную точку на вторую прямую.

Доказательство теорем с помощью оригами.

Теорема 1.Суммауглов любого треугольника равна 180 градусов.

Доказательство. Возьмем лист бумаги, имеющий форму произвольного треугольника.

1) Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярно противоположной стороне (высоту треугольника).

2) Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника.

3)Получаем, что углы 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом, следовательно, сумма углов равна 180 градусов.

Теорема 2. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Доказательство. 1) Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие

углы- углы 1 и 2.

2) Совместим вершины накрест лежащих углов- точки А и В.

3)Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, угол 1 равен углу 2. Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Задача: Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника АВС и перпендикулярная AD, пересекает сторону АС в точке М. Доказать, что MD //AB Решение: Возьмем лист бумаги, имеющий форму производного треугольника. Проведем биссектрису AD, согнув лист так, чтобы сторона АС совместилась со стороной АВ. Наметим середину АD, совместив точки А и D. Проведем ОМ, перпендикулярнуюAD. Согнем лист по линии MD.Для доказательства параллельности MD и АВ сравним углы 1 и 3, для этого согнем лист по AD и совместим точки А и D. Углы 1 и3 совпали, а они накрест лежащие ,следовательно, MD // AB.

Оригаметрические задачи.

Складывание оригами помогает решать задачи на темы: деление отрезка, деление угла. Таким образом, с помощью оригами решаются геометрические задачи на плоскости, значит это ещё одна из точек прикосновения оригами с математикой.

Например:

Задача №1: Деление прямого угла:

Откладывание угла в 30 или 60 градусов не представляет проблем. Для этого сначала разделим квадрат вертикальной складкой на два равных прямоугольника. Затем проведем складку, которая переносит угол квадрата на отмеченную линию.

Угол в 15 градусов теперь можно получить, деля полученные углы в 60 и 30 градусов пополам.

Задача №2: Деление листа бумаги на равные части:

Деление листа бумаги на две части не представляет сложности, поскольку реализуется просто складыванием базовой формы книжка

Следующая задача – деление стороны квадрата на четыре равные части. Для этого достаточно их поделить пополам, а затем, каждую из половинок снова пополам. Именно так происходит, когда мы складываем базовую форму дверь.

Перейдем к более сложной задаче деления квадратного листа на три части:

Эта задача уже не столь проста. Сложим угол квадрата к середине противоположной стороны. В таком случае точка пересечения другой стороны, противоположной этому углу и стороны, прилегающей к нему, делит сторону в отношении один к двум. Таким образом, с помощью только складок мы нашли треть стороны квадрата (теорема Хага).

Задача №3: Способы изготовления из квадрата правильных многоугольников:

Правильный пятиугольник:

Правильный восьмиугольник

4. Применение оригами.

Миура-ори — схема жёсткого складывания.

Для меня стало открытием, что оригами находит применение и в других науках, а также широко используется в современных технологиях. Например, в 1970 году японским астрофизиком Корио Миура на основе техники жесткого оригами была разработана схема складывания «миура-ори», которая используется сегодня для развёртывания установок солнечных батарей на космических спутниках.

Также используется для складывания бумажных документов, в частности карт местности.

В отличие от обычных методов складывания карт, складки миура-ори расположены не под прямыми углами, а слегка наклонено по отношению друг к другу

В результате, такую карту можно развернуть и свернуть одним движением, а отсутствие многослойных складок уменьшает нагрузку на бумагу (Рис.22).

Оригами в нашей жизни.

Сегодня искусство оригами переживает очередной пик популярности во всем мире, к тому же открыты новые направления оригами и области его применения. Так, математики используют основы и принципы этого искусства для решения геометрических задач, а архитекторы и строители увидели в оригамном конструировании возможности для создания многогранных структур из плоского листа. Для психологов оригами - это одно из направлений арттерапии, так как оригами в состоянии воздействовать на эмоциональную сферу человека.

А сколько идей из оригами нас окружает в жизни!

Оригами – дом

Оригами – мебель

Заключение.

Японское искусство оригами очень широко вошло в нашу российскую жизнь и стало неотъемлемой частью для интеллектуального и познавательного развития. По результатам анкетирования в нашей школе как учителя, так и ученики считают, что оригами способствует в первую очередь развитию математических качеств (наблюдательность, внимание и произвольность, логическое и пространственное мышление, точность и аккуратность) человека. Это умение необходимо как на основных уроках - математика (геометрия, стереометрия), ИЗО, труд, так и на дополнительных элективных занятиях, кружках.(приложение 1)

Учащиеся 7 класса нашей школы ко Дню матери делали для мам лилии из бумаги. Я им с радость помогала. Делая цветы мальчики столкнулись с геометрическими понятиями и этим были очень удивлены. Им понравилось заниматься оригами. Ведь оригами-это не только интересное искусство, но еще и искусство помогающее изучать математику. Значит наша гипотеза верна, поэтому можно с уверенностью сказать, что математика - это одна из сторон оригами, и наоборот, оригами является одной из направляющих математики.

Использованная литература:

Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Все об оригами/Справочник. С-Пб: изд.Кристалл, М: «Оникс», 2005
Белим С.Н. Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998
Весновская О.В. Оригами: орнаменты, кусудамы, многогранники. -Чеб.: изд. «Руссика», 2003
Дорогов Ю.И., Дорогова Е.Ю. «Оригами шаг за шагом», 2008
Интернет-ресурсы: http://www.origami.kulichki.ru/modules.php?name=Pages&go=page&pid=2

http://www.origami.ru

http://fine.ap.teacup.com/foldings/

http://leit.ru/

http://ru.wikipedia.org/wiki/Оригами

Приложения.

Приложение 1.

Анкетирование.

