Формула расчета нагрузки на балку

Расчет балки на прогиб: формулы и пример расчета

Проектируя современные постройки, специалисты придерживаются всех правил и установленных норм в строительстве. Важнее всего сделать расчет балки на прогиб, а так же расстояние между лагами пола, поскольку эти показатели являются важным для прочности и надежности всей конструкции.

Виды балок

Независимо от того, какой должна быть конструкция, материал для изготовления балок выбирают прочный и надежный. Отличаются они друг от друга лишь по своим параметрам: 

1. длине; 
2. форме; 
3. сечению. 

Чаще всего, для изготовления балок используется дерево и металл. Расчет балки на изгиб напрямую зависит от выбранного материала. В данном случае большое значение имеют такие показатели как однородность и структура.

Балки из дерева

Конструкции из дерева используются в одноэтажных домах или небольших домиках. Они отлично подходят как для потолка, так и пола. Для расчета прогиба балки берут следующие величины:

1. Тип материала. Каждое дерево отличается прочностью, твердостью и гибкостью.
2. Геометрические показатели, в которые включается как форма изделия, так и его сечение.
3. Предполагаемые нагрузки, которые будут давить на материал.

На то, как будет изгибаться балка учитывается не только реальное давление, но и все возможные силы воздействия.

Стальные балки

Эти изделия очень сложные не только по сечению, но и по составу. Так как из выливают из нескольких видов металла. Производя расчет нагрузки на балку, необходимо принимать во внимание насколько она жесткая, а так же прочно ли она соединена.

Конструкция из металла между собой соединяется с помощью:

• сваривания;
• склепывания;
• с помощью соединителей, имеющих резьбу.

Прочные металлические балки используются для строительства домов в несколько этажей. В таких конструкциях вся нагрузка равномерно распределяется по всей балке.

Как добиться прочности конструкции

Согласно нормам, балка, используемая на эстакаде должна иметь изгиб не больше одного см при ее длине в полтора метра. При этом, в других конструкциях этот показатель меняется. В индивидуальном доме, балки чердака могут прогибаться на один см, при длине 2 м, а в многоэтажных домах тот же сантиметр должен припадать на длину в 2,5 м.

Для того, чтобы постройка была надежной и прочной, расчеты нужно проводить еще в процессе планирования здания. Именно в этот момент и определяется такой показатель, как изгиб балки. Ведь чем меньше прогибается балка, тем выше прочность дома. Таким образом потолок получает равномерное распределение веса и сохраняет устойчивость дома. Если же балки сильно прогибаются, то и весь потолок будет ненадежным и со временем происходит разрыв соединений и здание рушится.

Расчеты проводятся с помощью одного из способов:

1. Прибегнуть к помощи онлайн-калькулятора. В данном инструменте запрограммированы стандартные данные.
2. Воспользоваться справочником и, сравнив все параметры, произвести расчеты самостоятельно.
3. Воспользоваться формулой и самостоятельно просчитать изгиб балок.

Важно! Просчитывать изгиб балки очень важно, чтобы на практике здание было прочным и надежным.

В помещении, которое используется уже не один год, определить насколько аварийным является его состояние, можно только после того, как будет определен уровень проседания балок.

Формулы для определения изгиба балки

При расчете необходимо учесть силу сопротивления материала, из которого изготовлена конструкция. И только после этого рисуется схема, где указывается сила давления на балку.

Процесс расчета выглядит следующим образом:

1. Используя формулу площади прямоугольной фигуры S=b*h, определяется сечение балки, а так же берется ко вниманию ее длина L;
2. На балку воздействует сила давления Q, которая изгибает ее в центре, а ее концы образуют угол θ. Обязательно учитывается изначальное положение конструкции f;
3. В схеме концы импровизированной балки установлены совершенно свободно, при этом опоры установлены стационарно. В этом случае нет реакции, как в случае горизонтального закрепления конструкции, и концы балки перемещаются в свободном направлении.

Изгиб предмета под давлением определяется формулой Е=R/Δ. В этом случае Е – это показатель, который берется из справочника, R – сила давления на предмет, Δ – это показатель, который получается в процессе изгиба.

Имея все необходимые показатели можно узнать, какой будет инерция, для этого используется формула:

Δ = Q/(S·Е)

Если же нагрузка будет равномерна по всей длине балки. То нужно использовать такую формулу:

Δ = q·h/(S·Е).

После всех этих вычислений, приходит черед к определению изгиба по системе Юнга. То есть, балку изгибают таким образом, что ее концы выворачиваются в разные стороны, при этом имеют разные куты изгиба. В таком случае в формуле обе части нужно умножить на число L и тогда получается следующее равенство:

Δ*L = Q·L/(b·h·Е)

Если рассматривать вариант, где балка с одной стороны будет стабильно зафиксирована, а на втором конце будет равновесие, то формула будет выглядеть следующим образом Mmax = q*L*2/8. Если использовать эту величину в формуле для определения изгиба балки, то получится следующее равенство:

Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е).

Момент инерции, который вычисляется b·h3/6 можно условно обозначить W. Таким образом, формула будет иметь совершенно другой вид:

Δх = M·х/(W·Е), где W=M/E.

Чтобы узнать точные показатели изгиба балки, необходимо рассчитать две величины:

• момент прогиба;
• инерцию.

Кроме того, на прогиб имеет огромное влияние условие, при котором концы балок будут либо зафиксированы, либо находиться в свободном положении. Обязательно учитывается способ давления оказываемого на предмет, а так же в каких местах оказывается это давление и как оно распределяется по всей балке.

Все приведенные выше формулы можно использовать только в том случае, когда давление равномерно распределено по всей площади предмета. В том случае, когда нагрузка припадает только на одно определенное место, расчет проводится при помощи интегралов.

Важно! Для проведения расчетов рекомендуется все же воспользоваться уже существующими сборниками формул. Такие пособия разрабатывались проектировщиками, исходя из разных ситуаций.

Таким образом, для точного определения изгиба балки следует все делать в следующей последовательности:

1. В первую очередь составляется подробная схема предмета, который будет исследоваться;
2. Измеряются все параметры балки и обязательно учитывается сечение;
3. Определить каким будет максимальное давление на балку, а так же вычислить в каком месте будет оно оказано сильнее всего;
4. Обязательно нужно проверить материал из которого изготовлена балка на прочность.
5. Обязательно определить жесткость предмета.

О расчете прогиба балки в видео:

Заключение

Перед началом строительства все профессиональные проектировщики проводят расчет изгиба балки и определяют расстояние между лагами. Поскольку именно от этих манипуляций зависит прочность будущего дома. Это можно сделать и с помощью онлайн-калькулятора, но для отчетности перед заказчиком необходимо предоставить все цифры документально. Поэтому все операции в показателями и величинами делаются последовательно вручную на бумаге.

Расчет балки на прогиб

Основы сопромата, расчет прогиба балки

Cодержание:

Основы сопромата кратко.

1. Виды опор.

1.1. Шарнирные опоры.

Расчетная длина (пролет) балки.

1.2. Опорные связи шарнирно закрепленной балки.

1.3 Жесткое защемление на опорах.

1.4. Скользящие заделки.

2. Нагрузки (внешние силы).

3. Напряжения (внутренние силы).

4. Реакции опор.

5. Уравнения статического равновесия.

4.1. Определение опорных реакций.

6. Уравнения изгибающего момента.

7. Балка на двух шарнирных опорах.

8. Консольная балка.

9. Метод сечений.

10. Определение момента сопротивления.

11. Определение угла поворота.

12. Определение прогиба.

13. Определение угла поворота через прогиб.

14. Список использованной литературы.

Расчет прогиба балки не то, чтобы такой уж сложный, но для того, чтобы каждый раз не повторять одни и те же операции при расчете и этим максимально сократить время расчета, специалисты по сопромату уже давно вывели формулы для наиболее вероятных вариантов опор балок и нагрузок, действующих на балки. Достаточно только определиться с расчетной моделью балки и формула для расчета прогиба к Вашим услугам. Но аксиомы: "если хочешь, чтобы работа была сделана хорошо, сделай это сам" пока никто не отменял. Дело в том, что в разного рода справочниках и пособиях иногда бывают опечатки или ошибки, поэтому использовать готовые формулы не всегда есть хорошо.

11. Определение угла поворота.

(вернуться к основному содержанию)

Прогиб строительной конструкции, а в нашем случае балки - единственная величина, которую проще всего определить опытным путем и сложнее всего теоретическим. Когда мы прикладывали к линейке нагрузку (давили на нее пальцем или мощью своего интеллекта), то невооруженным глазом видели, что линейка прогибалась:

Рисунок 11.1. Перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в центре балки и угол поворота продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения, на одной из опор.

Если бы мы хотели определить величину прогиба опытным путем, то достаточно было бы измерить расстояние от стола, на котором лежат книги (на рисунке не показан) до верха или низа линейки, затем приложить нагрузку и измерить расстояние от стола до верха или низа линейки. Разница в расстояниях - это и есть искомый прогиб (на фотографии величина прогиба обозначена оранжевой линией):

Фотография 1.

Но попробуем прийти к тому же результату, следуя по тернистому пути теории сопромата.

Так как балка прогнулась (в хорошем значении этого слова), получается, что и продольная ось, проходящая через центры тяжести поперечных сечений всех точек балки, и до приложения нагрузки совпадавшая с осью х, сместилась. Это смещение центра тяжести поперечного сечения по оси у называется прогибом балки f. Кроме того, очевидно, что на опоре эта самая продольная ось теперь находится под некоторым углом θ к оси х, а в точке действия сосредоточенной нагрузки угол поворота = 0, так как нагрузка у нас приложена посредине и балка прогнулась симметрично. Угол поворота принято обозначать "θ", а прогиб "f" (во многих справочниках по сопромату прогиб обозначается как "ν", "w" или любыми другими литерами, но нам, как практикам, удобнее использовать обозначение "f", принятое в СНиПах).

Как определить этот самый прогиб мы пока не знаем, но зато мы знаем, что нагрузка, действуя на балку, создает изгибающий момент. А изгибающий момент создает внутренние нормальные сжимающие и растягивающие напряжения в поперечных сечениях балки. Эти самые внутренние напряжения приводят к тому, что в верхней части балка сжимается, а в нижней растягивается, при этом длина балки по оси, проходящей через центры тяжести поперечных сечений остается такой же, в верхней части длина балки уменьшается, а в нижней части увеличивается, причем чем дальше расположены точки поперечных сечений от продольной оси, тем больше будет деформация. Определить эту самую деформацию мы можем используя еще одну характеристику материала - модуль упругости.

