Как сделать объемный многогранник из бумаги схема

Формула многогранника Эйлера | plus.maths.org

Июнь 2007

Леонард Эйлер, 1707 - 1783

Давайте начнем с представления главного героя этой истории - формулы Эйлера:

Хотя это может показаться простой, эта маленькая формула заключает в себе фундаментальное свойство тех трехмерных тел, которые мы называем многогранниками , которые очаровывали математиков более 4000 лет. На самом деле я могу пойти дальше и сказать, что формула Эйлера говорит нам нечто очень глубокое о форме и пространстве.Формула носит имя известного швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707–1783), которому в этом году исполнилось бы 300 лет.

Что такое многогранник?

Прежде чем мы рассмотрим, что говорит нам формула Эйлера, давайте рассмотрим многогранники более подробно. Многогранник - это твердый объект, поверхность которого состоит из нескольких плоских граней , которые сами по себе ограничены прямыми линиями. Каждая грань представляет собой многоугольник , замкнутую форму на плоской 2-мерной плоскости, состоящую из точек, соединенных прямыми линиями.

Рис. 1. Знакомые треугольник и квадрат являются многоугольниками, но многоугольники могут иметь и более неправильную форму, как показано справа.

В многоугольниках не допускается наличие отверстий, как показано на рисунке ниже: левая фигура здесь является многоугольником, а правая - нет.

Рис. 2. Фигура слева - многоугольник, а фигура справа - нет, потому что в ней есть «дыра».

Многоугольник называется правильным , если все его стороны имеют одинаковую длину и все углы между ними одинаковы; треугольник и квадрат на рисунке 1 и пятиугольник на рисунке 2 правильные.

Многогранник - это то, что вы получаете, когда перемещаетесь на одно измерение вверх. Это замкнутый твердый объект, поверхность которого состоит из множества многоугольных граней. Мы называем стороны этих граней ребрами - две грани пересекаются вдоль каждого из этих ребер. Назовем углы граней вершинами , так что любая вершина лежит как минимум на трех разных гранях. Чтобы проиллюстрировать это, вот два примера всем известные многогранники.

Рис. 3. Знакомый куб слева и икосаэдр справа.Многогранник состоит из многоугольных граней , их стороны известны как ребер , а углы - как вершин .

Многогранник состоит только из одной части. Он не может, например, состоять из двух (или более) в основном отдельных частей, соединенных только ребром или вершиной. Это означает, что ни один из следующих объектов не является истинным многогранником.

Рисунок 4: Эти объекты не являются многогранниками, потому что они состоят из двух отдельных частей, которые встречаются только на ребре (слева) или вершине (справа).

Что нам говорит формула?

Теперь мы готовы посмотреть, что формула Эйлера говорит нам о многогранниках. Посмотрите на многогранник, например куб или икосаэдр выше, посчитайте количество вершин, которые у него есть, и назовите это число V . Куб, например, имеет 8 вершин, поэтому V = 8 . Затем посчитайте количество ребер многогранника и назовите это число E . У куба 12 ребер, поэтому в случае куб E = 12 .Наконец, посчитайте количество лиц и назовите его F . В случае с кубом F = 6 . Формула Эйлера говорит нам, что

или, говоря словами: количество вершин минус количество ребер плюс количество граней равно двум.

В случае с кубом мы уже видели, что V = 8, E = 12 и F = 6 . Итак,

, что говорит нам формула Эйлера.Если мы теперь посмотрим на икосаэдр, мы обнаружим, что V = 12, E = 30 и F = 20 . Сейчас,

Формула Эйлера верна для куба и икосаэдра. Оказывается, довольно красиво, что это верно для почти для каждого многогранника . Единственные многогранники, для которых это не работает, - это многогранники, через которые проходят отверстия, как показано на рисунке ниже.

Рис. 5: В многограннике сквозное отверстие.Формула Эйлера в этом случае не выполняется.