В анкетировании приняли участие: 1 класс – 24 человек, 6 класс – 20 человек, 11 класс – 21 человек, педагоги - 23 человек.

Знакомы ли вы с оригами? (да, нет)

Какие фигуры оригами вы умеете делать? (перечислить)

Какие качества может развивать у ребёнка оригами?

С какими школьными предметами по вашему мнению связано оригами? (перечислить)

Оригами и математика

Итак, вы интересуетесь оригами и математикой ... возможно, вы учитель математики средней школы или K-8, или ученик математики делает отчет по предмет, или, может быть, вы всегда интересовались обоими и никогда не делали связь, или, может быть, вам просто любопытно. Оригами действительно есть много образовательных льготы. Если вы студент, учитель или просто случайный серфер, я изо всех сил старался ответить на ваши вопросы, поэтому, пожалуйста, прочтите на.

CheapWritingHelp.com - письменный сервис по доступным ценам - это доступны 24/7 онлайн, чтобы предоставить студентам индивидуальные эссе, научные статьи и диссертации по математике.

Так как же именно оригами и математика связаны друг с другом? В связь с геометрией ясна и вместе с тем многогранна; сложенная модель одновременно и произведение искусства, и геометрическая фигура.Просто разверните и возьмите смотреть! Вы увидите сложный геометрический узор, даже если модель вам в сложенном виде был простой. Начинающий изучающий геометрию может захотеть выяснить типы треугольников на бумаге. Какие углы можно увидеть? Какие формы? Как эти углы и формы попали туда? Вы знали что вы складывали эти углы или формы во время самого складывания?

Например, когда вы складываете традиционную основу водяной бомбы, вы создали узор сгиба из восьми совпадающих прямоугольных треугольников.В традиционная основа для птиц создает рисунок складок с множеством других треугольники и все перевернутые складки (например, та, что создает птичий шея или хвост) создает еще четыре! Любая основная складка имеет связанный геометрический узор. Возьмите складку для сквоша - когда вы сделаете эту складку и посмотрите по образцу складки вы увидите, что вы разделили угол пополам, дважды! Можете ли вы придумать похожие отношения между складкой и что-то знаешь по геометрии? Вы можете почерпнуть еще больше идей из этого презентация по Оригами: В создании геометрии в классе.

С другой стороны, если вы любитель головоломок, несколько отличных оригами проблемы, которые вы могли бы нравится пытаться решить. В этих головоломках нужно сложить лист бумаги так, чтобы возникают определенные цветовые узоры, или форма определенной области полученные результаты. Но продолжим с узорами складок ...

Оригами, геометрия и теорема Кавасаки

Более продвинутый студент или учитель геометрии может захотеть более подробно изучить взаимосвязь между математикой и оригами.Вы можете взглянуть на эту геометрию упражнения, чтобы получить вас начал. Например, традиционный кран (или другой комплект диаграмм) в разложенном виде дает узор складок, по которому мы можем многому научиться. Укажите точку (вершину) на шаблоне складки. Сколько складки берут начало в этой вершине? Возможно ли плоское оригами модель должна иметь нечетное количество складок, выходящих из вершины на ней узор складки? Как насчет отношений между горой и долиной складки? У вас может быть вершина только со складками долины или только гора? складки?

Как насчет углов вокруг этой точки? Вы действительно можете произвести впечатление ваш учитель (или ваши ученики) с этим... конечно, нужно понимать это первый! Существует Теорема называется КАВАСАКИ ТЕОРЕМА , которая гласит, что если углы, окружающие единственная вершина в плоском шаблоне складки оригами - это ₁, а ₂, а ₃, ..., а _2н, затем:

а ₁ + а ₃ + а ₅ + ... + a _2n-1 = 180

а ₂ + а ₄ + а ₆ + ... + a _2n = 180

Другими словами, если вы сложите угловые измерения каждого другого угол вокруг точки, сумма будет 180. Попробуйте и убедитесь!

Вы видите, что это правда, или, что еще лучше, можете это доказать?

Прямой край и компас против оригами и аксиом Хузиты

Хотя о шаблонах складок нужно многое понять, само оригами - это процесс складывания бумаги, который математически может следует понимать с точки зрения геометрической конструкции.Самый известный конструкция представляет собой конструкцию "прямой край и компас", которая относится к геометрическим операциям, которые могут быть образованы только этими двумя инструменты (обратите внимание, что линейка , а не линейка с разметкой длины). Как известно, конструкции SE&C могут быть охвачены (без каламбура) четырьмя основными аксиомами, впервые определенными Евклидом, более 2000 лет назад. Также хорошо известно, что есть некоторые операции, которые невозможны при наличии только линейки и компас.Две такие операции - это деление угла на три части и удвоение куба. (нахождение кубического корня из 2).

Но вернемся к конструкции оригами ... конструкция оригами определяется как те геометрические операции, которые можно образовать, сложив кусок бумагу, используя необработанные края и концы бумаги, а также любые последующие линии и точки сгиба, созданные при складывании. Что такое завораживает то, что конструкция оригами, хотя на первый взгляд может показаться менее мощный, чем SE&C, на самом деле более мощный, что позволяет деление угла на три части, а также удвоение куба.В математик Хумиаки Хузита разработал шесть аксиом (а позже и седьмую) на основе конструкции оригами. Я не буду здесь вдаваться в подробности, так как ниже приведены ссылки на несколько сайтов, которые очень тщательно описания Аксиом Хузиты:

Аксиомы Хузиты, любезно предоставлено Википедией
Обзор Оригами Тома Халла и геометрическое построение, которое дает отличные описания и упражнения для 5-й и 6-й аксиом, а также описания как разрезать угол и удвоить куб с помощью складывания
Страница Коширо Хатори о строительстве оригами описывает Шесть аксиом Хузиты, а также седьмая аксиома, которую Хатори-сан обнаружил!
Кристиан Лавуа разработал вычислительную модель оригами для курс вычислительной геометрии в Университете Макгилла в 2002 г.В виде фон для этого проекта она предоставляет аксиомы оригами вместе с графики и уравнения.