Если мы возьмем кусок бинтовой резины и попробуем его растянуть, то обнаружим, что резина растягивается очень легко, а выражаясь по научному деформируется на значительную величину при воздействии даже небольшой нагрузки. Если мы попробуем проделать то же самое с нашей линейкой, то растянуть ее даже на десятые доли миллиметра руками вряд ли получится, даже если прилагать к линейке нагрузку в десятки раз большую, чем к бинтовой резине. Это свойство любого материала описывается модулем Юнга, который часто называется просто модулем упругости. Физический смысл модуля Юнга при максимально допустимом загружении рассчитываемой конструкции примерно следующий: модуль Юнга показывает отношение нормальных напряжений, (которые при максимально допустимом загружении равны расчетному сопротивлению материала к относительной деформации при таком загружении:

E = R/Δ (11.1.1)

а это значит, что для работы материала в области упругих деформаций значение внутренних нормальных напряжений, действующих не абстрактно, а на вполне определенную площадь сечения, с учетом относительной деформации не должно превышать значения модуля упругости:

E ≥ N/ΔS (11.1.2)

в нашем случае балка имеет прямоугольное сечение, поэтому S = b·h, где b - ширина балки, h - высота балки.

Измеряется модуль Юнга в Паскалях или кгс/м². Для абсолютного большинства строительных материалов модули упругости определены эмпирическим путем, узнать значение модуля для того или иного материала можно по справочнику или сводной таблице.

Определить величину деформации для поперечного сечения, к которому приложена равномерно распределенная нагрузка или сосредоточенная сила в центре тяжести поперечного сечения, очень просто. В таком сечении возникают нормальные сжимающие или растягивающие напряжения, равные по значению действующей силе, направленные противоположно и постоянные по всей высоте балки (согласно одной из аксиом теоретической механики):

Рисунок 507.10.1

и тогда определить относительную деформацию, если известны геометрические параметры балки (длина, ширина и высота) несложно, простейшие математические преобразования формулы (11.1.2) дают следующий результат:

Δ = Q/(S·Е) (11.2.1) или Δ = q·h/(S·Е) (11.2.2)

Так как расчетное сопротивление показывает какую максимальную нагрузку можно приложить к определенной площади, то в данном случае мы можем рассматривать действие сосредоточенной нагрузки на всю площадь сечения нашей конструкции. В некоторых случаях важно определить деформации именно в точке приложения сосредоточенной нагрузки, но сейчас мы эти случаи не рассматриваем. Чтобы определить суммарную деформацию, нужно обе части уравнения умножить на длину балки:

Δl = Q·l/(b·h·Е) (11.2.3) или Δl = q·h·l/(b·h·Е) (11.2.4)

Но в рассматриваемом нами случае на поперечные сечения балки действует не сосредоточенная сила, приложенная к центру тяжести поперечного сечения, а изгибающий момент, который можно представить в виде следующей нагрузки:

Рисунок 149.8.3 

При такой нагрузке максимальные внутренние напряжения и соответственно максимальные деформации будут происходить в самой верхней и в самой нижней части балки, а посредине никаких деформаций не будет. Равнодействующую для такой распределенной нагрузки и плечо действия сосредоточенной силы мы находили в предыдущей части (2), когда определяли момент сопротивления балки. Поэтому теперь без особого труда можем определить суммарную деформацию в самой верхней и в самой нижней части балки:

Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) (11.3.1)

или

Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

так как W = b·h²/6 (10.6)

Эту же формулу мы можем получить и другим способом. Как мы знаем, момент сопротивления поперечного сечения балки должен удовлетворять следующему условию:

W ≥ М / R (10.3)

Если мы будем рассматривать эту зависимость как уравнение и заменим в этом уравнении значение R на ΔЕ, получим следующее уравнение:

W = М / ΔЕ (11.4.1)

И тогда:

М = WΔЕ (11.4.2) a Δ = M/(W·Е) (11.4.5) и соответственно Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

В результате деформации, которую мы только что определили, наша балка могла была бы выглядеть так:

Рисунок 11.2. Предполагаемая (для наглядности) деформация балки

то есть в результате деформаций самая верхняя и самая нижняя точки поперечного сечения сместятся на величину Δх. А это значит, что зная величину деформации и высоту балки, мы можем определить угол поворота θ поперечного сечения на опоре балки. Из школьного курса геометрии мы знаем, что отношение катетов прямоугольного треугольника (в нашем случае катеты Δх и h/2) равно тангенсу угла θ:

tgφ = Δх/(h/2) (11.5.1)

и тогда

tgφ = 2 M·х/(h·W·Е) (11.5.3)

Если вспомнить, что момент инерции - это момент сопротивления поперечного сечения, умноженный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения или наоборот, момент сопротивления - это момент инерции, разделенный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения:

W = I/(h/2) (10.7) или I = W·h/2 (10.7.2)

то мы можем заменить момент сопротивления на момент инерции:

tgφ = M·х/(I·Е) (11.5.4)

хотя делать это было не обязательно, но таким образом мы получили формулу угла поворота почти такой, как она дается во всех учебниках и справочниках по сопромату. Главное отличие в том, что обычно речь идет о угле поворота, а не о тангенсе угла. И хотя при малых деформациях значения тангенса угла и угол сопоставимы, но тем не менее угол и тангенс угла - это разные вещи (впрочем в некоторых справочниках, например: Фесик С.П. "Справочник по сопротивлению материалов" Киев: Будiвельник. - 1982 переход от тангенса к углу упоминается, хотя и без достаточных на мой взгляд объяснений). Более того, если быть совсем уж точным, то таким способом мы определяем отношение продольной деформации к высоте балки

Рассчитываемые элементы далеко не всегда имеют прямоугольное сечение, как наша рассматриваемая линейка. В качестве балок и перемычек могут использоваться различные горячекатаные профили, тесанные и не тесанные бревна и вообще все, что угодно. Тем не менее понимание принципов расчета момента инерции позволяет определить момент инерции для поперечного сечения любой, даже очень сложной геометрической формы. В абсолютном большинстве случаев вычислять самому момент инерции нет необходимости, для металлических профилей сложного сечения (уголки, швеллера, двутавры и др.) момент инерции, как впрочем и момент сопротивления определяется по сортаменту. Для элементов круглого овального, треугольного сечения и некоторых других видов сечения определить момент инерции можно по соответствующей таблице.

Если рассматривать суммарную деформацию всей балки, т.е. по всей длине l, то очевидно, что суммарная деформация при наших нагрузках не может быть только с одной стороны балки, как показано на рисунке 11.3.а:

Рисунок 11.3.

Так как к нашей балке нагрузка приложена посредине, в результате чего реакции на опорах, возникающие в результате действия нагрузки равны между собой и каждая равна половине приложенной нагрузки, то скорее при этих условиях суммарная деформация будет выглядеть так, как показано на рисунке 11.3.b и тогда в нашем конкретном случае угол наклона поперечного сечения на каждой из опор будет:

tgθ = M·х/(2IЕ) (11.5.5)

Пока мы определяли тангенс угла поворота простым графоаналитическим методом и в случае, когда нагрузка к балке приложена посредине, это у нас неплохо получилось. Но варианты приложения нагрузок к балке бывают всякие и хотя суммарная деформация всегда будет равна Δl, но угол наклона поперечных сечений на опорах может быть разным. Если мы присмотримся к формулам (11.5.4) и (11.5.5) повнимательнее, то увидим, что мы умножаем значение момента в некоторой точке на величину х, которая с точки зрения теоретической механики ни чем не отличается от понятия - "плечо действия силы". Получается, что для определения тангенса угла поворота мы должны умножить значение момента на плечо действия момента, и значит, понятие "плечо" можно применить не только к силе, но и к моменту. Когда мы использовали понятие плеча действия силы, открытое еще Архимедом, то мы и предполагали как далеко это может нас завести. Метод, показанный на рисунке 5.3, дал нам значение плеча момента = х/2. Теперь попробуем определить плечо момента другим способом (графоаналитический метод). Тут нам пригодятся эпюры, построенные для балки на шарнирных опорах:

          Рисунок 149.7.1                                                             Рисунок 149.7.2

Теория сопротивления материалов позволяет рассматривать внутренние нормальные напряжения, характеризуемые эпюрой "М" рисунка 149.7.1 для балки с постоянной жесткостью, как некую внешнюю фиктивную нагрузку. Тогда площадь эпюры "М" от начала балки до середины пролета - это фиктивная опорная реакция материала балки на равномерно изменяющуюся нагрузку. А фиктивный изгибающий момент - это площадь эпюры "М", умноженная на расстояние от центра тяжести эпюры "М" до рассматриваемой точки. Так как значение изгибающего момента посредине пролета составляет Ql/4, то площадь такой фигуры составит Ql/4(l/2)(1/2) = Ql²/16. А если это значение разделить на жесткость ЕI, то мы получим значение тангенса угла поворота.

Забегая наперед, определим значение прогиба. Расстояние от центра тяжести треугольной эпюры "М" до середины пролета равно l/6, тогда фиктивный изгибающий момент составит (Ql²/16)l/2 - (Ql²/16)l/6 = Ql³/48. Тогда прогиб f = Ql³/48EI. А так как эпюра моментов у нас расположена снизу балки, то такая фиктивная нагрузка будет в итоге давать отрицательное значение угла поворота и прогиба, что в общем-то логично, так как при таком действии нагрузки прогиб - смещение центра тяжести поперечного сечения будет происходить вниз по оси у.

Примечание: как и с эпюрой моментов, тут есть особенность. Когда эпюра моментов и эпюра прогиба находятся ниже оси балки, то и момент и прогиб считаются положительными. И наоборот, когда эпюра моментов и эпюра прогиба находятся выше оси балки, то и момент и прогиб считаются отрицательными. Для инженеров-строителей это настолько привычно, что они даже не представляют, что может быть по-другому.

Характерная особенность графоаналитического метода состоит в том, что количество вычислений можно еще сократить. Для этого нужно умножить площадь эпюры фиктивной нагрузки на расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат, а не до рассматриваемой точки на оси. Например, для вышеприведенного случая (Ql²/16)l/3 = Ql³/48

При равномерно распределенной нагрузке эпюра моментов описывается квадратичной параболой, определить площадь такой фигуры и расстояние до центра тяжести сложнее, но для того нам и нужны знания по геометрии, чтобы можно было определить площадь любой фигуры и положение центра тяжести такой фигуры. Впрочем, можно воспользоваться и готовыми формулами.

Таким образом получается, что для балки, на которую действует сосредоточенная нагрузка в середине балки при х=l/2:

tgθ = М·(x/2)/(ЕI) = ((Ql/4)·(l/4))/(ЕI) = Ql²/(16EI) (11.6.1)

То, что мы только что делали называется интегрированием, ведь если умножить значение значение эпюры "Q" (рисунок 149.7.1) на длину действия нагрузки, мы тем самым определим площадь прямоугольника со сторонами "Q" и х, при этом площадь данного прямоугольника равняется значению эпюры "М" в точке х.