Эти многогранники называются непростыми , в отличие от многогранников без отверстий, которые называются простыми . Непростые многогранники, возможно, не первое, что приходит в голову, но их много, и мы не можем избежать того факта, что формула Эйлера не работает ни с одним из них. Однако даже этот неловкий факт стал частью совершенно новой теории космоса. и форма.

Сила формулы Эйлера

Каждый раз, когда математики сталкиваются с инвариантным признаком, свойством, истинным для целого класса объектов, они знают, что натолкнулись на что-то хорошее.Они используют его, чтобы исследовать, какими свойствами может обладать отдельный объект, и определить свойства, которые должны иметь все они. Формула Эйлера может сказать нам, например, что не существует простого многогранника с ровно семь граней. Вам не нужно садиться с картоном, ножницами и клеем, чтобы узнать это - формула - это все, что вам нужно. Аргумент, показывающий, что не существует семигранника, довольно прост, так что взгляните на него, если вам интересно.

Используя аналогичным образом формулу Эйлера, мы можем обнаружить, что не существует простого многогранника с десятью гранями и семнадцатью вершинами.Призма, показанная ниже, в основе которой лежит восьмиугольник, действительно имеет десять граней, но число вершин здесь шестнадцать. Пирамида, имеющая 9-гранное основание, также имеет десять граней, но имеет десять вершин. Но формула Эйлера говорит нам, что ни один простой многогранник не имеет ровно десять граней и семнадцать вершин.

Рисунок 6: Оба этих многогранника имеют десять граней, но ни у одного из них нет семнадцати вершин.

Именно такие соображения приводят нас к, вероятно, самому прекрасному открытию из всех.Он включает Платоновых тел , хорошо известный класс многогранников, названный в честь древнегреческого философа Платона, в трудах которого они впервые появились.

Рисунок 7: Платоновы тела. Слева направо мы видим тетраэдр с четырьмя гранями, куб с шестью гранями, октаэдр с восемью гранями, додекаэдр с двенадцатью гранями и икосаэдр с двадцатью гранями.

Хотя их симметричная элегантность сразу бросается в глаза, если вы посмотрите на приведенные выше примеры, на самом деле не так просто описать это словами.Оказывается, это описывается двумя особенностями. Во-первых, у Платоновых тел нет выступов или провалов, поэтому они имеют красивую округлую форму. Другими словами, это означает, что всякий раз, когда вы выбираете две точки в Платоновом теле и рисуете прямая линия между ними, этот кусок прямой линии будет полностью заключен в твердое тело - Платоново твердое тело называется выпуклым . Вторая особенность, называемая регулярностью , заключается в том, что все грани твердого тела представляют собой правильные многоугольники с одинаковым количеством сторон и одинаковое количество ребер выходит из каждой вершины твердого тела.

Куб правильный, так как все его грани - квадраты и из каждой вершины выходит ровно три ребра. Вы можете сами убедиться, что тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр тоже правильные.

Теперь вы можете задаться вопросом, сколько существует различных Платоновых Тел. С момента открытия куба и тетраэдра математиков настолько привлекла элегантность и симметрия Платоновых тел, что они искали больше и пытались перечислить их все.Здесь на помощь приходит формула Эйлера. Вы можете использовать ее, чтобы найти все возможности для количества граней, ребер и вершины правильного многогранника. Вы обнаружите, что на самом деле существует только пять различных правильных выпуклых многогранников! Это очень удивительно; в конце концов, количество различных правильных многоугольников не ограничено, так почему мы должны ожидать здесь ограничения? Пять Платоновых Тел - это тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр, показанные выше.

Доказательство

Рене Декарт,
(1596–1650)

Игра с различными простыми многогранниками покажет вам, что формула Эйлера всегда верна. Но если вы математик, этого недостаточно. Вам понадобится доказательство, водостойкий логический аргумент, который показывает, что это действительно работает для всех многогранников, включая те, которые у вас никогда не будет времени проверить.

Адриан-Мари Лежандр, (1752 - 1833)

Несмотря на название формулы, на самом деле не Эйлер придумал первое полное доказательство.Его история сложна, насчитывает 200 лет и включает в себя некоторых из величайших математиков, в том числе Рене Декарта (1596–1650), самого Эйлера, Адриана-Мари Лежандра (1752–1833) и Августена-Луи Коши (1789–1857).