Что особенно замечательно во всем этом, так это то, что эти аксиомы не только теоретические - они были реализованы на практике! Роберт Ланг программа оригами, ReferenceFinder, использует все семь аксиом. ReferenceFinder - это программа, которая находит последовательности складывания, чтобы приблизительно найти любую точку квадрата с помощью небольшое количество складок.

Оригами и топология

Изучение оригами и математики можно классифицировать как топология, хотя некоторые считают, что она более тесно связана с комбинаторика, а точнее теория графов. Я дам пример теоремы оригами, которую можно увидеть с обеих сторон посмотрим, но сначала немного о топологии.

Связь с топологией менее ясна, чем связь с геометрией, вероятно потому, что большинство людей гораздо менее знакомы с это поле.Если вы студент, изучающий оригами и математику, вы может снова произвести впечатление на вашего учителя, показывая, что вы знаете, какая топология есть, и как это связано с оригами.

Итак, что такое топология? Вот короткое и своеобразный ответ, но вы действительно должны прочитать Нила Подробный ответ Стрикленда с фотографиями. Важно, чтобы вы понимать, что геометрия и топология очень разные. Топология иногда называют «геометрией резинового листа», что означает, что в топологии растягивание объекта или изменение его формы не повлияет на него (пока так как вы не делаете дыр и не заделываете дыры).Топологу, чашка кофе и пончик - это одно и то же, а геометр видит их как полностью отличается.

Если вы прочитали ответ Нила, вы заметили, что он упомянул метро карта, которая представляет собой просто сеть точек, соединенных линиями, как оригами складки! Нам может помочь изучение выкройки складок оригами узнать о сетях, таких как метро и телефонные сети, и о том, как сделать их быстрее и эффективнее. Но не верьте мне на слово.Томас Халл, доцент математики в колледже Мерримак в г. Северный Андовер, Массачусетс, является экспертом в области оригами и топология. Том в настоящее время преподает курс комбинаторной геометрии, и вы можете просмотреть программу курса и задания. Если вы хотите провести более глубокое исследование в это поле, первым делом вам нужно связаться с Томом. Его Веб-сайт был даже упомянутый в рассказ на ABCnews.com!

Теперь вернемся к теореме оригами, о которой я упоминал ранее. можно увидеть с двух точек зрения.

Теорема: Каждый плоский складной узор сгиба можно раскрасить в 2 цвета.

Другими словами, предположим, что вы сложили модель оригами, которая лежит плоский. Если полностью развернуть модель, то рисунок складки, который вы увидит имеет особое свойство. Если вы хотите раскрасить регионы ваш узор складки с разными цветами, чтобы не было двух граничащих областей того же цвета, только у вас нужно два цвета .Это может напомнить вам о знаменитом картографе проблема: какое наименьшее количество цветов нужно для раскраски стран на карте (опять же, чтобы две соседние страны не совпадали цвет)? Это известно как Четыре Теорема о цвете, поскольку ответ - четыре цвета. Как интересный Кроме того, эта теорема была доказана в 1976 году американскими математиками Аппелем. и Хакен с помощью компьютера проверил тысячи различных случаев участвует. Ты можешь научиться если хотите, подробнее об этом доказательстве.

Но вернемся к нашей теореме . Вы видите, что вам нужно всего два цвета, чтобы раскрасить складку? Пытаться это сами! Вы увидите, что все, что вы сбрасываете (пока оно лежит плоский) потребуется всего два цвета для раскраски областей на складке шаблон.

Вот простой способ увидеть это: сложите что-нибудь плоское. В настоящее время раскрасьте все области, обращенные к вам, красным, а те, которые обращены к стол синий (не забудьте покрасить только одну сторону листа).Когда ты разверните, вы увидите, что у вас правильная 2-раскраска!

Предупреждение ... этот раздел становится еще сложнее! Более строгий Доказательство выглядит следующим образом: сначала покажите, что каждая вершина в вашей складке узор имеет четную степень (степень - это количество выходящих складок каждой вершины - мы обсуждали это ранее!). Тогда вы знаете складку pattern - это эйлеров граф, то есть граф, содержащий путь, начинается и заканчивается в одной и той же точке и проходит вдоль каждого края (например, путь называется эйлеровым циклом). Не попробуйте доказать это, если вы не опытный математик! Наконец, хорошо известно, что эйлеровы графы 2-раскрашиваемы.

Хммм ... Я начал с обещания результата, который можно рассматривать как как комбинаторные, так и топологические. Мы поняли? Что ж, результат явно комбинаторный, поскольку это теория графов. Как результат топологический? Что ж, 2-раскраска дает нам простой способ определение ориентации каждой области, которую мы раскрашиваем.Все регионы окрашенные в синий цвет будут направлены вверх (или вниз), а все области, окрашенные в красный цвет будет смотреть в противоположную сторону. Попытайся! На этот раз сложите модель, разверните и раскрасьте области сгиба красным и синим. Теперь переверните модель и убедитесь сами!

Другие ресурсы

Большинство людей не осознают, сколько информации по этой теме математики и оригами.На сайте опубликованы книги и статьи. тема, презентации, а также международная конференция называется «Международное собрание науки и техники оригами». В Фактически, многие создатели и авторы оригами здесь, в США и за рубежом математики, физики и другие ученые. Я думаю о такие люди, как Роберт Ланг, Дзюн Маэкава, Тошиказу Кавасаки и Томас Корпус. Еще одна математическая фигура оригами без формальной математики обучение Крис Палмер (также см. статья про Криса), создателя цветка башня (см. рисунок).