Теоретически получается, что мы можем определить значение тангенса угла поворота, интегрируя одно из уравнений моментов, составленных для нашей балки. Максимальное значение тангенса угла поворота для балки на двух шарнирных опорах, на которую действует сосредоточенная нагрузка посредине (рисунок 149.7.1), будет при х=l/2

tgθ = ∫Mdx/(EI) = ∫Axdx/(EI)= Ax²/(2EI) = (Q/2)·(l/2)²/(2ЕI) = Ql²/(16EI) (11.6.2)

где А - это реакция опоры = Q/2

При распределенной нагрузке интегрирование уравнения моментов: q(l/2)·x - qx²/2 для левой части балки дает следующий результат:

tgθ = ∫Mdx/(EI) = q·(l/2)·(l/2)²/(2ЕI) -q·(l/2)³/(6ЕI) = ql³/(24EI) (11.6.3)

Тот же результат мы получим и при использовании графо-аналитического метода.

Примечание: конечно же все это применимо в чистом виде только в частном случае - для симметричных нагрузок.

Когда мы определяли угол поворота, то для наглядности предположили, что балка деформировалась так, как показано на рисунке 5.2, потом так, как показано на рисунке 11.3.b, потом мы выяснили, что если бы второй опоры не было, то балка повернулась вокруг первой опоры, но в действительности вторая опора есть и потому так балка деформироваться (при нашей нагрузке на балку) не может. Так как на опоре нет никакого вращающего момента и соответственно никаких внутренних напряжений, способных изменить геометрическую форму балки, то геометрическая форма балки на опоре остается неизменной, а внутренние напряжения, увеличивающиеся по ходу балки, деформируют балку все сильнее и это приводит к тому, что балка поворачивается вокруг шарнирных опор и этот угол поворота равен углу наклона поперечного сечения θ (так как мы рассматриваем балку-параллелепипед):

Рисунок 11.4. Реальная деформация балки.

Если мы просто постоим эпюру углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой посредине по уравнениям для левой и для правой части балки, то эпюра будет выглядеть так:

Рисунок 11.5.

Данная эпюра была бы правильной только для балки, изображенной на рисунке 5.3.а. Очевидно, что в нашем случае эпюра так выглядеть не может и для построения правильной эпюры нужно учесть, что поперечные сечения балки имеют наклон на обоих опорах, причем наклон этот одинаковый по значению, но разный по направлению а наклон поперечного сечения балки посредине =0. Если мы опустим эпюру на Ql²/16EI, которое мы получаем при интегрировании уравнения моментов для левой части балки и которое показывает угол наклона поперечного сечения именно на опоре, то получим эпюру следующего вида:

Рисунок 11.6.

Данная эпюра абсолютно точно показывает, изменение угла поворота поперечных сечений, вдоль всей балки, а значение тангенса угла поворота на левой опоре балки не что иное, как некая постоянная С₁, которую мы получаем, если интегрирование выполнять корректно. И тогда уравнение угла поворота для балки при данной нагрузке на участке 0<x<0.5l будет выглядеть так:

tgθ_х = - tgθ_A + Ax²/(2EI) (11.6.5)

Эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой визуально ни чем не отличается от эпюры углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой, разница только в том, что эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой - это кубическая парабола. Уравнение угла поворота для балки с равномерно распределенной нагрузкой будет выглядеть так:

tgθ_х = - tgθ_A + Ax²/(2EI) - qx³/(6ЕI) (11.6.6)

По поводу знаков в данном уравнении. "-" означает, что рассматриваемый член уравнения как бы пытается повернуть балку против часовой стрелки относительно рассматриваемого поперечного сечения, а "+" - по часовой стрелке. Впрочем и по эпюре углов поворота видно, что значение tgθ_А должно быть отрицательным. Таким образом, если сечение имеет наклон по часовой стрелке относительно оси х, то оно будет отрицательным, а если против часовой стрелки - то положительным.

Ну и теперь самое главное, все эти разборки с углом поворота поперечного сечения нужны нам были для того, чтобы определить прогиб балки.

12. Определение прогиба.

(вернуться к основному содержанию)

Как мы видим из рисунка 11.4, треугольник с катетами h/2 и Δх является подобным треугольнику с катетом Х и вторым катетом, равным f+у, а это значит, что теперь мы можем определить значение прогиба:

tgθ = (f + y)/Х (12.1)

тогда

f + y = tgθ·X (12.2.1) или f + y = М·x·Х/(2ЕI) (12.2)

при малых значениях х значение у близко к 0, но в более дальних точках сечения значение у увеличивается. Значение у - это и есть влияние на величину прогиба наличия второй опоры. Отметим, что это значение у показывает разницу между реальным наклоном продольной оси балки и наклоном продольной оси балки, если бы балка просто поворачивалась вокруг опоры, и получается, что значение у зависит от изменения угла поворота. Кроме того, мы опять получили уравнение, в котором значение прогиба в некоторой точке зависит от тангенса угла поворота (12.2.1) и таким образом получается, что у угла поворота тоже есть "плечо действия". Например при у=f/2 (если присмотреться к левой части фотографии 1, то посредине балки это где-то так и будет) мы бы получили следующую формулу для определения прогиба:

f = М·x²/(3ЕI) (12.3.1)

Но мы не будем ничего предполагать, а воспользуемся интегрированием. Если мы проинтегрируем уравнение моментов для левой части балки, то получим значение у (эпюра для у показана бирюзовым цветом на фотографии 1):

у =∫∫∫(Q/2)dх = (Q/2)·(l/2)³/6EI = Ql³/(96EI) (12.3.2)

или площадь фиолетовой эпюры для левой части балки(рисунок 5.5), но нам нужна площадь голубой эпюры на левом участке балки (рисунок 5.6), которая в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры. Таким образом:

f =2∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2)³/6EI = Ql³/(48EI) (12.3.3)

Почему площадь голубой эпюры в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры, объяснить очень легко. Площадь треугольника равна 1/2 от площади прямоугольника с теми же сторонами, площадь фигуры, описанной квадратной параболой, составляет 1/3 от площади прямоугольника с теми же сторонами. Если бы мы развернули фиолетовую эпюру, то получили бы прямоугольник, образованный голубой и фиолетовой эпюрами. Соответственно, если из площади прямоугольника вычесть 1/3, то мы получим 2/3. У этого логического ряда есть продолжение - площадь фигуры, описанной кубической параболой, составляет 1/4 от площади прямоугольника с теми же сторонами и так далее.

Мы можем найти значение прогиба и другим способом. Из рисунка 11.4 и формул (12.2) следует, что:

f_х = - tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)

f_l/2 = - (Ql²/16EI) l/2 + (Ql³/96EI) = -(Ql³/48EI) (12.3.5)

В данном случае знак "-" показывает, что центр поперечного сечения балки переместится вниз по оси у относительно оси х. А теперь вернемся к фотографии 1. Под продольной осью балки изображена эпюра у, именно это значение в точке l/2 мы и вычли, решая уравнение (12.3.3).  Кроме того получается, что соотношение между f и у зависит от коэффициента предыдущего интегрирования, т.е. у = kf или f = y/k. Когда мы интегрировали уравнение сил, то получили коэффициент 1/2. Впрочем, такое же значение мы получили и тогда, когда определяли плечо действия момента. Если продолжить этот логический ряд, то получается, что при определении прогиба от распределенной нагрузки мы должны использовать коэффициент 1/3, то есть прогиб в середине балки мы можем вычислить по следующей формуле:

f= 2∫∫∫(ql/2)dx - 3∫∫∫∫qdх = (2(qlx³/6) - 3(qx⁴/24))/EI = 5ql⁴/(384EI) (12.4.4)

или

f_х= - ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdх (12.4.5)

f_l/2 = (- ql³x/24 + (qlx³/6) - (qx⁴/24))/EI = - 5ql⁴/(384EI) (12.4.6)

В данном случае знак "-" означает, что центр тяжести поперечного сечения перемещается вниз по оси у.

Примечание: Предложенный метод определения прогиба несколько отличается от общепринятых, так как я старался сделать основной упор на наглядность.

Если определять прогиб графоаналитическим методом, то площадь фиктивной нагрузки - эпюры моментов, описываемой квадратной параболой, будет составлять (согласно таблице 378.1) (2ql²/(8·3))l/2 = ql³/24. А расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат составляет 5/8, Тогда фиктивный момент равен (ql3/24)(5l/(8·2)) = 5ql⁴/384.

Конечно же, сосредоточенная нагрузка к балке может быть приложена и не посредине, распределенная нагрузка может быть не только равномерно распределенной и действовать не по всей длине балки, да и варианты крепления балки на опорах бывают разные. Но для того и существуют готовые формулы, чтобы ими пользоваться.

-Позвольте! - Скажете вы, - Все это хорошо, но как быть с касательными напряжениями? Ведь они действуют вдоль оси у и потому должны как-то влиять на прогиб!

Все верно. Касательные напряжения действительно влияют на прогиб, однако для балок с соотношением l/h > 10 это влияние очень незначительно и потому допустимо для определения прогиба пользоваться изложенным в данной статье методом.

Но это еще не все, как мы уже говорили, определить значение прогиба опытным путем достаточно просто по методу, описанному в самом начале статьи. Так так ничего лучшего под рукой не было, то я взял деревянную линейку, прообраз которой я так долго описывал (см. фотографию 1). Деревянная линейка имела размеры около 91.5 см, ширину b=4.96 см и высоту h=0.32 cм (высоту и ширину определял штангенциркулем). Затем я положил линейку на опоры, при этом расстояние между опорами составило около 90 см и таким образом получил балку с пролетом l=90 см. Под воздействием собственного веса линейка конечно же немного прогнулась, но столь малый прогиб меня не интересовал. Я измерил рулеткой (точность до 1 мм) расстояние от пола до низа линейки (77.65 см), затем приложил посредине условно сосредоточенную нагрузку (поместил посредине мерный стакан весом около 52 грамм с 250 граммами воды) и измерил расстояние от пола до низа линейки при нагрузке (75.5 см). Разница этих двух измерений и составила искомый прогиб. Таким образом величина прогиба определенного опытным путем составила 77.65 - 75.5 = 2.15 см. Осталось только найти модуль упругости для древесины, определить момент инерции для данного сечения и точно посчитать нагрузку. Модуль упругости Е для древесины = 10⁵ кгс/см², момент инерции прямоугольного сечения I_z = bh³/12 = 4.98·0.32³/12 = 0.01359872 см⁴, полная нагрузка - 0.302 кг.

Расчет прогиба по формуле дал: f = Ql³/(48EI) = 0.302·90³/(48·10⁵·0.0136) = 3.37 см. Напомню, что прогиб, определенный опытным путем, составил: f = 2.15 см. Возможно следовало учесть влияние на прогиб первой производной функции - тангенса угла поворота? Ведь угол наклона, судя по фотографии, достаточно большой.