Огюстен-Луи Коши, (1789 - 1857)

Интересно отметить, что все эти математики использовали очень разные подходы для доказательства формулы, каждый из которых поражал своей изобретательностью и проницательностью. Однако это доказательство Коши, и я хотел бы дать вам здесь представление.Его методика состоит из нескольких этапов и шагов. Первый этап включает построение так называемой сети .

Формирование сети

Представьте, что вы держите свой многогранник одной стороной вверх. Теперь представьте, что вы «удаляете» только эту грань, оставляя края и вершины вокруг нее позади, так что у вас есть открытая «коробка». Затем представьте, что вы можете держаться за коробку и отодвинуть края отсутствующей грани друг от друга. Если вы потянете их достаточно далеко, коробка расплющится и превратится в сеть точек и линий. в плоской плоскости.Приведенная ниже серия диаграмм иллюстрирует этот процесс применительно к кубу.

Рисунок 8: Превращение куба в сеть.

Как вы можете видеть на диаграмме выше, каждая грань многогранника становится областью сети, окруженной ребрами, и это то, что мы будем называть гранью сети. Это внутренних граней сети. Существует также внешняя грань , состоящая из области вне сети; это соответствует той грани, которую мы удалили из многогранника.Итак, у сети есть вершины, прямые края и многоугольные грани.

Рисунок 9: Сеть имеет грани, ребра и вершины.

При формировании сети вы не добавляли и не удаляли вершины, поэтому сеть имеет то же количество вершин, что и многогранник - V . Сеть также имеет такое же количество ребер - E - что и многогранник. Теперь о лицах; все грани многогранника, кроме «недостающей», оказываются «внутри» сети. Отсутствующее лицо стало внешним лицом, которое тянется по всей сети.Итак, включая внешнюю грань, в сети насчитывается граней F . Таким образом, вы можете использовать сеть , а не сам многогранник, чтобы найти значение V - E + F . Теперь мы продолжим преобразование нашей сети, чтобы упростить вычисление этого значения.

Преобразование сети

Есть три типа операций, которые мы можем выполнять в нашей сети. Мы представим три этапа, связанных с ними.

Step 1 Мы начинаем с рассмотрения полигональных граней сети и спрашиваем: существует ли грань с более чем тремя сторонами? Если есть, мы рисуем диагональ, как показано на схеме ниже, разделяя лицо на две меньшие грани.

Рисунок 10: Разделение граней.

Мы повторяем это с выбранным лицом, пока лицо не будет разбито на треугольники.

Рис. 11: В итоге у нас остались треугольные грани.

Если есть еще одна грань с более чем тремя сторонами, мы используем Шаг 1 для этой грани, пока она тоже не будет разбита на треугольные грани. Таким образом, мы можем разбить каждую грань на треугольные грани и получить новую сеть, все грани которой треугольные. Мы проиллюстрируем этот процесс, показав, как преобразовать сеть, которую мы создали из куба.

Рисунок 12: Вот что происходит с сетью куба, когда мы многократно выполняем Шаг 1.

Мы возвращаемся к шагу 1 и смотрим на сеть, которую мы получаем после выполнения шага 1 только один раз. Теперь, нарисовав диагональ, мы добавили одно ребро. Наше исходное лицо стало двумя лицами, поэтому мы добавили одно к количеству лиц. Мы не изменили количество вершин. Теперь сеть имеет V вершин, E + 1 ребер и F + 1 граней. Так как же V - E + F изменилось после того, как мы выполнили шаг 1 один раз? Используя то, что мы знаем об изменениях в V , E и F , мы можем увидеть, что V - E + F превратилось в V - (E + 1) + (F + 1) .Теперь у нас

Итак, V - E + F имеет , не изменилось после шага 1! Поскольку при каждом использовании шага 1 оставляет неизменным V - E + F , оно остается неизменным, когда мы достигаем нашей новой сети, состоящей полностью из треугольников! Влияние на V - E + F при преобразовании сети, созданной из куба, показано в таблице ниже.