Что касается книг, то первое, что приходит в голову - это набор книг. Рона Гуркевиц и Беннетт Арнштейн: 3D Геометрическое оригами: Модульные многогранники , Модульные Оригами Многогранник , и только что опубликованный в 2003 году, Multimodular Оригами Многогранники: Архимеды, Бакиболлы и Двойственность. Ты можешь научиться больше о работе профессора Гуркевица, а также посмотреть галереи, ссылки и многое другое.

Еще несколько книг по оригами, в которых обсуждается связь с математика Оригами Омнибус от Кунихико Касахара (ISBN 0-87040-699-x), Оригами от Angelfish до Zen - пользователем Питер Энгель (ISBN 0-486-28138-8), Easy Оригами , авторы Гей Меррилл Гросс и Тина Вайнтрауб, и математика in Motion: Origami in the Classroom K-8 Автор: Барбара Перл (ISBN 0-9647924-3-5).Веб-сайт по математике in Motion даже включает образец плана урока для педагогов. Если учить классы К-8, то это книга может быть тем, что вы искали.

Первая книга, которую я упомянул, Оригами. Омнибус обсуждает темы такие как складывание изоплощади, золотой прямоугольник, складывание обычного пятиугольник из квадрата и теорема Кавасаки. Книга закончилась распечатать, но вы, вероятно, можете получить его в местной библиотеке или через межбиблиотечный абонемент.

В следующем «Оригами от рыбы-ангела до дзен» есть замечательная введение под названием "Преодоление пропасти", в котором обсуждаются взаимосвязь между оригами и такими темами, как М.С. Эшер, философия дзен, фракталы и хаос, музыка и искусство. Отличное введение в оригами и математика. Эта книга должна быть доступна на таких сайтах, как Amazon.com, Sasuga. Книжный магазин и увлекательный Складки.

Легкое оригами , автор Гей Меррилл Гросс и Тина Вайнтрауб (ISBN 0-590-53549-8), это рабочая тетрадь проектов для учителей K-6, многие из которых содержат базовую математику.

Я также много слышал о Paperfolding, Веселый и эффективный метод изучения математики . У него хороший Интернет сайт, который стоит проверить.

Еще одна недавняя книга - Математическая. Оригами Дэвида Митчелла (ISBN 1-899618-18-X). Известен своим модульные конструкции и скульптуры, Дэвид дает в этой книге инструкции для платоновых тел и их вариантов, а также других геометрических формы, такие как кольца, звезды, ромбические формы, а также скелет и контур твердые тела.

Вы можете найти список других книг по оригами по математике на сайте Tom Библиография оригами Халла

В Интернете также есть множество отличных мест для начала Ищу. Том Сайт Hull's Origami Math, о котором я уже упоминал раз, это исчерпывающий ресурс в Интернете по оригами и математика. Том Халл проделал довольно продвинутую работу в этой области. Его работы по оригами-математике появились в MAA. (Математическая ассоциация Америки) журналы.Он писал на такие темы, как конструктивность оригами против линейки / компаса. конструктивность и оригами и топология.

Я также могу рассказать вам о Елене Страница оригами Веррилла, на которой есть информация о модульном оригами, мозаики оригами и задачи мозаики оригами-математики, а также другие задачи оригами-математики, такие как трисекция угла и периметр проблема. Отличный материал для школьного проекта!

Еще одна интересная страница (особенно если вам нравятся фракталы) - это Jeannine Визитная карточка Мозли - проект Menger Sponge, цель которого построить модульную губку Менгера для оригами глубины 3 из 66048 визитки.

Недавнее добавление в Интернет - Кристина. Галерея оригами Бурчика, в которой представлены модульные элементы, обычные многогранники и полуправильные многогранники. Здесь можно многому научиться; как может ли школьный отчет со словом «ромбикосадодекаэдр» получить плохой оценка?

У Wolfram Research есть страница об оригами и математике, которые содержит изображения, перечисляет аксиомы Хузиты и предлагает много дополнительных Рекомендации.

Еще один отличный сайт - Geometry Свалка, которая содержит ряд ссылок на различные темы в оригами и математика.

Наконец, если вы все еще жаждете большего, проверьте Тома Ссылки Hull's Origami Math. Когда вы закончите работу с этими сайтами, у вас должно быть много отличных идей для этого отчета, проекта или урока строить планы!

Надеюсь, это дает вам хороший общий обзор темы оригами и математики.Я буду продолжать обновлять это по мере появления новых веб-сайтов по этой теме. Если у вас есть комментарии или предложения для меня, пожалуйста, напишите мне.

Страница не найдена; Департамент математики Вашингтонского университета

Перейти к основному содержанию Вашингтон Вашингтонский университет Колледж искусств и наук

Меню

Люди
- Полный каталог
- Факультет
- Персонал
- Аспиранты
- Помощники учителя
- выпускников
  - Новости выпускников
  - Обновление для выпускников
Программы и курсы
- Бакалавриат
  - Консультации и академическая поддержка
  - Math Majors
    - Приемная
    - Политика продолжения работы и честности
    - Варианты степени
    - Политика выпуска
    - с отличием и дипломная работа
  - Малая математика
  - Программа ACMS
  - Студенты пост-бакалавриата
  - Ресурсы и возможности
    - Планирование карьеры
    - Грейдеры
    - Центр изучения математики
    - Репетиторы по математике
    - Исследования в бакалавриате
  - Перевод оценок кредита
- Выпускник
  - Приемная
    - Обзор
    - Как подать заявление
    - Требования
    - Подача документов для приглашенных аспирантов
    - Поступающие иностранные аспиранты
    - Требуемые тесты
    - Часто задаваемые вопросы
  - Ph.D. Программа
    - Требования к ученой степени
    - Опция Advanced Data Science
    - Информация об экзамене
      - Экзамены по иностранному языку и компьютеру
      - Предварительные экзамены
        