Проверяем: tgθ = Ql²/(16EI) = 0.302·90²/(16·10⁵·0.0136) = 0.11233. Тогда согласно формулы (542.12) f = 3.37/((1 + 0.112²)^3/2) = 3.307 см. Т.е. влияние конечно есть, но оно не превышает 2% или 0.63 мм. 

Результат меня сначала удивил, но потом объяснений для такого расхождения нашлось несколько, в частности в середине поперечное сечение линейки было не прямоугольным, так как линейка была деформирована от времени и воздействия воды, соответственно момент инерции для такого сечения больше чем, для прямоугольного, кроме того, линейка изготовлена не из сосны, а из более твердой породы древесины, для которой и модуль упругости следует принимать больше. Да и с научной точки зрения одного результата совершенно недостаточно, чтобы говорить о каких-либо закономерностях. После этого я проверил величину прогиба для деревянного бруска с моментом инерции I=2.02 см⁴, длиной более 2 м при пролете 2 м под нагрузкой 2 кг, приложенной посредине бруска и тогда значение прогиба, определенного теоретическим путем и опытным путем, совпало до десятых долей миллиметра. Конечно, можно было бы и дальше продолжать эксперименты, но так уж получилось, что до меня это уже сделали сотни других людей и получили на практике результаты, очень близкие к теоретическим. А если еще учесть, что идеально изотропные материалы бывают только в теории, то это очень хорошие результаты.

13. Определение угла поворота через прогиб.

(вернуться к основному содержанию)

Определить значение угла поворота для шарнирно опертой балки, на которую действует только изгибающий момент M на одной из опор, например на опоре А, казалось бы, проще простого:

tgθ_х = - tgθ_A + Мx/(EI) - Аx²/(2ЕI) (13.1.1)

где А = М/l, (B = - M/l), но для этого нужно знать угол поворота на опоре А, а мы его не знаем, однако вычислить его помогает понимание того, что прогиб на опорах будет равен нулю и тогда:

f_A = tgθ_Bl - Bl³/(6EI) = 0; tgθ_B = - Ml³/(6l²EI) = - Ml/(6EI) (13.1.2)

f_B = tgθ_Al + Ml²/(2EI)- Al³/(6EI) = 0; tgθ_A = - Ml/(3EI) (13.1.3)

Как видим, угол поворота на опоре к которой приложен изгибающий момент, в два раза больше угла поворота на противоположной опоре, это очень важная закономерность, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

Когда сосредоточенная нагрузка к балке приложена не по центру тяжести или распределенная нагрузка является неравномерной, то углы поворота на опорах определяются через прогиб, как в вышеприведенном примере. Другими словами - значения начальных параметров определяются в ходе решения дифференциальных уравнений.

Расчет балок на прогиб. Максимальный прогиб балки: формула расчета

Балка – элемент в инженерии, представляющий собой стержень, который нагружают силы, действующие в направлении, перпендикулярном стержню. Деятельность инженеров зачастую включает в себя необходимость расчета прогиба балки под нагрузкой. Этой действие выполняется для того, чтобы ограничить максимальный прогиб балки.

Типы

На сегодняшний день в строительстве могут использоваться балки, изготовленные из разных материалов. Это может быть металл или дерево. Каждый конкретный случай подразумевает под собой разные балки. При этом расчет балок на прогиб может иметь некоторые отличия, которые возникают по принципу разницы в строении и используемых материалов.

Деревянные балки

Сегодняшнее индивидуальное строительство подразумевает под собой широкое применение балок, изготовленных из дерева. Практически каждое строение содержит в себе деревянные перекрытия. Балки из дерева могут использоваться как несущие элементы, их применяют при изготовлении полов, а также в качестве опор для перекрытий между этажами.

Ни для кого не секрет, что деревянная, так же как и стальная балка, имеет свойство прогибаться под воздействием нагрузочных сил. Стрелка прогиба зависит от того, какой материал используется, геометрических характеристик конструкции, в которой используется балка, и характера нагрузок.

Допустимый прогиб балки формируется из двух факторов:

• Соответствие прогиба и допустимых значений.
• Возможность эксплуатации здания с учетом прогиба.

Проводимые при строительстве расчеты на прочность и жесткость позволяют максимально эффективно оценить то, какие нагрузки сможет выдерживать здание в ходе эксплуатации. Также эти расчеты позволяют узнать, какой именно будет деформация элементов конструкции в каждом конкретном случае. Пожалуй, никто не будет спорить с тем, что подробные и максимально точные расчеты – это часть обязанностей инженеров-строителей, однако с использованием нескольких формул и навыка математических вычислений можно рассчитать все необходимые величины самостоятельно.

Для того чтобы произвести правильный расчет прогиба балки, нужно также брать во внимание тот факт, что в строительстве понятия жесткости и прочности являются неразрывными. Опираясь на данные расчета прочности, можно приступать к дальнейшим расчетам относительно жесткости. Стоит отметить, что расчет прогиба балки – один из незаменимых элементов расчета жесткости.

Обратите ваше внимание на то, что для проведения таких вычислений самостоятельно лучше всего использовать укрупненные расчеты, прибегая при этом к достаточно простым схемам. При этом также рекомендуется делать небольшой запас в большую сторону. Особенно если расчет касается несущих элементов.

Расчет балок на прогиб. Алгоритм работы

На самом деле алгоритм, по которому делается подобный расчет, достаточно прост. В качестве примера рассмотрим несколько упрощенную схему проведения расчета, при этом опустив некоторые специфические термины и формулы. Для того чтобы произвести расчет балок на прогиб, необходимо выполнить ряд действий в определенном порядке. Алгоритм проведения расчетов следующий:

• Составляется расчетная схема.
• Определяются геометрические характеристики балки.
• Вычисляется максимальную нагрузку на данный элемент.
• В случае возникновения необходимости проверяется прочность бруса по изгибающему моменту.
• Производится вычисление максимального прогиба.

Как видите, все действия достаточно просты и вполне выполнимы.

Составление расчетной схемы балки

Для того чтобы составить расчетную схему, не требуется больших знаний. Для этого достаточно знать размер и форму поперечного сечения элемента, пролет между опорами и способ опирания. Пролетом является расстояние между двумя опорами. К примеру, вы используете балки как опорные брусья перекрытия для несущих стен дома, между которыми 4 м, то величина пролета будет равна 4 м.

Вычисляя прогиб деревянной балки, их считают свободно опертыми элементами конструкции. В случае балки перекрытия для расчета принимается схема с нагрузкой, которая распределена равномерно. Обозначается она символом q. Если же нагрузка несет сосредоточенный характер, то берется схема с сосредоточенной нагрузкой, обозначаемой F. Величина этой нагрузки равна весу, который будет оказывать давление на конструкцию.

Момент инерции

Геометрическая характеристика, которая получила название момент инерции, важна при проведении расчетов на прогиб балки. Формула позволяет вычислить эту величину, мы приведем ее немного ниже.

При вычислении момента инерции нужно обращать внимание на то, что размер этой характеристики зависит от того, какова ориентация элемента в пространстве. При этом наблюдается обратно пропорциональная зависимость между моментом инерции и величиной прогиба. Чем меньше значение момента инерции, тем больше будет значение прогиба и наоборот. Эту зависимость достаточно легко отследить на практике. Каждый человек знает, что доска, положенная на ребро, прогибается гораздо меньше, чем аналогичная доска, находящаяся в нормальном положении.

Подсчет момента инерции для балки с прямоугольным сечением производится по формуле:

J=b*h^3/12, где:

b – ширина сечения;

h – высота сечения балки.

Вычисления максимального уровня нагрузки

Определение максимальной нагрузки на элемент конструкции производится с учетом целого ряда факторов и показателей. Обычно при вычислении уровня нагрузки берут во внимание вес 1 погонного метра балки, вес 1 квадратного метра перекрытия, нагрузку на перекрытие временного характера и нагрузку от перегородок на 1 квадратный метр перекрытия. Также учитывается расстояние между балками, измеренное в метрах. Для примера вычисления максимальной нагрузки на деревянную балку примем усредненные значения, согласно которым вес перекрытия составляет 60 кг/м², временная нагрузка на перекрытие равна 250 кг/м², перегородки будут весить 75 кг/м². Вес самой балки очень просто вычислить, зная ее объем и плотность. Предположим, что используется деревянная балка сечением 0,15х0,2 м. В этом случае ее вес будет составлять 18 кг/пог.м. Также для примера примем расстояние между брусьями перекрытия равным 600 мм. В этом случае нужный нам коэффициент составит 0,6.

В результате вычисления максимальной нагрузки получаем следующий результат: q=(60+250+75)*0,6+18=249 кг/м.

Когда значение получено, можно переходить к расчету максимального прогиба.

Вычисление значения максимального прогиба

Когда проводится расчет балки, формула отображает в себе все необходимые элементы. При этом стоит учитывать, что формула, используемая для расчетов, может иметь несколько иной вид, если расчет проводится для разных типов нагрузок, которые будут оказывать влияние на балку.

Сначала приведем вашему вниманию формулу, используемую для расчета максимального прогиба деревянной балки с распределенной нагрузкой.

f=- q*l^4/38 E*J.

Обратите внимание, что в данной формуле Е – это постоянная величина, которая получила название модуль упругости материала. Для древесины эта величина равна 100 000 кгс/ м².

Продолжив вычисления с нашими данными, использованными для примера, получим то, что для балки из древесины, сечение которой составляет 0,15х0,2 м, а длина равна 4 м, величина максимального прогиба при воздействии распределенной нагрузки равна 0,83 см.

Обращаем внимание, что когда производится расчет прогиба с учетом схемы с сосредоточенной нагрузкой, формула приобретает следующий вид:

f=-F*l^3/48*E*J, где:

F – сила давления на брус.

Также обращаем внимание на то, что значение модуля упругости, используемое в расчетах, может различаться для разных видов древесины. Влияние оказывают не только порода дерева, но и вид бруса. Поэтому цельная балка из дерева, клееный брус или оцилиндрованное бревно будут иметь разные модули упругости, а значит, и разные значения максимального прогиба.

Вы можете преследовать разные цели, совершая расчет балок на прогиб. Если вы хотите узнать пределы деформации элементов конструкции, то по завершении расчета стрелки прогиба вы можете остановиться. Если же ваша цель – установить уровень соответствия найденных показателей строительным нормам, то их нужно сравнить с данными, которые размещены в специальных документах нормативного характера.

Двутавровая балка

Обратите внимание на то, что балки из двутавра применяются несколько реже в силу их формы. Однако также не стоит забывать, что такой элемент конструкции выдерживает гораздо большие нагрузки, чем уголок или швеллер, альтернативой которых может стать двутавровая балка.

Расчет прогиба двутавровой балки стоит производить в том случае, если вы собираетесь использовать ее в качестве мощного элемента конструкции.