Теперь мы представляем шаги 2 и 3.Они будут удалять грани снаружи сети, шаг за шагом уменьшая количество граней. Как только мы начнем это делать, сеть, вероятно, больше не будет представлять собой многогранник, но важное свойство сети сохраняется.

Step 2 Проверяем, есть ли в сети грань, которая имеет только одно ребро с внешней гранью. Если это так, мы удаляем эту грань, удаляя одно общее ребро. Область, которая была покрыта выбранной нами гранью, становится частью внешней грани, и сеть имеет новую границу.Это проиллюстрировано схемой ниже для сети, сделанной из куба.

Рис. 13: Удаление граней с одной внешней кромкой.

Теперь возьмем V , E и F в качестве числа вершин, ребер и граней, которые имела сеть, состоящая из треугольных граней, до того, как мы выполнили шаг 2. Теперь посмотрим, как число V - E + F изменился после выполнения шага 2 один раз. Мы удалили одно ребро, поэтому наша новая сеть имеет E - 1 ребер.Мы не трогали вершины в всего, так что у нас остается V вершин. Грань, которую мы использовали для шага 2, была объединена с внешней гранью, так что теперь у нас есть F - 1 граней. Итак, V - E + F превратилось в V - (E - 1) + (F - 1) и

Итак, еще раз V - E + F не изменился.

Step 3 Проверяем, есть ли у нашей сети грань, которая имеет два общих ребра с внешней гранью.Если это так, мы удаляем эту грань, удаляя как эти общие ребра, так и их общую вершину, так что снова область, принадлежащая нашей выбранной грани, становится частью внешней грани. Это проиллюстрировано ниже на примере сети, сделанной из куба, после выполнения шага 2. дважды.

Рисунок 14: Удаление граней с двумя внешними кромками.

Как и раньше, возьмем V , E и F в качестве числа вершин, ребер и граней сети, с которой мы начинаем.Теперь, как шаг 3 повлиял на число V - E + F ? Мы удалили одну вершину - ту, которая находится между двумя ребрами, - так что теперь V - 1 вершин. Мы удалили два ребра, так что теперь есть E - 2 кромок. Наконец, наша выбранная грань слилась с внешней гранью, так что теперь у нас есть F - 1 граней. Итак, V - E + F превратилось в (V - 1) - (E - 2) - (F - 1) и

Итак, еще раз V - E + F не изменился.

Секрет доказательства заключается в выполнении последовательности шагов 2 и 3 для получения очень простой сети. Напомним, что мы неоднократно использовали шаг 1 для создания сети только с треугольными гранями. Эта сеть обязательно будет иметь грань, которая имеет ровно одно ребро с внешней гранью, поэтому мы берем эту грань и выполняем Шаг 2. Мы можем выполнить Шаг 2 на нескольких гранях, по одной, пока не появится появится грань, имеющая два ребра с внешней гранью.Затем мы можем выполнить шаг 3, используя это лицо. Мы продолжаем выполнять шаги 2 и 3 и продолжаем удалять лица таким образом.

При этом необходимо соблюдать два важных правила. Во-первых, мы всегда должны выполнять Шаг 3, когда это возможно; если есть выбор между Шагом 2 и Шагом 3, мы всегда должны выбирать Шаг 3. В противном случае сеть может распасться на отдельные части. Во-вторых, мы должны удалять лица только по одному. Если мы этого не сделаем, мы можем закончить тем, что края сами по себе будут торчать наружу. лицо, и у нас больше не будет нормальной сети.Чтобы проиллюстрировать процесс, мы выполним несколько шагов в сети куба, продолжая с того места, где мы оставили его на последней диаграмме.

Рисунок 15: Применение нашего алгоритма к сети куба.