        Прошедшие предварительные экзамены
      - Общий экзамен
      - Заключительный экзамен
    - Правила регистрации
    - Нормальный ход
    - Рекомендуемые программы
    - FAQ
  - Магистерские программы
    - Требования к ученой степени
    - FAQ
    - Нормальный ход
    - Правила регистрации
    - Перевод на к.D. Программа
  - Финансирование и жилье
    - Обзор
    - Стоимость обучения
    - Ассистентства преподавателей
    - Научные ассистенты и стипендии
    - Руководство по назначению ТА и РА
    - Внешние возможности
    - Финансирование командировок
    - Часто задаваемые вопросы об обучении и финансировании
  - Контакты и ресурсы
  - Учебные ресурсы
- курсов
  - Обзор годового курса
  - Материалы курса
    - Материалы и сайты
    - Общие финалы
  - Курс или вопросы инструктора
  - Текущие и предстоящие
  - Регистрационная информация
    - Политика предварительных требований
    - Закрытые курсы
    - 100-уровневая регистрация
    - Регистрация на 300 и 400 уровней
    - Информация для студентов, не прошедших аттестат зрелости
    - Повторение курса
- Подтверждение преподавания
Outreach
- WXML
- UW Mathday
- UW Математический круг
- SIMUW
- MathAcrossCampus
- Все информационные ссылки
Исследования
- Сфера интересов
- Семинары и другие мероприятия
- Тихоокеанский институт математических наук
- Награды и награды
  - Знаки отличия и награды факультета
  - Студенческие награды
- Библиотека математических исследований
Новости и события
- Последние новости
- Информационный бюллетень
- Миллиман Лекции
- Семинары и другие исследования
- Ближайшие события
- Календарь
ресурса
- Консультации и академическая поддержка
- Центр изучения математики
- Репетиторы по математике
- Планирование карьеры
- Организации
- Стипендии и финансовая поддержка
- Информация для посетителей
  - Обзор
  - Район Гостиницы
  - Площадь ресторанов
- Интранет
О компании
- Добро пожаловать
- Приверженность разнообразию
- Оставайтесь на связи
- Поддержите нас
- Свяжитесь с нами

Математика, законы и теория, лежащие в основе шаблонов складок оригами

Знаете ли вы, что складывание бумаги развилось в Китае, Корее и Европе (помимо Японии)?

Знаете ли вы, что искусство складывания бумаги, которое чаще всего ассоциируется с Японией, могло быть изобретено в Китае?

Бумагу создал Цай Лунь, китайский евних и чиновник династии Хань. Примерно в это же время возникло искусство складывания бумаги (или «чжэ чжи», «складывание бумаги» на китайском языке).

Складывание бумаги играет важную роль в китайских церемониях, особенно на похоронах. Золотые самородки, или юань бао, создавались из бумаги, а затем использовались в качестве священного ритуала, зажигаемого во время похорон.

В конце концов, китайцы, возможно, познакомили японцев с этим видом искусства.

Фактически, именно японские буддийские монахи в дальнейшем поделились этим видом искусства с японцами.

Первоначально известное как «оритака» (складчатые формы по-японски), складывание бумаги использовалось в синтоистских церемониях и из-за высокой стоимости бумаги было предназначено только для элиты.

В 1880 году оритака стала оригами, что в переводе с японского означает «сложенная бумага» - «ори» означает «складка», а «ками» - «бумага».

В ХХ веке «гроссмейстер оригами» Акира Йошизава помог сделать оригами всемирно известным.

Это, а также доступность бумаги сделали этот вид искусства доступным для масс и помогли продвинуть оригами вперед.

Теперь, когда этот вид искусства популярен и популярен во всем мире, мы хотим помочь вам стать частью мира оригами и научить читать и складывать складки оригами.

Оригами - это одновременно и искусство, и математика

При обучении чтению и складыванию складок оригами важно сначала понять математические принципы, относящиеся к оригами.

Подумайте об этом так: вы бы не начали читать ноты, если бы не знали фундаментальных основ теории, таких как количество долей в четвертной ноте, количество долей в метре и значение размера.

Математика и математические законы, регулирующие складывание бумаги, составляют значительную часть основ оригами.

Оригами - это одновременно искусство и математика, поскольку это узор из складок.

В частности, в своем выступлении на TED Роберт Лэнг заявляет: «Они [оригами] должны подчиняться четырем простым законам… Первый закон - двухцветность. Вы можете раскрасить любой узор складок всего двумя цветами, даже если они не совпадают по цвету ».

Далее он обсуждает второй закон: «Направление складок в любой вершине - количество горных складок, количество складок долины - всегда отличается на два».

По сути, это теорема Маэкавы.

Хорошо, давайте объясним, что говорит Ланг (и теорема Маэкавы).

Горная складка (или горная складка) - это то, на что это похоже - складка, в которой два конца бумаги идут вниз, а сгиб направлен вверх. Похоже на гору.

Складка впадины (или складка впадины) противоположна. Сгиб внизу, концы бумаги обращены вверх, имитируя лощину.

И, если вы не знаете, вершина - это в значительной степени угол.

Или, если вы хотите все пофантазировать и произвести впечатление на группу людей, это «точка в геометрическом твердом теле, общая для трех или более сторон.”