Также обращаем ваше внимание на то, что не для всех типов балок из двутавра можно производить расчет прогиба. В каких же случаях разрешено рассчитать прогиб двутавровой балки? Всего таких случаев 6, которые соответствуют шести типам двутавровых балок. Эти типы следующие:

• Балка однопролетного типа с равномерно распределенной нагрузкой.
• Консоль с жесткой заделкой на одном конце и равномерно распределенной нагрузкой.
• Балка из одного пролета с консолью с одной стороны, к которой прикладывается равномерно распределенная нагрузка.
• Однопролетная балка с шарнирным типом опирания с сосредоточенной силой.
• Однопролетная шарнирно опертая балка с двумя сосредоточенными силами.
• Консоль с жесткой заделкой и сосредоточенной силой.

Металлические балки

Расчет максимального прогиба одинаковый, будь это стальная балка или же элемент из другого материала. Главное - помнить о тех величинах, которые специфические и постоянные, как к примеру модуль упругости материала. При работе с металлическими балками, важно помнить, что они могут быть изготовлены из стали или же из двутавра. Прогиб металлической балки, изготовленной из стали, вычисляется с учетом, что константа Е в данном случае составляет 2·105Мпа. Все остальные элементы, вроде момента инерции, вычисляются по алгоритмам, описанным выше.

Расчет максимального прогиба для балки с двумя опорами

В качестве примера рассмотрим схему, в которой балка находится на двух опорах, а к ней прикладывается сосредоточенная сила в произвольной точке. До момента прикладывания силы балка представляла собой прямую линию, однако под воздействием силы изменила свой вид и вследствие деформации стала кривой.

Предположим, что плоскость ХУ является плоскостью симметрии балки на двух опорах. Все нагрузки действуют на балку в этой плоскости. В этом случае фактом будет то, что кривая, полученная в результате действия силы, также будет находиться в этой плоскости. Данная кривая получила название упругой линии балки или же линии прогибов балки. Алгебраически решить упругую линию балки и рассчитать прогиб балки, формула которого будет постоянной для балок с двумя опорами, можно следующим образом.

Прогиб на расстоянии z от левой опоры балки при 0 ≤ z ≤ a

F(z)=(P*a²*b²)/(6E*J*l)*(2*z/a+z/b-z³/a²*b)

Прогиб балки на двух опорах на расстоянии z от левой опоры при а ≤ z ≤l

f(z)=(-P*a²*b²)/(6E*J*l)*(2*(l-z)/b+(l-z)/a-(l-z)³/a+b²), где Р – прикладываемая сила, Е – модуль упругости материала, J – осевой момент инерции.

В случае балки с двумя опорами момент инерции вычисляется следующим образом:

J=b₁h₁³/12, где b₁ и h₁ – значения ширины и высоты сечения используемой балки соответственно.

Заключение

В заключение можно сделать вывод о том, что самстоятельно вычислить величину максимального прогиба балки разных типов достаточно просто. Как было показано в этой статье, главное - знать некоторые характеристики, которые зависят от материала и его геометрических характеристик, а также провести вычисления по нескольким формулам, в которых каждый параметр имеет свое объяснение и не берется из ниоткуда.

Расчет стальной балки на прогиб

При расчете стальных балок по II-й ГПС (по прогибам) необходимо создавать раскрепления для прогибов:

Информация из справки LIRA SAPR (Справка\Пояснения Сталь\Проверки прогибов):

Проверка прогиба осуществляется сопоставлением реально определенного относительного прогиба (L/f) с максимально возможным для данного конструктивного элемента прогибом.

В данной версии проверка выполняется только для балок на основании состава загружений во всех сочетаниях. Учитываются коэффициенты надежности по нагрузке (заданные при формировании РСУ в среде ПК ЛИРА-САПР) и коэффициенты сочетания.

Перемещения, вызванные загружениями с долей длительности 0, в данном расчете не используются.

Прогибы находятся для каждого сечения на основании распределения MY1, MZ1, QY1, QZ1 по длине элемента. Соответственно, увеличение количества расчетных сечений способствует более точному определению прогибов (особенно, если воздействуют сосредоточенные силовые факторы).

В режиме локального расчета элемента (см. справочную систему СТК-САПР) имеется возможность расчета прогибов по огибающим эпюрам изгибающего момента в запас. Это может потребоваться, когда редактируются расчетные сочетания усилий (или нагрузок) и теряется связь с результатами расчета на ПК ЛИРА-САПР основной схемы.

Важно: Предусмотрена возможность определять не чистые перемещения (относительно локальных осей Y и Z в недеформированной схеме), а прогиб относительно двух выбранных условно неподвижных точек – точек раскрепления (в случае консоли, например, относительно одной точки).

Схема к определению прогибов балки с раскреплениями и без раскреплений

На приведенном фрагменте показан механизм определения прогибов (они обозначены как di и dk) в конструктивном элементе с наложенными раскреплениями на элементы.

Если раскрепления не наложены, то прогиб принимается равным полному расстоянию до оси X.

Важно: Если балка (ригель) разбита по длине промежуточными узлами, то для нее необходимо создать конструктивный элемент и раскрепления для проверки прогибов создавать как для конструктивного элемента (т.е. для балки как единого целого). В расчете стальных конструкций коэффициент расчетной длины (и для балок, и для колонн, и для ферм) применяется к длине конечного элемента (КЭ), если не задан конструктивный элемент (КоЭ). Если задан КоЭ, то коэффициент расчетной длины применяется к полной длине КоЭ.

Пример расчета однопролетной балки

Расчётная модель рамы с цельным ригелем и разбитым на отдельные элементы

Согласно нормативной документации прогиб определяется от действия нормативных нагрузок. Поскольку в LIRA SAPR все нагрузки прикладываются к узлам и элементам их расчётными значениями, при определении прогибов программа определяет нормативное значение нагрузок путём деления их на коэффициент надёжности.

Посмотреть какие приняты коэффициенты надёжности, а также ввести их вручную, если это необходимо, можно в окне параметров расчёта.

Окно параметров расчёта, вызываемое из окна задания параметров для стальных конструкций

Подробнее о корректировке коэффициентов надёжности для расчета прогибов вручную читайте в статье "Коэффициенты к временным нагрузкам при проверке прогиба"

Мозаика результатов проверки назначенных сечений по 2 предельному состоянию

Предельно допустимый L/200=6000/200=30мм

Без задания раскреплений (по абсолютному перемещению узлов балки):
((39,8мм/ к-т надежности по нагрузке)/ 30мм))*100%=((39,8/1,1)/30)*100%=120,6%

С заданием раскреплений (по относительному перемещению узлов балки за вычетом перемещений опорных узлов):
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Ручной ввод расчётной длины балки для расчёта прогибов

В диалоговом окне задания характеристик расчёта стальной балки присутствует группа параметров Расчёт по прогибу.

Информация из справки ЛИРА САПР:
Расчет по прогибу – данные для расчета прогиба. Длина пролета авто – вычисляется по положению раскреплений. Длина пролета точно – длина пролета при расчете приравнивается этому числу.

Рассмотрим раму из предыдущего примера, только теперь раскрепления для прогибов назначим для всех конструкций, а расчётные длины будем для первого случая задавать автоматическим способом, а для второго ручным.

Расчётная модель с информацией о назначенных расчётных длинах балок

Результаты расчётов прогибов балок

Предельно допустимый прогиб при длине 6 м L/200=6000/200=30мм

Предельно допустимый прогиб при длине 4 м L/200=4000/200=20мм

Проценты использования по предельному прогибу

Длина балки 6 м:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Расчёт прогибов стрельчатой арки

Пример — рама переменного сечения (РПС) пролётом 18 м. Соединение полурам в коньке — шарнирное, опирание полурам на фундамент — шарнирное.

Расчётная модель рамы

При этом в параметрах «Дополнительные характеристики» необходимо указать вручную пролет, с которым программа будет сравнивать прогиб (автоматическое определение пролета возможно только для линейных балок, где все конечные элементы (КЭ) конструктивного элемента (КоЭ) лежат на одной оси):

Эпюра перемещений fz ригеля одной полурамы (вдоль местной оси Z1 стержня)

Мозаика перемещений узлов по Z и «Раскрепления для прогибов» (раскреплён только ригель №4)

Результаты определения прогибов в СТК-САПР:

Результаты определения прогибов ригелей №2 и №4

Предельно допустимый L/200=17664/200=88.32 мм

Без задания раскреплений (по абсолютному значению на эпюре прогибов fz):
96.7/17644=1/182 — совпадает с результатом расчёта элемента №2

С заданием раскреплений (по относительному значению на эпюре прогибов fz):
(96.7-(-6.46))/17644=1/171 — совпадает с результатом расчёта элемента №4

Без задания раскреплений (по абсолютному значению перемещений узлов):
99.8/17644=1/177 — не совпадает ни с чем

Вывод: Расчёт на прогибы выполняется в местной системе координат стержня. Прогиб стрельчатых и цилиндрических арок, а также любых криволинейных конструкций, нужно определять по перемещениям узлов в глобальной системе координат и вручную сравнивать с предельно допустимыми значениями.

Расчёт прогибов цилиндрической арки

Пример – цилиндрическая арка пролётом 18 м, стрелой подъёма f = 9 м. Соединение всех элементов между собой — жёсткое, опирание на фундамент — шарнирное.

Нагрузки на арку приложены их расчётными значениями. Значения нагрузок для определения прогибов принимаются согласно СП 20.13330.2016 Нагрузки и воздействия, таблица Д.1 Приложения Д. В данном примере арка является конструкцией покрытия, прогиб которой должен определяться от постоянных и длительных нагрузок (п.2 табл. Д.1). Для визуализации перемещений от нормативных значений нагрузок, необходимо создать особое РСН с нормативными длительными значениями нагрузок. Нагрузки в данном РСН нужно поделить на коэффициент надёжности, с учётом длительности. На конструкцию действуют два загружения:

Загружение 1 — постоянное, коэффициент надёжности 1.1;
Загружение 2 — кратковременное, коэффициент надёжности 1.2, доля длительности 0.35;

Вычислим коэффициенты для перехода к нормативным значениям

Загружение 1 Kn=1/1.1=0.91;
Загружение 2 Kn=1/1.2*0.35=0.292

Таблица РСН с сочетаниями расчётных и нормативных значений нагрузок с учётом длительности.

Мозаика перемещений узлов цилиндрической арки от РСН2

Предельно допустимый прогиб L/200=18000/200=90 мм

Фактический прогиб (по абсолютному значению перемещений узлов): 32.2/18000=1/559 – меньше предельно допустимого значения.

Примечание: если подобная конструкция стоит на своих опорах, то перемещения опорных точек (для получения относительных перемещений) удобно получить через «Мозаику относительных перемещений», указав реперный узел.

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК (абсолютных)

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК относительно реперного узла

Расчет балки на изгиб | Блог Александра Воробьева

Опубликовано 28 Апр 2013
Рубрика: Механика | 94 комментария

Расчет балки на изгиб «вручную», по-дедовски, позволяет познать один из важнейших, красивейших, четко математически выверенных алгоритмов науки сопротивление материалов. Использование многочисленных программ типа «ввел исходные данные...