Теперь мы можем задать себе один или два вопроса. Останавливается ли когда-нибудь этот процесс удаления лиц, и если да, то с чем мы остались? Небольшое размышление покажет вам, что он должен остановиться - мы можем удалить лишь конечное число граней и ребер - и когда это произойдет, у нас останется один треугольник.Вы можете увидеть несколько диаграмм, описывающих весь процесс для сети, сформированной из додекаэдра (напомним, что это было одно из Платоновых тел, представленных ранее).

Теперь посмотрите на количество вершин, ребер и граней, присутствующих в нашей последней сети - единственном треугольнике. У нас V = 3 , E = 3 и F = 2 - мы все равно должны включить внешнюю грань. Сейчас

На протяжении всего процесса, начиная с полного многогранника и заканчивая треугольником, значение V - E + F не менялось.Итак, если V - E + F = 2 для конечной сети, мы также должны иметь V - E + F = 2 для самого многогранника! Доказательство закончено!

За многогранниками

Я закончу упоминанием некоторых следствий формулы Эйлера за пределами мира многогранников. Я начну с очень малого: компьютерных чипов. Компьютерные микросхемы - это интегральные схемы, состоящие из миллионов мелких компонентов, связанных миллионами проводящих дорожек. Они напоминают наши сети выше, , за исключением , что обычно невозможно разместить их в плоскости. без некоторых проводящих дорожек - краев - пересечения.Крестовины - плохая вещь в схемотехнике, поэтому их следует ограничивать, но найти подходящее расположение - непростая задача. Формула многогранника Эйлера с ее информацией о сетях является важным ингредиентом в поиске решений.

А теперь перейдем к самому большому: нашей Вселенной. По сей день космологи не пришли к единому мнению о его точной форме. Основным для их рассмотрения является топология , математическое исследование формы и пространства. В 19 веке математики обнаружили, что все поверхности в трехмерном пространстве по существу характеризуются количеством отверстий, которые у них есть: наши простые многогранники не имеют отверстий. пончик имеет одно отверстие и т. д.Формула Эйлера не работает для многогранников с дырками, но математики обнаружили захватывающее обобщение. Для любого многогранника V - E + F ровно в 2 минус 2 раза больше количества отверстий! Оказывается, это число, называемое характеристикой Эйлера , имеет решающее значение для изучения всех трехмерных поверхностей, а не только многогранников. Формулу Эйлера можно рассматривать как катализатор совершенно нового мышления о форме и пространстве.

Об авторе

Аби выросла на севере Англии и переехала на юг, чтобы изучать математику в Имперском колледже в Лондоне и Королеве Марии в Лондонском университете.Сейчас она преподает математику в Открытом университете. Главный математический интерес Аби - теория групп. При написании этой статьи ей очень понравилось исследовать тайны формулы Эйлера.

Первоначально опубликовано 1 июня 2007 г.

Многогранники

Многогранник - это твердое тело с плоскими гранями
(от греческого многоугольника - «много» и -эдр - «грань»).

Каждая грань представляет собой многоугольник (плоскую форму с прямыми сторонами).

Примеры многогранников:

Итак, без изогнутых поверхностей : конусы, сферы и цилиндры - это , а не многогранники.

Простые многогранники

Примечание: многогранника во множественном числе означает многогранников или многогранников

Многие другие

Подсчет граней, вершин и ребер

Когда мы подсчитываем количество граней (плоских поверхностей), вершин (угловых точек) и ребер многогранника, мы обнаруживаем интересную вещь:

Количество граней
плюс количество вершин
минус количество ребер равно 2

Это можно записать в виде небольшого уравнения:

F + V - E = 2

Она известна как формула Эйлера (или «многогранная формула») и очень полезна, чтобы убедиться, что мы правильно посчитали!

Пример: Куб

В кубе:

• 6 граней
• 8 вершин (угловые точки)
• 12 кромок

F + V - E = 6 + 8 - 12 = 2

Пример: треугольная призма

У этой призмы:

• 5 граней
• 6 вершин (угловые точки)
• 9 кромок

F + V - E = 5 + 6 - 9 = 2

Но бывают случаи, когда не работает! Прочтите формулу Эйлера, чтобы узнать больше.