В основном там, где пересекаются две стороны.

Итак, в оригами вершина - это место, где встречаются складки горы и долины.

И, если вычесть складки гор из складок долины (или наоборот), абсолютная разница будет равна двум. (Не забудьте опустить отрицательные числа.)

Например, 5 горных складок и 3 долины будут точными, поскольку 5-3 = 2.

Однако 6 горных складок и 2 долины не будут работать, потому что 6-2 = 4.

Это правило важно при обучении чтению и складыванию шаблонов складок, так как оно может сэкономить вам много времени, пытаясь сложить 6 горных складок и 5 долин, поскольку это невозможно.

Miura Map Fold

Два других правила, о которых говорит Ланг.

Третий закон оригами заключается в том, что сколько бы раз вы ни пытались сложить складки и листы, лист никогда не сможет проникнуть в складку.

(Это правило окажется важным, когда вы научитесь читать и складывать шаблоны складок.)

Это относится к складке карты Miura.

Японский астрофизик Корё Миура создал этот узор из складок оригами, в котором одна форма повторяется снова и снова… и снова.

Для сгиба карты узор представляет собой параллелограмм. Отсутствуют зазоры и листы, выступающие сквозь складки.

Карта Miura в действии

Итак, если вы встретите какие-либо шаблоны складок, которые требуют этого, знайте, что они неверны, и вы можете перейти к другому шаблону.

И, наконец, четвертый закон гласит, что любой другой угол вокруг вершин составляет 180 градусов.

Это согласуется с теоремой Кавасаки, которая гласит, что в плоской фигуре каждый второй угол в сумме составляет 180 градусов.

Итак, когда вы складываете бумагу, и она смотрит не так, достаньте транспортир и измерьте эти углы.

Помните, оригами - это еще и искусство геометрии и точности.

Это подводит нас к чтению шаблонов складок оригами.

Итак, давайте приступим к математике.

Как мы читаем схемы складок оригами?

Простой. План прямо перед вами.

Возьмите журавлика оригами.

Разверните.

Складки - это чертеж.

Вы можете следить за складками, снова загибая бумагу в кран.

Отлично, если у вас уже есть фигурка оригами. Но как насчет того, чтобы создать фигуру из разглаженной бумаги - как тогда читать узор?

Роберт Лэнг отмечает, что «обычные диаграммы оригами описывают фигуру последовательностью складывания - линейной пошаговой схемой развития».

Он продолжает: «Образцы складок, напротив, обеспечивают одноэтапное соединение развернутого квадрата со сложенной формой, сжимая сотни складок, а иногда и часы складывания в единую диаграмму!»

Итак, простых пошаговых инструкций, когда дело касается рисунков сгиба, не существует.

Вместо этого есть единый дизайн, заполненный разными линиями, которые представляют изгибы гор и долин.

Ланг заявляет, что на данный момент не существует определенного стиля или ключа для складок гор и долин.

В пошаговом шаблоне штрих-пунктирная линия обозначает горную складку.

И пунктирная линия, иллюстрирующая складку впадины.

Образцы складок могут следовать за этими типами линий.

Некоторые могут иметь два разных цвета, чтобы отличать складки гор от долин.

Сам Ланг использует прямые темные линии для складок гор и цветные пунктирные линии для складок долин.

Кроме того, читая образец складок оригами, вы поймете, что создатель не вставил каждую складку гор и долин.

Поскольку многие шаблоны складок содержат сотни складок, отображение каждой складки сделает дизайн загруженным.

И может ошеломить читателя.

Вместо этого создается база дизайна.

Создатель оригами может затем, следуя этому базовому шаблону, создать остальные складки для дизайна.

Как складывать схемы складок оригами

Об этом мы упоминали в начале статьи, но стоит повторить.

В образцах складок оригами используются складки гор и долин.

Вершина горной складки направлена вверх.

И вершина направлена вниз складкой впадины.

Просто сложите лист пополам, чтобы повторить это.

И не забывайте о математических принципах оригами.

Если ваше творение выглядит неровным или нечетким, просмотрите математические правила, чтобы увидеть, в чем ошибка, и исправить ее.
Разверните фигурку из бумаги, возьмите два цветных карандаша и раскрасьте узор. Если два цвета встречаются, вы знаете, куда нужно вернуться и исправить это (закон двухцветности).
Посчитайте, сколько складок гор и долин есть на пересечении (вершине). Если разница не два, значит, вам нужно отрегулировать складки. (Теорема Маэкавы).
Требует ли узор, чтобы лист проникал сквозь складку? Если да, то это неправильный узор (третий закон оригами).
И если углы не совпадают, достаньте транспортир и начните измерения (теорема Кавасаки).

Оригами изменило наши представления об искусстве, математике и науке. Благодаря оригами у нас теперь есть такие изобретения, как подушки безопасности и сердечные стенты.

Как оригами повлияло на вашу жизнь? Это помогло?

Дайте нам знать, оставив комментарий.

И обязательно ознакомьтесь с нашими бесплатными инструкциями и схемами оригами, чтобы вы могли попрактиковаться.

Оригами - математика в биговке

Складывание бумаги может выглядеть как искусство, но все дело в математике. Предоставлено: Мина, CC BY-NC-ND.

Оригами - это древнее японское искусство складывания бумаги. Из одного неразрезанного квадрата бумаги в руках художника-оригами можно сложить птицу, лягушку, парусную лодку или японского жука-самурая. Оригами может быть необычайно сложным и замысловатым.

Искусство оригами переживает период возрождения за последние 30 лет, при этом создаются новые дизайны с постоянно растущим уровнем сложности.Неслучайно такой рост сложности оригами возник в то же время, когда сами ученые, математики и художники-оригами открывают все больше и больше математических правил, определяющих работу складывания бумаги.