...– получи ответ» позволяет современному инженеру сегодня работать гораздо быстрее, чем его предшественникам сто, пятьдесят и даже двадцать лет назад. Однако при таком современном подходе инженер вынужден полностью доверять авторам программы и со временем перестает «ощущать физический смысл» расчетов. Но авторы программы – это люди, а людям свойственно ошибаться. Если бы это было не так, то не было бы многочисленных патчей, релизов, «заплаток» практически к любому программному обеспечению. Поэтому, мне кажется, любой инженер должен уметь иногда «вручную» проверить результаты расчетов.

Справка (шпаргалка, памятка) для расчётов балок на изгиб представлена ниже на рисунке.

Давайте на простом житейском примере попробуем ей воспользоваться. Допустим, я решил сделать в квартире турник. Определено место – коридор шириной один метр двадцать сантиметров. На противоположных стенах на необходимой высоте напротив друг друга надежно закрепляю кронштейны, к которым будет крепиться балка-перекладина – пруток из стали Ст3 с наружным диаметром тридцать два миллиметра. Выдержит  ли эта балка мой вес плюс дополнительные динамические нагрузки, которые возникнут при выполнении упражнений?

Чертим схему для расчета балки на изгиб. Очевидно, что наиболее опасной будет схема приложения внешней нагрузки, когда я начну подтягиваться, зацепившись одной рукой за середину перекладины.

Исходные данные:

F1 = 900 н – сила, действующая на балку (мой вес) без учета динамики

b1 = 0 м

b2 = 0,6 м

b3 = 1,2 м

d = 32 мм – наружный диаметр прутка, из которого сделана балка

E = 206000 н/мм^2 — модуль упругости материала балки стали Ст3

[σи] = 250 н/мм^2 — допустимые напряжения изгиба (предел текучести) для материала балки   стали Ст3

Граничные условия:

Мx (0) = 0 н*м – момент в точке z = 0 м (первая опора)

Мx (1,2) = 0 н*м– момент в точке z = 1,2 м (вторая опора)

V (0) = 0 мм – прогиб в точке z = 0 м (первая опора)

V (1,2) = 0 мм – прогиб в точке z = 1,2 м (вторая опора)

Расчет:

1. Для начала вычислим момент инерции Ix и момент сопротивления Wx сечения балки. Они нам пригодятся в дальнейших расчетах. Для кругового сечения (каковым является сечение прутка):

Ix = (π*d^4)/64 = (3.14*(32/10)^4)/64 = 5,147 см^4

Wx = (π*d^3)/32 = ((3.14*(32/10)^3)/32) = 3,217 см^3

2. Составляем уравнения равновесия для вычисления реакций опор R1 и R2:

Qy = -R1+F1-R2 = 0

Мx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0

Из второго уравнения: R2 = F1*b2/b3 = 900*0.6/1.2 = 450 н

Из первого уравнения: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 н

3. Найдем угол поворота балки в первой опоре при z = 0 из уравнения прогиба для второго участка:

V (1.2) = V (0)+U (0)*1.2+(-R1*((1.2-b1)^3)/6+F1*((1.2-b2)^3)/6)/

/(E*Ix) = 0

U (0) = (R1*((1.2-b1)^3)/6 -F1*((1.2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =

= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/

/(206000*5,147/100)/1,2  = 0,00764 рад = 0,44˚

4. Составляем уравнения для построения эпюр для первого участка (0<z<b2):

Поперечная сила: Qy (z) = -R1

Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1)

Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix)

Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix)

z = 0 м:

Qy (0) = -R1 = -450 н

Мx (0) = 0

Ux (0) = U (0) = 0,00764 рад

Vy (0) = V (0) = 0 мм

z = 0,6 м:

Qy (0,6) = -R1 = -450 н

Мx (0,6) = -R1*(0,6-b1) = -450*(0,6-0) = -270 н*м

Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) =

= 0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 рад

Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) =

= 0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 м

Балка прогнется по центру на 3 мм под тяжестью моего тела. Думаю, это приемлемый прогиб.

5. Пишем уравнения эпюр для второго участка (b2<z<b3):

Поперечная сила: Qy (z) = -R1+F1

Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2)

Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix)

Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/(E*Ix)

z = 1,2 м:

Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450 н

Мx (1,2) = 0 н*м

Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E*Ix) =

= 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/

/(206000*5,147/100) = -0.00764 рад

Vy (1,2) = V (1,2) = 0 м

6. Строим эпюры, используя данные полученные выше.

7. Рассчитываем напряжения изгиба в наиболее нагруженном сечении – посередине балки и сравниваем с допустимыми напряжениями:

σи = Mx max/Wx = (270*1000)/(3,217*1000) = 84 н/мм^2

σи = 84 н/мм^2 < [σи] = 250 н/мм^2

По прочности на изгиб расчет показал трехкратный запас прочности – турник можно смело делать из имеющегося прутка диаметром тридцать два миллиметра и длиной тысяча двести миллиметров.

Таким образом, вы теперь легко можете произвести расчет балки на изгиб «вручную» и сравнить с результатами, полученными при расчете по любой из многочисленных программ, представленных в Сети.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора ПОДПИСАТЬСЯ на анонсы статей.

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Расчет балки на прогиб - онлайн калькулятор

Онлайн калькулятор по определению прогиба балки.
Для расчета вам необходимо:
1. Выбрать форму поперечного сечения
2. Выбрать материал (при использовании металлических балок - можно использовать сортамент)
3. Выбрать необходимую расчетную схему
4. Выбрать вид нагрузки (распределенная по длине балки либо сосредоточенная)
5. Указать геометрические размеры, указанные на картинках
6. Задать нагрузку (нагрузку можно рассчитать онлайн здесь)

При расчете балки программа уже учитывает собственный вес.

Если данный калькулятор оказался Вам полезен – не забывайте делиться им с друзьями и коллегами ссылкой в соц.сети, а также посмотреть другие строительные калькуляторы онлайн, они простые, но здорово облегчают жизнь строителям и тем, кто решил сам строить свой дом с нуля.

Расчет критического момента бисимметричных стальных балок двутаврового сечения при сложных режимах нагрузки - Inżynieria i Budownictwo - Volume R. 77, No. 1-2 (2021) - BazTech

ЕН

Расчет критического момента стальных балок бисимметричного двутаврового сечения при комбинированном нагружении

PL

Представлены результаты исследования, выполненного в рамках первой авторской кандидатской диссертации по поперечному кручению бисимметричных двутавровых балок.Полученные формулы моментов и элементарные коэффициенты преобразования, относящиеся к состояниям симметрии и антисимметрии, сведены в таблицы. Они позволяют использовать электронную таблицу для определения значения коэффициента эквивалентного момента для определения критического момента в случае нагрузки, состоящей из опорных моментов и пролетной нагрузки. Представлен алгоритм процедуры и численный пример, иллюстрирующий использование предоставленных формул и таблиц.

ЕН

В статье представлены результаты исследований, выполненных в рамках магистерской диссертации первого автора по изучению потери устойчивости при кручении стальных балок бисимметричного двутаврового сечения.Результирующие уравнения для моментов и элементарных коэффициентов преобразования для симметричного и антисимметричного случаев приведены в таблицах. Уравнения, представленные в таблицах, подходят для расчета критических моментов балок при комбинированном нагружении, состоящем из концевых моментов и пролетных нагрузок. Блок-схема и расчетный пример включены, которые иллюстрируют, как блок-схема и таблицы используются в практических приложениях.

Библиогр.10 поз. ил., табл.

• Варшавский технологический университет, факультет гражданского строительства

• Варшавский технологический университет, факультет гражданского строительства

• [1] Битер Р.: боковое выпучивание свободно опертых двутавровых двутавровых балок без ограничений. «Архив строительства», No. 61 (4) / 2015.
• [2] Gelea Y .: Déversernent élastique d'une poutre à section bi-symétrique soumise à des extrémité et une charge répartie ou concentrée. «Ревю Констракшн Металлик», № 1. 2/2002.
• [3] Боршт А.М., Гижеёвский М.А., Пенкацка М.: Упругое поперечное выпучивание балок. Архив гражданского строительства (в процессе подготовки).
• [4] Pękacka M.: Упругое выпучивание стальных двутавровых балок под действием выбранных пролетных нагрузок и опорных моментов. Дипломная работа. Факультет гражданского строительства, Варшавский технологический университет, Варшава 2020.
• [5] PN-EN 1993-1-1:2006 Проектирование стальных конструкций. Часть 1-1. Общие нормы и правила для зданий.
• [6] Тимошенко С.П., Гир Дж.М.: Теория упругой устойчивости. 2-е издание, Нью-Йорк, McGraw-Hill, 1991.
• [7] Трахир Н.С.: Изгибно-крутильное выпучивание конструкций. 1-е издание, Бока-Ратон, CRC Press, 1993.
.
• [8] Трахир Н.С., Брэдфорд М.А., Нетеркот Д.А., Гарднер Л.: Поведение и проектирование стальных конструкций по EC3. 2-е издание, Лондон-Нью-Йорк, Тейлор и Фрэнсис, 2008 г.
• [9] Дополнительная информация: Упругий критический момент при поперечном выпучивании. SN003a-PL-EU, доступная сталь. https://www.piks.com.pl/access-steel/.
• [10] Программное обеспечение: LTBeam, Боковой изгиб балок при кручении Ивана Галеа, CTICM, 2002 г. https://ltbeam.software.informer.com/.

Разработка протокола из средств Министерства науки и высшего образования, договор № 461252 по программе «Социальная ответственность науки» - модуль: Популяризация науки и популяризация спорта (2021).

bwmeta1.element.baztech-97c8e887-8cc1-4140-a701-05ef649a95c1

Определение размеров клееного бруса на кручение

Pисунок 01 - Раздвоенная балка с распределенной нагрузкой (Источник:

На этих опорах действуют крутящие моменты, которые следует рассчитывать по [2], пункт 6.1.9:

Тип 1

τtor, dkshape fv, d (τy, dfv, d) ² (τz, dfv, d) ²

Наложение внутренних усилий от усилий сдвига и кручения должно предотвращать образование трещин на жесткой опоре.

Pисунок 02 - Трещины в клееных балках (Источник:

Крутящий момент на концевых опорах возникает из-за прогиба балки под действием синусоидальной нагрузки (см.Рисунок 03).

Pисунок 03 - Уклонение от луча

Согласно [1] установите значение l / 400 для начального прогиба. Это связано с минимальными требованиями к усилению вторичной несущей системы. Для получения дополнительной информации см., например, [3].

Однако современные методы расчета элементов конструкции не позволяют обнаружить кручение на опорах. Кроме того, многие расчетные программы не позволяют учитывать коробление поперечного сечения. Поскольку расчеты часто выполняются в программах для двумерного структурного анализа, ограничивающий критерий приведен в [2], раздел NCI до 9.2.5.3 (выражение 2):

Стиль 2

λef = лев. · hb² ≤ 225

Если коэффициент гибкости балки меньше этого значения, компонентами напряжения кручения можно пренебречь.

Расчеты для клееного бруса RX-TIMBER

Следующий пример поясняет эту взаимосвязь.
Конструкция:
Пролет = 25 м
Материал = GL24c
Поперечное сечение = 12 см / 242 см (без конькового клина)

Pисунок 04 - Геометрия балки

Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой 13,5 кН/м.Самозагрузка игнорируется.

Решающим методом расчета является анализ напряжения при кручении, указанный в выражении 1. В этом случае l _ef равно пролету в 2,46 м. Расстояние между опорами для поперечного выпячивания при кручении можно использовать только при горизонтальном жесткости надстройки нет, здесь дело обстоит именно так.

Стиль 3

λef = lef hb² = 2,460 см 240 см (12 см) ² = 4,100 > 225τtor, dkshape fv, d τz, dfv, d2 = 0,11 кН/см² 1,3 0,16 кН/см² 0,12 кН/см² 0,16 кН/см²2 = 1,1

Внутренние силы и напряжения:

Стиль 4

ТМ, d = Mmax, d80 = 102.665 кНсм80 = 12,8 кНмWt = 11,520 см³τtor, d = 1,280 кНсм11,520 см³ = 0,11 кН/см²τd = 1,5Vdkcr · bh = 0,12 кН/см²

Расчет на стесненное кручение

RF-/FE-LTB позволяет приложить к балке эксцентрическую сжимающую силу. Таким образом, к балке можно приложить равномерную нагрузку 13,5 кН/м.

Рисунок 05

Как показано на рисунке 05, эксцентриситет нагрузки установлен на 6 см. Кроме того, была применена боковая деформация 6,15 см согласно [2] (NA.5).

Стиль 5

е = l400cl = 2,460 см 400 = 6,15 см

Основываясь на теории изгиба Бернулли, RF-/FE-LTB может определить критическую нагрузку F _ki, и, следовательно, идеальный упругий критический момент M _{k и} и скручивающую нагрузку N _{ki, phi} .

Расчеты основаны на теории потери устойчивости при кручении второго порядка. Также учитывается коробление поперечного сечения (7-я степень свободы).

Для учета соответствующего кровельного покрытия или усиления за счет вторичной несущей системы определена пружина, вращающаяся вокруг локальной оси x элемента.Программа преобразует эту пружину в центр сдвига М.

Pисунок 06 - Непрерывные пружины (от RF-/FE-LTB)

Вращающаяся пружина используется только для достижения деформации, показанной на рис. 02. Поступательная пружина на верхнем фланце конструкции была бы ближе к реальности. Однако из-за кривизны балки невозможно создать требуемую форму несовершенства. Тогда форма несовершенства будет нарушена в центре, как показано на рис. 07. Таким образом, крутящие моменты будут значительно уменьшены.

Pисунок 07 - Режим отказа

При вращательной опоре 500 кНм/м опоры создают крутящий момент 9,8 кНм.

Pисунок 08 - Крутящие моменты

Используя этот крутящий момент, можно пересчитать [1] в RX -TIMBER -клееную -ламинированную балку. Для этого определяется крутящий момент в RX -TIMBER -клееной -ламинированной балке.

Рисунок 09

Стиль 6

0,085 кН/см² 1,3 0,16 кН/см² 0,12 кН/см² 0,16 кН/см²2 = 0,97 <1

Резюме

Конструкцию можно спроектировать намного экономичнее, принимая во внимание жесткость поперечного сечения.

Отличие от общего подхода, описанного в разделе 9.2.5 в [2], еще более серьезное при замене виртуального шарнирного ограничителя на пружинную поступательную жесткость 915 Н/мм для традиционной продольной деформации гвоздь-стержень, например .

Ссылки

Расчет деформации балки. Максимальное отклонение луча: стиль

Балка - элемент брусовой техники, нагружаемый силами, действующими в направлении, перпендикулярном брусу. В деятельности инженеров часто требуется расчет прогиба балки под нагрузкой. Это действие делается для ограничения максимального отклонения балки.

типы

До сих пор конструкция может использоваться для связок из различных материалов.Он может быть изготовлен из металла или дерева. В каждом случае предполагается отдельный пакет. Расчет вариационной балки может иметь некоторые отличия, возникающие из-за различий в конструкции и используемых материалах.

деревянные балки

Современное индивидуальное строительство подразумевает широкое использование деревянного бруса. Почти в каждом доме деревянные полы. Деревянные балки можно использовать как несущие элементы, их применяют при изготовлении пола, а также как опору для досок между этажами.

Ни для кого не секрет, что древесина, как и стальная балка, имеет свойство изгибаться под действием экстремальных нагрузок. Стрела прогиба зависит от того, из какого материала она используется, особенностей геометрической конструкции, в которой используется балка, и характера нагрузок.

Допустимое отклонение балки складывается из двух факторов:

• Отклонение соответствия и предельные значения.
• Возможность использования здания с учетом прогиба.

Ориентируемые при строительстве прочность и жесткость позволяют наиболее полно оценить, какую нагрузку может выдержать здание в процессе эксплуатации.Также эти расчеты позволяют точно знать, каковы будут деформации элементов конструкции в каждом конкретном случае. Пожалуй, никто не будет спорить с тем, что максимально подробные и точные расчеты входят в обязанности инженеров, но все необходимые величины можно рассчитать с помощью ряда формул и навыков математических расчетов самостоятельно.

Для обеспечения правильного расчета прогиба балки следует также учитывать, что в конструкции понятия жесткости и прочности неразделимы.На основании данных расчета прочности можно приступить к дальнейшим расчетам относительной жесткости. Следует отметить, что расчет прогиба балки - один из обязательных элементов расчета на жесткость.

Обратите внимание, что для этих расчетов лучше использовать агрегированные расчеты, прибегая к достаточно простой схеме. Небольшой запас в большую сторону также рекомендуется. Особенно если речь идет о расчете несущих элементов.

Расчет деформации балки.алгоритм

На самом деле алгоритм, по которому можно сделать подобный расчет, прост. Как пример, что какая-то упрощённая схема расчёта да игнорирование каких-то специфических условий и формул. Чтобы затем рассчитать отклонение балки, выполните следующие действия последовательно. Алгоритм расчета по следующим причинам:

• Программа рассчитана.
• Заданы геометрические свойства балки.
• Расчет максимальной нагрузки на элемент.
• При необходимости проверить прочность бруса на изгибающий момент.
• Рассчитать максимальное отклонение.

Как видите, все шаги достаточно просты и выполнимы.

Подготовка балки Метод расчета

Для того, чтобы сделать вычислительную систему, не требующую больших знаний. Достаточно знать размер и форму поперечного сечения элемента, пролет между опорами и способ опирания. Пролет – это расстояние между двумя опорами.Например, можно использовать балки, составляющие несущие стержни, перекрывающие несущие стены здания, среди которых значение 4 м равно пролету до 4 м.

Расчет отклонения деревянного бруса, им считаются опорные элементы конструкции. В случае с балками перекрытия расчет переносится с периметра, нагрузки распределяются равномерно. Отмечен символами q. Если нагрузка удерживается централизованно в природе, которая берется из цепи сосредоточенной нагрузки, обозначенной F.Величина этой нагрузки равна массе, которая будет оказывать давление на конструкцию.

момент инерции

, называемые моментом инерции, важны при расчете прогиба балки. Формула позволяет рассчитать это значение, мы приведем его чуть ниже.

При расчете момента инерции обратите внимание на то, что величина этой функции зависит от ориентации элемента в пространстве. Таким образом, существует обратная зависимость между моментом инерции и величиной прогиба.3/12 где:

Б - ширина сечения;

H - высота сечения балки.

Рассчитать максимальный уровень нагрузки

Определение максимальной нагрузки на элемент конструкции производят с учетом ряда факторов и показателей. Обычно при расчете уровня нагрузки учитывают вес 1 метра балок, вес 1 квадратного метра перекрытия, нагрузки на крышу и временной характер нагрузки от стен на квадратный метр перекрытия.расстояние между балками учитывается измеряется в метрах. Например, для расчета максимальной нагрузки на деревянные балки по среднему значению, согласно которому масса перекрытия 60 кг/м, временная нагрузка на крышу 250 кг/м, вес перегородки 75 кг/м. брус очень просто рассчитать, зная размер и плотность. Предположим, используется деревянный брус сечением 0,15х0,2 м. В этом случае его вес составит 18 кг/м. Также, например, предположим, что расстояние перекрытия балки равно 600 мм.В этом случае искомое соотношение составляет 0,6 мкс.

Расчет максимальной нагрузки дает следующие результаты: q = (60 + 250 + 75) * 0,6 + 18 = 249 кг/м

После получения значения можно перейти к расчету максимального отклонения.

Расчет максимального значения отклонения

При расчете радиуса формула содержит все необходимые элементы. Обратите внимание, что формула, используемая для расчета, может иметь несколько иную точку зрения, если расчеты выполняются для разных видов нагрузок, которые будут воздействовать на балку.4/384 * Э * Дж.

Следует отметить, что в этой формуле Е - непрерывная величина, называемая модулем упругости материала. Для древесины t 100 000 кг/м 9000 3

Продолжая расчетные данные, использованные для примера, получаем, что для деревянных балок сечением 0,15х0,2 м и длиной 4 м величина максимального прогиба после воздействия на них распределения нагрузки составляет 0,83 см.

Отметим, что при произведенном расчете прогиба с учетом окружности сосредоточенной нагрузки формула принимает следующий вид:

Rf = -F * l, 3/48 * E * J где:

F - сила давления в древесине.

Также стоит отметить, что значение модуля упругости, используемое в расчетах, может быть разным для разных пород древесины. Влияет не только порода дерева, но и порода дерева. Следовательно, вся пачка бруса, шпона, клееного бруса и круглого бревна имеет разный модуль упругости и, следовательно, разные значения максимального прогиба.

может преследовать различные цели, допуская расчет балок на прогиб. Если вы хотите узнать пределы деформации элементов конструкции, то в конце расчета прогиба стрелы можно остановиться.Если ваша цель - определить уровень соответствия, найти показатели строительных норм, их необходимо сопоставить с данными, которые размещены в специальных документах нормативного характера.

Двутавр

Помните, что двутавровые балки используются реже из-за их формы. Но также не стоит забывать, что такой элемент может выдержать гораздо большую нагрузку, чем уголок или швеллер, которые могут быть альтернативой двутавру.