Действительно, если вы возьмете модель оригами, например, птицы, и аккуратно развернете ее, вы увидите узор из складок, который действует как чертеж модели. Этот шаблон складок содержит секрет того, как бумага может складываться в птицу, и этот секрет - математика.Теоретически мы могли бы использовать этот узор сгиба, чтобы точно определить, как бумага должна складываться и какую форму она будет формировать - если, конечно, мы поняли все секретные правила складывания бумаги.

Чтение между складками

По сути, математика - это понимание правил и закономерностей Вселенной, будь то закономерности в числах, на фондовом рынке или в природе. В случае с оригами нам нужно посмотреть на геометрию рисунка складок, где линии пересекаются, какие углы они образуют и в каком направлении складки складываются: складки это долины или горные складки?

Математическое моделирование сворачивания одной вершины с ее проекцией на сферу.Предоставлено: Том Халл.

Большинство традиционных моделей оригами складываются плоско, что означает, что вы можете поместить модель в книгу, не сминая ее. Оказывается, схемы складок плоских моделей оригами обладают некоторыми совершенно особенными свойствами. Одна из них называется теоремой Маэкавы: в каждой вершине, где складки пересекаются в плоском образце складок оригами, разница между количеством складок горы и долины всегда равна двум. Итак, в вершине может быть 5 гор и 3 долины, но никогда, например, 6 гор и 2 долины.

От искусства к приложениям

В 1970-х годах японский астрофизик Корио Миура изобрел складку карты Миура, также известную как Миура-ори. Это пример мозаики оригами, где одна форма повторяется снова и снова, без промежутков, по всей поверхности. В этом случае шаблон складки представляет собой мозаику из параллелограммов, выложенных таким образом, чтобы линии мозаики также подчинялись правилам плоско-сложенного оригами. Доктор Миура выбрал горы и долины своего рисунка складок, чтобы модель открывалась и закрывалась очень легко.

Этот узор сгиба является очень хорошей альтернативой для складывания карты, так как он легко открывается и закрывается. Но доктор Миура использовал эту конструкцию как способ развертывания больших солнечных панелей в космосе. Думайте о каждом параллелограмме как о солнечном элементе, который затем соединяется шарнирами. Затем массив можно сложить в небольшую упаковку и поместить на космический спутник перед запуском на ракете.Попав в космос, его можно было открыть с помощью простого расширительного стержня без помощи человеческих рук.

Сгиб карты Miura вдохновил многих исследователей на изучение того, как она работает, ее свойства и способы использования. Например, я работал с командой, в которую входили исследователи из Массачусетского университета в Амхерсте и Корнельского университета, над изучением складки карты Miura как механического устройства; какое усилие требуется, чтобы сжать складку, и насколько она отскакивает при отпускании? В Science мы рассказали, как можно изменить это поведение, добавив дефекты в складку карты Miura, скажем, протыкнув некоторые вершины в другую сторону.Пример показан ниже.

Схема складок для классической модели машущей птицы с указанием складок гор и долин. Предоставлено: Том Халл.

Наша группа также занималась самосвертыванием. Мы сделали материалы, которые складываются сами по себе, что также вызывало интерес у других групп. Группа Райана Хейворда из Национального центра исследований полимеров Конте разработала способ заставить микроскопические листы геля набухать по линиям сгиба при нагревании.Их методами можно сделать микроскопический кран:

Этот кран может быть самым маленьким из когда-либо созданных складных кранов! Полимерный самоскладывающийся гель позволяет создавать очень сложные конструкции, такие как трехмерная мозаика фермы октаэдр-тетраэдр:

Схема складки карты Miura плавно складывается в плоскую упаковку. Предоставлено: Том Халл.

Такие крошечные самоскладывающиеся гелевые объекты когда-нибудь могут быть использованы в биоинженерии. Представьте себе токсичное противораковое лекарство, заключенное в самосгибающийся шар для оригами, который запрограммирован на то, чтобы разворачиваться только при контакте с опухолью.Тогда препарат можно будет доставить точно к опухоли, не отравив другие части тела пациента.

Ни одно из этих приложений оригами было бы невозможно без понимания математических правил, лежащих в основе оригами. Это отличный пример того, как математику и оригами можно найти в самых неожиданных местах.

Учимся оригами для создания новых материалов

Эта история опубликована с разрешения The Conversation (по лицензии Creative Commons-Attribution / Без производных).

Ссылка : Оригами - математика в складках (2015, 7 января) получено 16 января 2021 г. с https: // физ.org / news / 2015-01-origamimat Mathematics-creasing.html

Этот документ защищен авторским правом. За исключением честных сделок с целью частного изучения или исследования, никакие часть может быть воспроизведена без письменного разрешения. Контент предоставляется только в информационных целях.

Искусство и математика оригами

Поздравляем Эрика и Мартина Демейнов с их недавней наградой Гуггенхайма!

«С годами мы постоянно осознаем, что математика сама по себе является видом искусства, и я думаю, что именно это в первую очередь привлекло нас обоих в этой области. [У меня] та же креативность, та же эстетика, что и в искусстве: вы хотите, чтобы решить чистую проблему, и вы хотите элегантное решение этой проблемы.И искусство, и математика связаны с наличием правильных идей [и] убедительным воплощением этих идей, поэтому в этом смысле они неотличимы ». - Эрик Демейн о слиянии искусства и науки.