Расчет прогиба двутавровой балки необходим, если вы планируете использовать ее как мощный элемент дизайна.90 104

Также обратите внимание, что не все типы двутавров могут рассчитывать прогиб. В некоторых случаях, однако, остается вычислить прогиб двутавра? Всего таких случаев 6 из которых соответствуют шести типам двутавров. Типы следующие:

• Балка однопролетная с равномерной нагрузкой.
• Консоль жестко закреплена на одном конце и равномерно распределяет нагрузку.
• Радиус одного пролета с консолью на одной стороне, которая используется для равномерного распределения нагрузки.
• Однобалочный шарнирный подшипник с сосредоточенным усилием.
• Светильник опорный однопролетный с двумя сосредоточенными силами.
• Консоль для жесткого закрытия и концентрированного усилия.

металлические балки

Расчет только максимального прогиба, будь то из стали или компонента из другого материала. Самое главное, я помню те значения, которые являются конкретными и постоянными, например, модуль упругости. При работе с металлическими балками важно помнить, что они могут быть изготовлены из стали или двутавра. Прогиб стальной балки рассчитан с учетом того, что постоянная Е в данном случае составляет 2 x 105 МПа. Все остальные элементы, такие как момент инерции, рассчитываются по алгоритмам, описанным выше.

Расчет максимального прогиба балки с двумя опорами

В качестве примера можно привести систему, где балка находится на двух опорах, и для этого в любой момент времени приложена сосредоточенная сила. До приложения балки сила представляла собой прямую линию, но под действием сил она изменила свой вид и поэтому деформация стала кривой.90 130

Предположим, что плоскость XY является плоскостью симметрии балки на двух опорах. Все нагрузки, действующие на балку в этой плоскости. В этом случае дело в том, что кривая, полученная при действии силы, также будет лежать в этой плоскости. Эта кривая называется гибкой трубой луча или линией отклонения луча. Алгебраически решая упругую линию балки и вычисляя прогиб балки, формула которого прикрепляется к балкам двумя скобками, следующим образом.

Прогиб на расстоянии z слева от несущих балок, предназначенный для 0 ≤ z ≤ A

F (z) = (P * 90 137 2 90 138 * 90 137 b2) 90 138 / (6E * J * l) * (2 * z / a + Z / BZ 90 137 90 137 3/2 90 138 90 138*б*),

Прогиб балки на двух опорах на расстоянии от левой опоры при ≤l ≤ oo

F (z) = (P - *a 90 137 2 90 138 * 90 137 b2) 90 138 / (6E * J * l) * (2 * (LZ) / b + (LZ) / A (LZ) 90 137 3 90 138 / а + б ^{2), где} где F - модуль упругости материала, J - - осевые силы инерции, Е используется.

Для балки с двумя опорами момент инерции рассчитывается как:

J = B ₁ H ₁ ^3/12, где B ₁ и H ₁ - ширина и высота используемого поперечного сечения балки соответственно.

приложение

Основы статики конструкций: Основы - нагрузки

Максимально простые (поддающиеся расчету) виды нагрузок. Они не должны вызывать проблем, потому что также сложно представить ситуацию, когда они могут их вызвать. Пример с сосредоточенной нагрузкой (и только с ней) ранее в блоге (прямая балка — пример 1).

Исключением (читай: более сложным) может быть ситуация, когда приложенное усилие происходит под углом. Тогда мы должны сделать две (компоненты) из одной силы, и лучше хорошо знать принципы тригонометрии, потому что это намного проще.Распределить силы под углом на компоненты и не только в стойке - прямой балке - пример 2.

2. Распределенная нагрузка (прямоугольная)

Вот тут и начинается самое интересное. Советую нравиться, потому что такой вид нагрузки один из любимых для задач на изобретательство, и он самый распространенный в жизни.

Может быть два (по существу) варианта. Когда есть вертикальная сила (это классический вариант) и когда распределённая сила действует под углом - тогда её надо разбить на составляющие, и всё немного усложняется.

Но давайте разберемся с первым случаем. Самый лучший пример. У нас есть этот луч:

Наша нагрузка, как видно, q=2 кН/м

Мы не смотрим на опоры. Нас интересует только наш прямоугольник.

Вспоминаем формулу площади прямоугольника ;)

Первое, что мы делаем, это преобразуем распределенную нагрузку в сосредоточенную силу. Это понадобится для расчета реакции. Как мы делаем это?

• какое значение будет иметь новая сила? - просто! площадь прямоугольника - смотрим на маленькое q как на высоту такого прямоугольника.(заменяем маленькую q на заглавную Q)

поэтому: а*б; в нашем случае Q = q * 3 = 2 кН * 3 = 6 кН

• где мы его разместим? тоже легко! - посередине основания (в центре тяжести фигуры)

Нагрузка уже заменена. С ним уже можно что-то делать, например считать реакции.

Мы также можем приступить к определению значений характерных точек на графике. ВНИМАНИЕ! Диаграмма момента от нагрузки, распределенной по прямоугольнику, имеет форму параболы (кривая второй степени).

Для того чтобы вычислить все характерные точки графика, а также для вычисления (в некоторых случаях) экстремума, мы должны записать так называемую рецепт функции. Звучит ужасно, но бояться нечего. Все, что нужно, это немного практики, на самом деле это не высшая математика

От балки «вырежьте» фрагмент длиной 3 м (потому что это длина распределенной нагрузки).

Как видите, мы будем писать рецепт слева, можно конечно справа; делаем почти одинаково (об этом "почти" в другой раз).

Обратите внимание, что мы пишем рецепт для некоторого x (iks). Мы должны как-то это определить. Поскольку х заменяет отрезок в 3 (три) метра, нетрудно догадаться, что наш х = (0; 3) - принадлежит диапазону от нуля до трех. [В моем распоряжении только убогий текстовый редактор от blogger, который не отражает большинство математических тонкостей; Постараюсь набрать достаточно комментариев, чтобы все было понятно).

Едем:

Функциональное обеспечение момента (а также сил T и N) есть не что иное, как сумма моментов в правой части нашего поперечного сечения. Приходится читать знаки моментов от отдельных сил с чертежа (см. блог). Мы предполагаем правовинтовую систему. Мы видим, что сфокусированный момент, равный 21, вращается вправо, поэтому знак плюс. С распределенной нагрузкой дело не так сложно, как кажется. При этом у нас (все время) q = 2 кН, а основание х (раньше было 3 м).2

Объяснение. Почему это так. В таких случаях всегда добавляется сосредоточенный момент (знак определяется заранее). Распределенная нагрузка - если внимательно посмотреть, то с ней поступаем почти так же, как и при расчете реакции. Преобразуем их в сосредоточенную силу с той разницей, что основание нашего прямоугольника равно х, т. е. Q = q*x; точка приземления (как и раньше) находится на полпути к основанию - так что x / 2 (x больше двух). Конечно, все это негативно.

Когда у нас есть уравнение, записанное таким образом, мы подставляем значения x, которые мы определили в начале. Это даст нам ответы на значение момента в отдельных точках.

Т (х) = q * х = 2 кН * х 9000 4 Действуем так же, как и с поперечными силами, с одним отличием в маркировке.В нормальных силах положительные значения имеют действующие силы из раздела . В нашей балке нет осевых усилий, поэтому отсылаю вас к блогу (прямая балка — пример 2).

3. Кронштейн (ручка)

Еще одно интересное препятствие в задачах, которых, впрочем, не стоит бояться, и решать механически, без больших комбинаций (особенно в начале). После лучшего позиционирования ручки можно начинать решать более хитрым способом, но в начале предлагаю уменьшить. Правила уменьшения кантилевера не сложны.

Для чего мы это делаем? Ну и чтобы не приходилось решать прямую балку как рамы (короче).

Начнем с самой простой руки:

Опять же, нас интересует только кантилевер и сила, приложенная к его концу. Кронштейн «касается» балки в точке А. Приступаем к приведению. Как показано на картинке ниже; Сначала рисунок, потом пояснение.

Поскольку нельзя безнаказанно передавать силы в системе (это касается любой системы, будь то балка, рама или решетка), мы имеем сосредоточенный момент, также в точке А. Он направлен на уравновешивание обеих систем (до и после сокращения). Момент возникает в результате перемещения нашей силы в другую точку. Нам нужно установить его значение и знак.

Мы видим, что на плечо длиной 2 м действует сила 4 кН (если мы ее не видим, см. пост про моменты). Направление действия крутящего момента совпадает с направлением силы относительно точки А.

M = 4 кН * 2 м = 8 кН·м 9000 4
Остальные комбинации ручек без комментариев, т.к. принципы работы те же.

Мы также можем иметь дело с ситуацией, когда у нас есть сконцентрированный момент в конце скобки. Затем мы просто перемещаем его, и больше ничего не происходит.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭКСПЛУАТАЦИИ - пленки, деревянные и каменные конструкции

Выдержка из документа:

1. Прогибы балки при диагональном изгибе следует рассчитывать по формуле

где:
,
- составляющие прогиба в двух перпендикулярных направлениях.

2. Прогибы неразрезных балок , когда:

• отношение наибольшего пролета к наименьшему пролету не превышает 1:0,8, при одинаковой нагрузке на все пролеты, или,

• когда отношение наибольшей нагрузки на один пролет к наименьшей нагрузке на другой не превышает 1:0,8 при сохранении одного и того же пролета,

можно приблизительно рассчитать, приняв отношение наибольшего прогиба неразрезной балки к наибольшему прогибу однопролетной свободно опертой балки:

0,65 - при постоянной нагрузке

0,90 - при переменной нагрузке

2. для средних пролетов :

0,25 - при постоянной нагрузке,

0,75 - при переменной нагрузке.

3. Если не выполнен точный расчет , прогибы свободно опертых балок от равномерно распределенных нагрузок можно рассчитать по следующим формулам:

1. для балок с соотношением
   

2. для балок с коэффициентом
   и постоянным прямоугольным сечением

3. для балок как на поз.б) с переменным прямоугольным сечением

4. для двутавровых или коробчатых балок постоянного сечения

5. для двутавровых или коробчатых балок переменного сечения

I - момент инерции поперечного сечения балки, принимаемый как для однородных или составных балок,

- прогиб свободно опертой балки под действием поперечных сил,

- прогиб свободно опертой балки под действием поперечных сил,

- коэффициент по таблице 5.3. ПН для учета действия поперечных сил на прогибы двутавровых и коробчатых балок,

h, h _п - высота балки соответственно: в середине пролета, на опоре,

H H 6 '7 , H , H P 9 5 6' 6 '7 - Расстояние между осями пояса, соответственно: в середине пролета, на поддержку ,

( ЭИ ) - жесткость сечения, рассчитанная как для однородных балок, так и при сложном сечении.

Факторы
Принять во внимание влияние сдвиговых сил

для прогибов двутавровых и коробчатых балок

 \ начало {массива} {l} ССН = Ш - 3Т\ ССН = 4 - 3*1\ SSN = 1 \ конец {массив} 

 {\ delta _ {11}} * {X_1} + {\ delta _ {1p}} = 0