Скульптуры Demaines с изогнутыми складками служат примером совместных междисциплинарных исследований. Считая оригами мощным инструментом для изучения математики, дуэт отца и сына исследует складные формы как с математической, так и с художественной точек зрения.Эту концентрическую форму круга можно проследить до Баухауза, который Демейн расширили, соединив несколько концентрических кругов вместе. Их математические оригами являются частью коллекции Музея современного искусства и представлены на выставке «Прикладной дизайн» до января 2014 года. Как говорит Мартин Демейн: «Все наши скульптуры представляют собой открытые проблемы, которые мы не понимаем, но пытаемся понять. , визуализируется с помощью складывания бумаги ».

Подробнее о премии Демена Гуггенхайма здесь.

Преимущества оригами и складывания бумаги для образования

Родители и учителя понимают образовательные преимущества оригами и используют складывание бумаги в качестве инструмента для обучения математике, искусству и общественным наукам. Оригами и математика Если у вас есть квадратный лист бумаги, сколькими способами вы можете сложить его, чтобы получить 2 части одинакового размера? Квадрат складывается пополам, чтобы получилось 2 прямоугольника. Квадрат складывается пополам, чтобы получилось 2 треугольника. У прямоугольников и треугольников одинаковый размер? Этот тип вопросов может помочь детям понять взаимосвязь между квадратами, прямоугольниками и треугольниками.Что будет, если развернуть модель оригами? Вы видите симметрию в узорах складок? Манипулирование бумагой руками может помочь детям усвоить концепции, которые в противном случае могут быть довольно абстрактными.

Книги об образовательных преимуществах оригами

Математика в движении: Оригами в классе K-8 Барбары Перл
Оригами Math Карен Байкер
Раскладывание математики с помощью единиц оригами Бетси Франко
Раскладывание математики с коробками для оригами Арнольда Тубиса и Кристал Миллс
Проект «Оригами: занятия по изучению математики» Томаса Халла
Геометрические алгоритмы складывания / связи, оригами, многогранники Эрик Д.Демейн и Джозеф О'Рурк
Оригами 3: Третья международная встреча специалистов по оригами, математике и образованию Спонсор Origami USA Томас Халл
Оригами 4: Четвертая международная встреча по оригами, математике и образованию, спонсируемая Origami USA и Калифорнийским технологическим институтом, под редакцией Р. Лэнга, А.К. Петерса, Натика, Массачусетс
смотреть книги в: США, Канада, Великобритания, Германия, Франция

Оригами и искусство

Одна из удивительных особенностей оригами заключается в том, что вы можете взять плоский лист бумаги и превратить его в трехмерный объект.Этот тип манипуляции помогает детям понять пространственное мышление. Вы можете посоветовать ребенку увидеть, как модель развивается по мере того, как вы продвигаетесь в последовательности складывания. Когда ребенок работает с пластилином или пластилином, сможет ли он увидеть скульптуру до того, как она будет закончена? Сможет ли он увидеть модель оригами до того, как она будет закончена? На веб-сайте Джона Смита есть обширное обсуждение искусства, оригами и образования.

Оригами и обществознание

Обучая оригами, вы расширяете представление ребенка о мире.Оригами учит детей азиатской культуре и традициям. Дети могут стать более терпимыми по отношению к другим культурам, если они столкнутся с радостями, которые предлагает другая культура. Оригами и История Садако открывает целый ряд социальных исследований. Каковы последствия войны? Что мы узнали из атомной бомбы? Как складные журавлики оригами могут послать миру послание мира? Для получения дополнительной информации о книгах Садако и планах уроков перейдите к Истории Садако. Выдающиеся мастера оригами Пол Джексон, Мири Голан и Абир Муграби объединяют израильских и палестинских детей в проекте Folding Together.Есть надежда, что простое складывание бумаги может способствовать взаимному уважению и пониманию между этими разными культурами.

Дополнительная информация

Оригами также влияет на поведенческие навыки, совместное обучение, когнитивное развитие, самооценку и расширение прав и возможностей. Смотрите ниже для получения дополнительной информации.

- перейти на домашнюю страницу
- перейти на карту сайта
- начинаем складывать! .

Каталог

Оригами и математика исследование

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА "ОРИГАМИ И МАТЕМАТИКА"

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА "ОРИГАМИ И МАТЕМАТИКА"

Исследовательская работа по математике на тему "Оригами и математика"

Проект «Оригами и математика» | Творческие проекты и работы учащихся

Подробнее о проекте:

Оглавление

Введение

История оригами

Виды и техники оригами

Простое оригами

Мокрое оригами

Модульное Оригами

Складывание по развёртке

Наноригами

Киригами

Оригами – это математика

Взаимосвязь основ оригами и математики

Головоломки и оригами

Заключение

Список литературы

ИСКУССТВО ОРИГАМИ И МАТЕМАТИКА

ИСКУССТВО ОРИГАМИ И МАТЕМАТИКА

Научно-исследовательская работа "Оригами и математика"

Оригами -это математика исследовательская работа

Оригами и математика

Оригами, геометрия и теорема Кавасаки

а 1 + а 3 + а 5 + ... + a 2n-1 = 180

а 2 + а 4 + а 6 + ... + a 2n = 180

Прямой край и компас против оригами и аксиом Хузиты

Оригами и топология

Другие ресурсы

Страница не найдена; Департамент математики Вашингтонского университета

Математика, законы и теория, лежащие в основе шаблонов складок оригами

Оригами - это одновременно и искусство, и математика

Два других правила, о которых говорит Ланг.

Это подводит нас к чтению шаблонов складок оригами.

Как складывать схемы складок оригами

Оригами - математика в биговке

Искусство и математика оригами

Преимущества оригами и складывания бумаги для образования

Книги об образовательных преимуществах оригами

Смотрите также

а ₁ + а ₃ + а ₅ + ... + a _2n-1 = 180

а ₂ + а ₄ + а ₆ + ... + a _2n = 180